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1、17第十章第十章 随机变量分布及数字特征随机变量分布及数字特征10.110.1 随机变量随机变量10.210.2 离散型随机变量分布离散型随机变量分布1 1、学时：、学时：2 2 学时学时2 2、过程与方法：、过程与方法：结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质.3 3、教学要求：、教学要求：（1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质（2）几种常见概率分布教学重点：教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：教学形式：多媒体讲授教学过程：教学过程
2、：一、新课教学内容一、新课教学内容10.1 随机变量随机变量概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数商店销售我们重视每天销售额，利润值在投骰子中是每次出现的点数等但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令 事件 这些事件数值化后，数量 01不合格合格1 0AAX 发生与否用不发生发生18是会变化的称为变量变量取值机会有大有小所以叫随机变量 定义定义 1：在某一随机试验中，对于试验
3、的每一个样本点：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点都唯一对应一个数，这样依不同样本点都唯一对应一个数，这样依不同样本点而取不同值的点叫随机变量而取不同值的点叫随机变量通常用希腊字母或大写英文字母 X、Y、Z 等表示用小写英文字母表示随机变量相应于某个试验结果所取的值iiyx、举例：1投骰子出现的点数用随机变量 X 表示，X 可取值为，6543212电信局话务台每小时收到呼叫次数用 Y 表示，Y 可取值为210 ，3总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间50tt4某一电子零件的寿命用30000ttT按其取值情况可以把随机变量分成两类：（1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值如例 1
4、、2（2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例 3、4例 1 设有 2 个一级品，3 个二级品的产品，从中随机取出 3 个产品，如果用 X 表示取出产品中一级品的个数，求 X 取不同值时相应概率解 X 可取值为210 ，101)0(3 53 3CCXP53) 1(3 52 31 2CCCXP103)2(3 51 32 2CCCXP例 2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量 Y 令 求出现正面与反面概率： 01Y出现反面出现正面解 21)0(YP21) 1(YP10.2 离散型随机变量分布离散型随机变量
5、分布10.2.1 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布例 1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去 100 天营业时间是有 24 天每天销售汽车是为 0 辆，38 天19每天销售为 1 辆，20 天每天销售是为 2 辆，12 天每天销售是为 3 辆，6 天每天销售是为 5 辆我们定义随机变量 X 为一天中售出汽车数取值为，概率用 P（X）表示，可求出53210，以此类推计算出汽车销售概率分布表为：24. 010024)0(XPX01235P（X）0.240.380.20.120.06从上表可知 P（X=1）=0.38，一天最有可能卖出汽车为 1 辆1 天中汽车销售是大于等于 3 辆概率
6、是这些概率有助于决策者了解某汽车公司销售情况以帮助制定更优策划18. 0)5()3(XPXP案而以上分布表就是离散型随机变量 X 的分布表定义定义 1 设设为离散型随机变量为离散型随机变量 X 的所有可能取的值，的所有可能取的值，是随机变量是随机变量取取值时相值时相(1,2)kx k kpXkx应概率即得式子应概率即得式子 或写成如下表格形式：或写成如下表格形式：()(1,2,)kkP XxpkX1x2xkxP1p2pkp上式或上表称为离散型随机变量上式或上表称为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律的概率分布或分布律由定义知概率分布具有下面性质由定义知概率分布具有下面性质（1） （k=1，2
7、） （2）0kp 1k kp 只有（k=1，2）满足上述两条性质时上式或上表才能成为随机变量 X 的概率分布kp定义定义 2 对于离散型随机变量对于离散型随机变量 X，若对任何实数，若对任何实数令令称称为随机变量为随机变量x( )()kk xxF xP Xxp)(xFX 的分布函数的分布函数分布函数具有如下性质：)(xF（1） （2）是不减函数1)(0xF)(xF（3） ()lim( )0 xFF x ()lim( )1 xFF x （4）若有间断点，在其间断点处右连续)(xF（5）)()()(1221xFxFxXxP例 2 设有一批产品 10 件，其中 3 件次品，从中任抽 2 件，如果用
