《北京四中高考数学总复习：知识梳理_函数的图象(基础)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京四中高考数学总复习：知识梳理_函数的图象(基础)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 7 页函数的图像函数的图像【考纲要求考纲要求】1.结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解 3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数 类型增长的含义 4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的 广泛应用 5.会作简单的函数图像并能进行图像变换。 6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。【知识网络知识网络】函数的图像图像与性质、图像变换幂 指 对 函 数二 分 法二 次 函 数【
2、考点梳理考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当时，二次方程（）的根的个数可以用判别式与 0 的xR20axbxc0a24bac 关系进行判断；2. 二次方程（）的根、与系数的关系：，；20axbxc0a1x2x12bxxa 12cx xa3.二次方程（）的根的分布：结合（）的图像可以20axbxc0a2( )f xaxbxc0a 得到一系列有关的结论（可以转化为）：0a 0a （1）方程的两根中一根比大，另一根比小.( )0f x rr( )0f r 第 2 页 共 7 页（2）二次方程的两根都大于( )0f x r2402 ( )0
3、bac bra f r （3）二次方程在区间内有两根( )0f x ( , )p q2402 ( )0( )0bacbpqa f qf p （4）二次方程在区间内只有一根，或而另一根在( )0f x ( , )p q( )( )0f qf p( )0f p 内，或而另一根在内. ( , )p q( )0f q ( , )p q（5）方程的一根比小且一根比大（）( )0f x pqpq( )0( )0f pf q考点二：零点考点二：零点 1.1. 函数的零点函数的零点(1) 一般地，如果函数在实数 a 处的值为 0，即，则 a 叫做这个函数的零点( )yf x( )0f a(2) 对于任意函数，
4、只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具下列性质： 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。 (3)函数零点的性质是研究方程根的分布问题的基础，是通过对二次函数的零点的研究而推出的是 由特殊到一般的思想方法。 2.2.二分法二分法(1) 已知函数在区间a，b上连续的，且，通过不断地把函数( )yf x( )( )0f af b的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点的近似值的方法，( )yf x叫做二分法。 (2)二分法定义的基础，是函数零点的性质；二分法定义本身给出了求函数零点近似值的步骤只要第 3 页 共 7
5、 页按步就班地做下去，就能求出给定精确度的函数零点 （3）二分法求函数零点的近似值的步骤，渗透了算法思想与程序化意识此步骤本身就是一个解题 程序。这种程序化思想在计算机上得到了广泛的应用 考点三：图像变换考点三：图像变换 （一）（一） 函数图像函数图像 1.作图方法： 以解析式表示的函数作图像的方法有两种，即列表描点法和图像变换法，掌握这两种方法是本节的重 点运用描点法作图像应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线 连在恰当处这就要求对所要画图像的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研 究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图像变
6、换法作函数图像要确定以哪 一种函数的图像为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点 2.作函数图像的步骤： 确定函数的定义域；化简函数的解析式； 讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势） 、特殊点（如：零点、极值点、 与轴的交点） ； 描点连线，画出函数的图像。 （二）（二） 图像变换图像变换 图像变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。 （1）平移变换（左加右减，上加下减）把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，( )f x(0)a a a()f xa把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，( )f x(0)a a a()f xa把函数的图像向
7、上平移个单位，得到函数的图像，( )f x(0)a a a( )f xa把函数的图像向下平移个单位，得到函数的图像。( )f x(0)a a a( )f xa（2）伸缩变换把函数图像的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得 (01)( )yf x1 w()yfx把函数图像的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得 (1)( )yf xw( )yf x把函数图像的横坐标不变，( )yf x纵坐标缩短到原来的倍得 (01)w( )yf x（3）对称变换：函数和函数的图像关于轴对称( )yf x( )yf x x函数和函数的图像关于轴对称( )yf x()yfxy函数和函数的图像关于原点对称( )yf x()
