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1、习题习题 8-11. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点 集和边界： (1)； ( , )|0x yx (2)；22( , )| 14x yxy+(3)；2( , )|x yyx(4).2222( , )|(1)1( , )|(1)1x yxyx yxyU-+解：(1)开集、无界集，聚点集：R2，边界：(x,y)|x=0. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：(x,y)|1x2+y24， 边界：(x,y)|x2+y2=1(x,y)| x2+y2=4. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：(x,y)|yx2， 边界：(x,y)| y=x2. (4)
2、闭集、有界集，聚点集即是其本身， 边界：(x,y)|(x-1)2+y2=1(x,y)|(x+1)2+y2=1.2.已知，试求.22tan( , )f x yxyxyx y( , )f tx ty解：222( ,)( )( )tan( , ).txf tx tytxtytx tyt f x yty3.已知，试求.( , , )wuvf u v wuw(,)f xy xy xy解：f(x+y, x-y, xy) =(x+y)xy+(xy)x+y+x-y =(x+y)xy+(xy)2x. 4.求下列各函数的定义域：(1)； (2) ；2ln(21)zyx11xyyzx(3) ； (4) ；2224
3、ln(1)xyzxy111uxyz(5) ； (6) ；1z xy 22ln() 1xzyx xy (7) . 22arccoszu xy 解：2(1)( , )|210.Dx yyx (2)( , )|0,0.Dx yxyxy22222(3)( , )|40,10,0.Dx yxyxyxy(4)( , , )|0,0,0.Dx y zxyz2(5)( , )|0,0,.Dx yxyxy22(6)( , )|0,0,1.Dx yyxxxy22222(7)( , , )|0,0.Dx y zxyxyz习题习题 8-21.求下列各极限：(1)； (2)； 221 0ln(e )limyx yxxy
4、 222() 22 11lim(1)xyx yxy (3)； (4)； 0 024lim x yxy xy 0 0lim1 1x yxyxy (5)； (6). 0 0sinlim x yxy x 2222220 01 cos()lim ()exyx yxyxy 解：(1)原式=022ln(1 e )ln2. 10 (2)原式=+.(3)原式= 0 0441lim.4(24)x yxy xyxy (4)原式= 0 0(1 1)lim2.1 1x yxyxy xy (5)原式= 0 0sinlim1 00. x yxyyxy (6)原式=22222222222()00 001()2limlim0
5、. ()e2exyxyxx yyxyxyxy 2.判断下列函数在原点处是否连续：(0,0)O(1)；33 22 2222sin(),00,0xyxyzxyxy (2)；33 33 3333sin(),00,0xyxyzxyxy (3) .22 22 22222,0() 0,0x yxyzx yxyxy 解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()xyxyxyxyyxxyxyxyxy又，且, 0 0lim()0 x yyx 333300 0sin()sinlimlim1 xu yxyu xyu 故. 0 0lim0(0,0) x yzz 故函数在 O(0,0
6、)处连续.(2) 00 0sinlimlim1(0,0)0 xu yuzzu 故 O(0,0)是 z 的间断点. (3)若 P(x,y) 沿直线 y=x 趋于(0，0)点，则,222200 0limlim10xx y xxxzxx 若点 P(x,y) 沿直线 y=-x 趋于(0，0)点，则2222222000 0()limlimlim0()44xxx yxxxxzxxxx 故不存在.故函数z在O(0，0)处不连续. 0 0lim x yz 3.指出下列函数在何处间断:(1)；(2)；233( , )xy xfyyx222,2()yfxyx yx (3).22( , )ln(1)f x yxy解
