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1、統計決策 第 1 章14第一章第一章 傳統統計決策理論傳統統計決策理論Sec.1.1 緒論緒論1. 決策理論決策理論(decision-making theory)乃決策者面對所遭遇的各種決策問題，根據蒐集之相關資料，經科學的分析方法，以便由所有可能行動方案中尋求最佳行動(the best action)的理論。若引用之科學的分析方法屬統計方法者，則該決策理論即為統計決策理論統計決策理論(statistical decision-making theory)。2. 決策問題的結構(1)本性狀況本性狀況(state of nature)：決策未來可能面臨的實際狀況(即事件)。惟決策者未來到底會遇
2、到何者狀況通常是無法掌握的。(2)行動行動(action)：決策者可能採取的對策。(3)結果結果(result)：採取行動後，在特定本性狀況下所獲致的結論。(4)模式：行動 本性狀況 結果(5)決策表：即結果所形成之矩陣。本 性 狀 況結果1s2s3s行 1a11c12c13c2a21c22c23c動 3a31c32c33c3. 檢定是一種特殊的決策問題(1)本性狀況有虛無假設及對立假設。0HaH(2)行動有(接受)及(棄卻)。1a0H2a0H(3)結果：本 性 狀 況結 果為真0H為假0H接受0HrightType II error行動棄卻0HType I errorright4. 依本性狀
3、況之確定性，決策問題可分成以下三類：統計決策 第 1 章15(1)在確定狀況下作決策在確定狀況下作決策(decision making under certainty)當本性狀況為已知，即本性狀況具確定性，決策者十分容易找到最佳決策，指收益最大、損失最小或成本最小之行動。(2)在風險狀況下作決策在風險狀況下作決策(decision making under risk)當本性狀況為未知，但有客觀的數據，如各種本性狀況之發生率，使決策者能依設定的決策準則，找到最佳行動，但其決策仍然存在風險。(3)在不確定狀況下作決策在不確定狀況下作決策(decision making under uncertai
4、nty)當本性狀況為未知，且缺乏客觀的數據，以確認各種本性狀況適當之發生率，此時決策者需主觀判斷，以形成決策。傳統上將上述(2)及(3)統稱為在不確定狀況下作決策。5. 支付與悔惜(1)行動、本性狀況及結果為決策系統之主要構成要素。一行動遭遇某種本性狀況會產生何種結果，是決策者最關心的。為衡量行動產生結果的優劣，可採用支付支付(payoff)與悔惜悔惜(regret)等，常以貨幣衡量之。(2)支付指一行動遭遇某種本性狀況會產生的收益或損失，通常以表行動 ijcia在本性狀況下之收益或損失，。各支付值所形成jsnjmi, 2 , 1;, 2 , 1的矩陣稱為支付矩陣(payoff matrix)
5、，如下表所示。本 性 狀 況結果1s2sns行 1a11c12cnc12a21c22cnc2動 ma1mc2mcmnc當支付採收益時，支付矩陣又稱為收益矩陣收益矩陣(profit matrix)；又當支付採損失時，支付矩陣又稱為損失矩陣損失矩陣(loss matrix)。理性之決策者理當追求最大收益、最小損失或最小成本。(3)悔惜指採取一行動所導致之機會損失，為採取此行動後實際產生的支付與最佳行動所得支付之差的絕對值，故最佳行動之惜悔值為 0，其他行動之惜悔值為正。(4)設一決策問題之相關支付矩陣為，則nmijc(a)當表收益時，則採行動在本性狀況下之惜悔為ijciajsijr統計決策 第 1
6、 章16。ijkjmkijccMaxr 1(b)當表損失(或成本)時，則採行動在本性狀況下之惜悔為ijciajsijr。kjmkijijcMincr 1Sec.1.2 單憑經濟結果作決策單憑經濟結果作決策有些決策問題之本性狀況的發生率不明確，或忽略發生率的影響，而只考量經濟結果來作決策。此類問題的決策準則，常用者有五：(1) Laplace 準則(2) 最大最小值原則(小中取大原則)(3) 最大最大值原則(大中取大原則)(4) 最小最大悔惜值原則(5) 樂觀指數原則1. Laplace 準則準則(Laplaces criterion)(1)概念：假設每一本性狀況的發生率均相等，故以行動之支付(
7、或悔惜)的算數平均數(即期望值)來衡量其優劣。所謂最佳行動即擁有最大期望收益者、或最小期望損失(或成本)者、或最小期望悔惜者。(2)Laplace 準則又稱為同等可能準則(equal likelihood criterion)。(3)令。micnaEnjiji, 2 , 1,11(4)當支付為收益時，若，則最佳行動為。 1kmkiaEMaxaE ia(5)當支付為損失(成本)時，若，則最佳行動為。 1kmkiaEMinaE ia例 1：一決策問題有四種可能狀況及三種行動，其支付表(收益表)如下：本 性 狀 況收益1s2s3s4s行1a131610142a17151311動3a14121413試
8、依 Laplace 準則，求最佳行動？統計決策 第 1 章17Sol：本 性 狀 況收益1s2s3s4sAve行1a1316101411.252a1715131114.00Max動3a1412141313.75故最佳行動為。2aLaplace 準則具行線性序(property of column linearty)，即當支付矩陣某行同加一數值時，並不會改變最佳行動。例 2：將例 1 中之第三行每個元素都加 2，再依 Laplace 準則，求最佳行動？ Sol：本 性 狀 況收益1s2s3s4sAve行1a131610+21411.752a171513+21114.50Max動3a141214+