8、X 表示抽取次品数，求 X 的概率分布与分布函数20解 设, 则 X 可取值为抽的次品数X2 , 1 , 0157)0(2 102 7CCxP157) 1(2 101 31 7CCCxP151)2(2 102 3CCxP的概率分布为 x2 102 73)(CCCkxPkk )210(、k或用表格表示即X012P157 157 151其分布函数 xxxxxF212115141015700)(例 3 某水果店，根据零售葡萄的经验，预计做一笔生意，希望从这批货中得到毛利如下表：卖出日第一天第二天第三天第四天卖出概率40%30%20%10%1 吨毛利（千元） 211-2求每吨葡萄所得毛利分布列和分布函
9、数，并画出分布函数图解 设每吨葡萄所得毛利为 X 千元则 x 可能取值为2 , 1 , 2其概率分布为x-212p0.10.50.4其分布函数 16 . 01 . 00)(xF221122xxxx21xo1pqp分布函数图10.2.2 常见的几种离散型的概率分布常见的几种离散型的概率分布1、二点分布、二点分布定义定义 3 设随机变量设随机变量 X 的分布列为的分布列为 （其中（其中 p+q=1，p0，q0）则称）则称 X 服从两服从两点分布记为点分布记为 X（0，1）注：它适用于一次试验仅有两个结果的随机试验2、二项分布、二项分布二项分布适用于贝努里概型也称为独立实验序列定义定义 4：设一随机
10、试验在同样条件下进行：设一随机试验在同样条件下进行 n 次独立重复试验，每一次试验事件次独立重复试验，每一次试验事件 A 只有两种结果：发只有两种结果：发生与不发生，发生的概率为生与不发生，发生的概率为 p，不发生的概率为，不发生的概率为 1-p=q在在 n 次独立试验中事件次独立试验中事件 A 发生发生 k 次概率为次概率为 （k=0, 1, 2n）, 此概型称为贝努里概型，其概率分布称为二项分布此概型称为贝努里概型，其概率分布称为二项分布, 记为记为( )kkn k nnP kC p qXB（n，p） 。显然当 n=1 时二项分布即成二点分布贝努里概型在实际问题中有非常广泛的应用例 4 某
11、服装店经理根据经验估计每个顾客进该店购买服装概率是 0.3，现有 3 名顾客进店问其中有 2 名顾客会购买的概率为多大？解 X 表示购买服装的顾客人数189. 07 . 03 . 0)2(22 3CxP例 5 一条自动生产线上产品一级品率为 0.6，现检查 10 件，求至少有两件一级品的概率解 设 X 为一级品件数10 1019 10101010 2(2)( )1(0)(1)10.40.40.60.998kP xpkppC 223、泊松分布、泊松分布定义定义 5 若随机变量若随机变量 X 的分布列为的分布列为 ()!ke P xkk )2 , 1 , 0, 0(k则称则称 X 服从参数为服从参
12、数为的泊松分布的泊松分布, 记为记为.)(X泊松分布应用很广，如确定时间段通过交通路口的小轿车数，容器内细菌数，铸件疵点数，电话交换台电话被呼叫次数等都服从泊松分布例 6 已知某电话交换台每分钟接到呼唤次数 X 服从参数的泊松分布，分别求（1）每分钟恰4好接到 3 次呼唤概率（2）每分钟内接到呼唤次数不超过 4 次概率解 （1） 查泊松分布表得43! 34)3(eXP1954. 05665. 07619. 0)4()3()3(XPXPXP（2）6288. 03712. 01)5(1)4(XPXP在二项分布中当 n 很大（n10）p 很小（p0.1）时也可近似用泊松分布公式计算, 其中np例 7
13、 若一年中参加某种寿险的人死亡率为 0.002，现有 2000 人参加每人交保险费 24 元，一旦死亡保险公司赔偿 5000 元，求(1) 保险公司亏本概率（2）保险公司盈利不少于 10000 元的概率解 设 X 表死亡人数 则 XB（2000，0.002）较小可近似用泊松分布计算002. 02000pn较大4 np（1）若亏本即得05000242000x9x（查泊松表）0081. 0!4)9(104 xxxexp（2）盈利不少于 10000 即 得100005000242000x7x9489. 0!41)7(1)7(84 xxxexpxp所以保险公司盈利概率是很大的二、课堂小结二、课堂小结本
14、节介绍了随机变量的概念，离散型随机变量的概率分布，几种常见离散型概率分布,包括二项分布、 两点分布、泊松分布.23三、练习三、练习1、定点投篮一次，投中的概率为 0.4，试用随机变量描述这一试验2、一批产品分一、二、三级其中一级品是二级品的二倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，用随机变量描述检验的可能结果3、随机变量 X 的概率分布如下：X20253035P（X）0.200.150.250.40问（1）这是一个概率分布吗？为什么（2）X=30 的概率是多少？（3）X 小于或等于 25 的概率是多少？（4）X 大于 30 的概率是多少？4、下表为某公司营业第一年计划利润（
15、X=利润） （以万元计）的概率分布，负值代表亏损X-100050100150200P（X）0.100.200.300.250.100.05问（1）P（100）是多少？如何解释这个值（2）该公司盈利的概率是多少？（3）该公司至少盈利 100 万的概率是多少？5、某商店销售某种水果，进货后第一天售出概率为 60%，每 500g 的毛利为 6 元，第二天售出概率30%，每 500g 毛利为 2 元，第三天售出概率为 10%，每 500g 的毛利为-1 元, 求销售此种水果每 500g 所得毛利 X 的概率分布，并求其分布函数6、一批产品 20 件，其中有 5 件次品，从这批产品中任取 4 件求这 4 件产品中次品数 X 的分布（精确到 0.01）7、从一个装有 4 个红球，2 个白球的口袋中，一个一个地取球，共取 5 次，每次取出的球（1）取后放回；（2）取后不放回求取得红球的个数