8、yfx 函数和函数的图像关于直线对称( )yf x1( )yfxyx第 4 页 共 7 页简单地记为：轴对称要变，轴对称要变，原点对称都要变。xyyx对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是)(xfy xR)()(xbfaxf( )f x2bax（4）翻折变换：把函数 y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到轴上方，得到函数的x( )yf x图像； 保留轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数y的图像。()yfx【典型例题典型例题】类型一：类型一：图像变换图像变换 例例 1写出下列函数作图过程，然后画出下列函数图像的草图.（1） （2） （3） （4）
9、21 1xyx(1)2yxx|lg|yx|1|2xy【解析】 （1） 212(1) 112111xxyxxx先作出函数的图像，xy1再把函数的图像向右平移一个单位得到函数的图像，xy111 xy最后把函数的图像向上平移 2 个单位，11 xy得到函数的图像。121yx（2） 然后作出函数的图像。222(2)(1)22(2)xxxyxxxxx（3）首先作出函数的图像，xylg再把函数的图像轴上方保持不变，xylgx把轴下方的图像对称地翻折到轴上方，xx即得函数的图像。|lg|yx（4）首先作出函数的图像，xy2然后把的图像轴右边的保持不变，去掉轴左边的图像，xy2yy再把轴右边的图像对称地翻折到
10、轴左边，即得函数的图像，yy|2xy 最后把函数的图像向左平移一个单位，|2xy 得到函数的图像。|1|2xy【总结升华】第 5 页 共 7 页作函数图像的基本方法有两种： (1)描点法 ； (2)图像变换法：利用基本初等函数变换作图，其中掌握好(1)平移变换；(2) 对称变换；(3) 伸缩变 换。 举一反三：举一反三： 【变式】作出下列函数的图像(1) (2) ) 1(2xxy1lgxy(3)12 xxy【答案】类型二类型二：一元二次方程的根的分布一元二次方程的根的分布例例 2 2已知函数的一个零点比 1 大，一个零点比 l 小。求实数的取22( )(1)(2)f xxaxaa值范围 【解析
11、】方法一：方法一：设方程的两根分别为、（）22(1)(2)0xaxa1x2x211xx 则 即 21(1)(1)0xx2121() 10x xxx 由韦达定理得：2(2)(1) 10aa 即，解得：220aa21a 方法二：方法二：函数的大致图像如图：22( )(1)(2)f xxaxa则 即(1)0f2(2)(1) 10aa 解得：21a 【总结升华】1. 这类题为方程的实根分布问题，解决此类问题一定要注意结合图像，从判别式、韦 达定理、对称轴、端点函数值的大小、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件。函数与方程联系 密切，可把函数问题转化为方程问题解决，也可用数形结合法。 2. 函数 y
12、=ax2+bx+c, 当 a0 时，才是二次函数，具体问题时，切忌忽略讨论 a=0 的情况。 3三个”二”次的关系是高考考查的重中之重，把二次方程和二次不等式的问题从二次函数的观点 出发运用数形结合思想分析处理是高考应考必须落实的基本思路。 举一反三：举一反三：【变式】已知方程至少有一正根，求实数的取值范围.2(3)10mxmx m【答案】从二次函数的观点出发，结合函数图像与 x 轴交点的位置解决问题并对进行分类讨论。m令，2( )(3)1f xmxmx第 6 页 共 7 页则函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧，( )yf xx（1）若，则与 x 轴交点，符合题意。0m ( )31f
13、xx 1( ,0)3（2）若，即函数的图像一定过点，有0m (0)1f( )yf x(0,1)当时，的图像开口向上，只有下图所示情形符合题意，0m ( )yf x即,解得.002b a 2(3)40 302mm m m01m当时，的图像开口向下，必然有一个交点在原点右侧，符合题意.0m ( )yf x综上可得(,1m 类型三：零点的判定类型三：零点的判定例例 3.3. 求方程的解的个数21333xxx【解析】作出函数和的图像，13yx22 2113153()3324yxxx且时，有（如图）3 2 x215 4 y12 y12yy由图像可以知道：函数和的图像的交点的个数为 3，13yx2 213
14、3yxx第 7 页 共 7 页即方程的解的个数为 3.3213303xxx【总结升华】1.本题在求解的过程中，只需作出反映函数性状的“大致”图像，结合函数的单调区间 便可解决本问题，只要得出极大值为正，极小值为负，便可立即得到原方程有 3 个根 2.把方程问题转化为函数问题，将方程和函数紧密联系起来，利用数形结合思想解决问题比较方便。 通过计算作方程所对应函数的函数值表格或作出函数的图像，用函数值的变化情况分析零点所在的区间， 然后再利用单调性确定个数。 3. 对于超越方程的根，无法用代数的方法求得它的具体的解，只能把方程问题转化为函数问题确定它的解的个数.例如：，等。230xxlg xx10sin0xx举一反三：举一反三：【变式】方程的实数解的个数为 。230xx【答案】作和的图像（如图）2yx3xy当时，因此方程有一个实数根0x 23 xx230xx