9、21314.25故最佳行動仍為(與例 1 同)。2a為清楚表達整個決策的結構，我們可引用決策樹(decision tree)。2. 最大最小值原則最大最小值原則(maximin principle)(1)概念：當支付為收益時，決策者分別找出每一行動之最差可能結果，即收益最小者，然後再從中選出最佳(收益最大)者。(2)又稱小中取大原則，亦即在最壞情況下，尋求最佳結果。明顯的，這是一種悲觀準則。(3)若，則最佳行動為。kjnjmkijnjcMinMaxcMin 111ia例 3：同例 1 之決策問題，試依最大最小原則，求最佳行動？ Sol：統計決策 第 1 章18本 性 狀 況收益1s2s3s4s
10、Min行1a13161014102a1715131111動3a1412141312Max故最佳行動為。3a3. 最大最大值原則最大最大值原則(maximax principle)(1)概念：當支付為收益時，決策者分別找出每一行動之最佳可能結果，即收益最大者，然後再從中選出最佳(收益最大)者。(2)又稱大中取大原則，亦即在最佳情況下，尋求最佳結果。明顯的，這是一種樂觀準則。(3)若，則最佳行動為。kjnjmkijnjcMaxMaxcMax 111ia例 4：同例 1 之決策問題，試依最大最大原則，求最佳行動？ Sol：本 性 狀 況收益1s2s3s4sMax行1a13161014162a1715
11、131117Max動3a1412141314故最佳行動為。2a4. 最小最大悔惜值原則最小最大悔惜值原則(minimax regret principle)(1)概念：當決策表為悔惜表時，決策者分別找出每一行動之最差可能結果，即悔惜最大者，然後再從中選出最佳(悔惜最小)者。(2)又稱大中取小原則，亦即在悔惜最大的情況下，尋求最佳結果。明顯的，這也是一種悲觀準則。(3)若，則最佳行動為。kjnjmkijnjrMaxMinrMin 111ia例 5：同例 1 之決策問題，試依最小最大悔惜值原則，求最佳行動？ Sol：統計決策 第 1 章19本 性 狀 況悔惜1s2s3s4sMax行1a404042
12、a01133Min動3a34014故最佳行動為。2a5. 樂觀指數樂觀指數(optimism index)原則原則(1)經濟學家 Hurwicz 綜合最大最小原則(悲觀準則)與最大最大原則(樂觀準則)，提出了折衷的決策準則，取為：iH)(1 ()( 11ijnjijnjicMincMaxH 其中，又稱為樂觀指數。再依之值決定最佳行動(愈大愈佳)。11iH(2)明顯的，當時，即最大最小原則；又時，即最大最大原則。01例 6：同例 1 之決策問題，試依樂觀指數原則，求最佳行動？ Sol：本 性 狀 況收益1s2s3s4sMaxMin行1a1316101416102a171513111711動3a1
13、41214131412故；106)1 (10161H；116)1 (11172H。122)1 (12143H因為，故優於。,12HH2a1a當，故優於。2325. 00HH 3a2a當，故優於。32125. 0HH 2a3a當，故優於。135 . 00HH 3a1a當，故優於。3115 . 0HH 1a3a故，當，故優於、優於。12325. 00HHH3a2a2a1a當，故優於、優於。1325 . 025. 0HHH2a3a3a1a當，故優於、優於。31215 . 0HHH2a1a1a3a統計決策 第 1 章20Sec.1.3 根據狀況之機率分配作決策根據狀況之機率分配作決策決策時不考慮本性狀
14、況之發生率，而逕以經濟結果為決策依據，難免過於主觀。若能佐以客觀的資料來作決策應是更為合理的。在本節中，我假設本性狀況之發生率是知道的(或可推估的)，亦即：為已知(或可推估的)。, 2 , 1,mipsSPii其中 S 表本性狀況，為一隨機變數，而為本性狀況之可能值(即樣本點)，又is且。mipi, 2 , 1, 1011miiP1. 期望值原則期望值原則(expectation principle)(1)設決策問題之收益矩陣如下所示：本 性 狀 況結果1s2sns行 1a11c12cnc12a21c22cnc2動 ma1mc2mcmnc且為已知。行動之期望收益為 , 2 , 1,mipsSP
15、iiianjijiicpaE1若，則為最佳行動。此種決策準則稱之期望值原則。 1kmkiaEMaxaE ia(2)當支付為損失(或成本)時，若，則為最佳行動。 1kmkiaEMinaE ia(3)當行動之結果以悔惜衡量時，若，則為最佳行動。 1kmkiaEMinaE ia例 7：真真水果行過去 100 天水果的銷售量如下：每天銷售量(箱) 6 7 8 9 天 數 10 30 50 10而訂購量與實際銷售量配合之收益表如下：(單位：元)統計決策 第 1 章21實 際 銷 售 量 (箱)收益678961,0001,0001,0001,0007 8401,0401,0401,0408 680 8801,0801,080訂 購 量 (箱) 9 520 720 9201,120試依期望值原則，分別以收益及悔惜期望值，求最佳決策？Sol：由過去 100 天之銷售記錄，得實際銷售 6, 7, 8, 9 箱水果之發生率依序為0.1, 0.3, 0.5, 0.1。(1)依收益：設分別依序表訂購 6, 7, 8, 9 箱水果。4321,aaaa；1000) 1 . 0(1000)5 . 0(1000)3 . 0(1000) 1 .
