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1、4.1 不定积分的概念与性质.4.2 基本积分公式和直接积分法.4.3 换元积分法和分部积分法.4.4 定积分的概念及其性质.4.5 定积分的计算.4.6 定积分的应用4.7 广义积分第四章 积分及其应用14.1 不定积分的概念与性主要内容: 1.不定积分的概念. 2.不定积分的性质. 3.不定积分的几何意义.2一、不定积分的概念1、引例 2、原函数概念 3、原函数存在定理 4、不定积分概念 5、不定积分的例子31、引例 已知自由落体的运动速度 v =gt， 求自由落体的路程公式由导数的力学意义可知，速度联想到并且常数的导数为0所以于是路程为又当 t = 0 时 s(0) = 0 ，代入上式得
2、 C = 0 ，故所求的路程公式为解设自由落体的路程为4该物理问题是已知速度求路程抽象为数 学问题，就是已知导数求原来的函数，这是求 导数的逆运算这里需要解决两个问题：一是逆运算是否存在？二是如果逆运算存在的话，结论有几个？现在就来围绕这两个问题解决求导数（或 微分）的逆运算问题就引例引出的思考：5设函数 f (x)在区间I上有定义，若存在 函数F(x) ，使得对于I上的任一点 x ，都有则称函数F(x)为f (x)在I上的一个原函数由于常数 C 的导数是0，因此若一个函数 有原函数，那么它就有无穷多个原函数。设F(x)是f (x)的一个原函数，则 F(x)+C (C是任意常数)都是 f (x
3、)的原函数，而且只 F(x)+C 才是f (x)的原函数。2、原函数概念定义16某区间上的连续函数一定存在原函数 3、原函数存在定理由于初等函数在其有定义的区间上是连续的，因而初等函数在其有定义的区间上存在原函数定理17设 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全体原函数 F(x) +C 称为 f (x)的不定积分，记为:即积分号被积函数被积表达式积分变量积分常数4、不定积分概念定义2 8因为所以的不定积分求5、不定积分的例子例1解9当 x 0时 ，所以当 x 0 或 x 0，都有公式的不定积分求例2解10二、 不定积分的性质求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算，即有：可见，微
4、分号与积分号相遇时可以抵消，但先微分后积分，最后需加任意常数C.11解两边同时求导，得 f (x) = 2 x 从而有故所求不定积分为例312三、不定积分的几何意义函数f (x)的原函数 F(x)的图象称为f (x)一条积分曲线,不定积分表示全体原函数 F(x) + C,所以不定积分在几何上表示曲线y = F(x)沿 y 轴上下平移|C|个单位而得到的一族积分曲线 。由性质（1）可知，这一族积分曲线上相对于同一横坐标x0 的点的切线斜率相等，即这些切线互相平行。 13Oyxx0几何意义图示14求过点（0,0）,且曲线上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的余弦值,求此曲线.设所求曲线为yf (x
5、),(x,y)为曲线上任一点，由此可求得又曲线过点（0,0）,代入上式得C=0，于是所求的 曲线为y = sin x若要求出积分曲线族中的一条特定曲线， 就必须另外附加条件，根据这个条件确定积分常数C 的值，就可以求出所需曲线。题中的“曲线过点（0, 0 ）”就是这个附加条件。例4 注意 ：由导数的几何意义可知解151、原函数在某区间上，若F(x) = f (x)，则称 F (x)是 f (x)的 一个原函数。 且 f (x) 的原函数有无穷多个， F (x)+C 是 f (x) 的全体原函数。2、不定积分f (x) 的不定积分即 f (x) 的全体原函数 F(x)+C ，即 求 f (x) 的不定积分是先求 f (x) 的一个原函数F (x)再加任意常数C。求不定积分和求导数是互为逆运算，可以用求导来检验积分结果的正确性。四、小结163、不定积分的几何意义f (x) 的原函数F (x)的图象称为 f (x)的一条积分曲线，在几何上称为 f (x)的积分曲线族，族中的曲线上相对于同一横坐标的点的切线斜率相等，即切线不定积分互相平行。17作业： 习题4.118