7、：(1)因为当 y=-x 时，函数无定义，所以函数在直线 y=-x 上的所有点处间断，而在其余 点处均连续. (2)因为当 y2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线 y2=2x 上的所有点处间断.而在其余各 点处均连续.(3)因为当 x2+y2=1 时，函数无定义，所以函数在圆周 x2+y2=1 上所有点处间断.而在其余各 点处均连续.习题习题 8-31.求下列函数的偏导数:(1)； (2)；2 2xzx yy22uvsuv(3)；(4)；22lnzxxylntanxzy(5)；(6)；(1)yzxyxyuz(7)(8).arctan()zuxyyzxuxyz解：(1)2 23122,.z
8、zxxyxxyyy(2) uvsvu2211,.svsu uvuvvu (3)2 2222 222222111ln2ln(),22zxxyxxxyxxyxyxy222222112. 2zxyxyyxyxyxy(4)21122seccsc, tanzxx xxy yyy y2 22122sec()csc. tanzxxxx xyyyyy y (5)两边取对数得lnln(1)zyxy故 2 21(1)(1)(1).ln(1)1yyy xzyxyxyyxyyxyxxyln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1yy yyxzxyyxyxyyxyxyyxyxyxyxy (6)1lnlnxyx
9、yxyuuuz zyz zxxy zxyz(7)1 1 221()().1 () 1 ()z z zzuz xyz xyxxyxy 112222()( 1)().1 () 1 ()() ln()() ln().1 () 1 ()zzzzzzzzuz xyz xy yxyxyuxyxyxyxy zxyxy (8)2.已知，求证:.22x yuxy3uuxyuxy证明： .222223222()2 ()()uxyxyx yx yxy xxyxy由对称性知 .22322 ()ux yyx yxy于是 .2223()3()uux yxyxyuxyxy3.设，求证:.11 exyz222zzxyzxy证
10、明： ,11112211eexyxyz xxx由 z 关于 x,y 的对称性得1121exyz yy故 111111 2222 2211ee2e2 .xyxyxyzzxyxyzxyxy4.设，求.( , )(1 arcsin)fyyxxyx( ,1)xfx解： 2111( , )1 (1) 21xfx yyyxxyy 则.( ,1)1 01xfx 5.求曲线在点处的切线与正向轴所成的倾角.224xyzxy y (2,4,5)x解：(2,4,5)1,1,2zzxxx设切线与正向 x 轴的倾角为 ,则 tan=1. 故 =. 4 6.求下列函数的二阶偏导数:(1)； (2)；4422-4zxyx
11、yarctanyzx(3)； (4).xzy2exyz解：(1)2 3222 24812816zzzxxyxyxyxxx y ，由 x,y 的对称性知22 22 2128.16.zzyxxyyy x (2)，222211zyy xxyxy x 2222222222222222222222222222222222222222() 022,()() 11, 12,()()2,()()2.()()zxyyxxy xxyxy zx yxxyy x zxy yxyzxyyyyx x yxyxyzxyxxyx y xxyxy (3)2 2 2ln ,ln,xxzzyyyyxx2 12 22 112 111
12、,(1),1ln(1ln ),ln(1ln ).xxxxxxxxzzxyx xyyyzyxyyyxyx yyzyxy yyxyy x (4)22e2 ,e,xyxyzzxxy2222222 22e22e22e(21),e,2 e,2 e.xyxyxyxyxyxyzxxxx zzzxxyx yy x 习题习题 8-41.求下列函数的全微分:(1)；(2)；22exyz 22yz xy (3)；(4).zuxyy zux解：(1)2222e2 ,e2xyxyzzxyxy222222d2 ed2 ed2e( dd )xyxyxyzxxyyx xy y(2)2222 3/22212 ()2zxxyyxyxxyxy 222222222 3/2()yxyy xyzx yxyxy 22 3/2d( dd ).()xzy xx yxy (3)11,lnzzzyyzuuy xxx zyxy2lnlnyzux xy yz211ddlndlnlnd .zzzyyzyzuy xxxx zyyx xy yz(4)1y zuyxxz1lny zux xyzlny zuyx xzz 121ddlndlnd .yyy zzzyyuxxx xyx xzzzz 2.求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：(1)；
