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1、数学必修 4 第 1 页 共 19 页2011 高考数学复习必修 4第一章第一章 基本初等函数基本初等函数 II一、基础知识（理解去记）一、基础知识（理解去记） 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若 旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|=rL,其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与
2、x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为 r,则正弦函数 sin=ry,余弦函数 cos=rx,正切函数 tan=xy，余切函数 cot=yx，正割函数 sec=xr,余割函数 csc=.yr定理 1 同角三角函数的基本关系式：倒数关系：tan=cot1,sin=csc1，cos=sec1；商数关系：tan= sincoscot,cossin；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos； 平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2. 定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, c
3、os(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(- )=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin 2=cos, cos 2=sin, tan 2=cot（记法：奇变偶不变，符号看象限）。 定理 3（根据图像去记） 正弦函数的性质：根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间 22 ,22kk上为增函数，在区间 232 ,22kk上为减函数，最小正周期为 2. 奇偶数. 有界性：当且
4、仅当 x=2kx+2时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-2时, y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+2均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里 kZ.定理 4 （根据图像去记） 余弦函数的性质：根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=k 均为其对称轴，点 0 ,2k均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2k 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ.定理 5 （根据图像去记） 正切函数
5、的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+2)在开区间(k-2, k+2)上为增函数, 最小正周期为 ，值域为（-，+），点（k，0），（k+2，0）均为其对称中心。定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=.)tantan1 ()tan(tan 数学必修 4 第 2 页 共 19 页定理 7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sin 2cos 2,sin-sin=2sin 2cos 2,cos+cos=2cos 2cos 2, cos-cos=-2sin 2sin 2,sincos=21sin(+)+
6、sin(-),cossin=21sin(+)-sin(-),coscos=21cos(+)+cos(-),sinsin=-21cos(+)-cos(-).口诀记忆：积化和差：21前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余后为和，正后为差” 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦 定理 8 倍角公式（常考）:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=.)tan1 (tan22 定理 9 半角公式:sin 2=2)cos1 (,cos 2=2)cos1 (,tan 2=)cos1
7、 ()cos1 ( =.sin)cos1 ( )cos1 (sin 定理 10 万能公式: 2tan12tan2 sin2, 2tan12tan1 cos22,.2tan12tan2 tan2定理 11 *【必考】辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为 ，则 sin= 22bab,cos= 22baa，对任意的角 .asin+bcos=)(22ba sin(+).定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有RCc Bb Aa2sinsinsin，其中 a, b, c 分别是角 A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。 定
8、理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边。 定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到 y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象 （周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象
9、向右平移个单位得到 y=Asinx 的图象。数学必修 4 第 3 页 共 19 页定义 4 函数 y=sinx 2,2x的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1)，函数 y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx 2,2x的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程 cos
10、x=a 的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.定理 16 若 2, 0x，则 sinx-1，所以 cos0 ,2x，所以 sin(cosx) 0,又 00， 所以 cos(sinx)sin(cosx).若2, 0x，则因为 sinx+cosx=2cos22sin222 xx(sinxcos4+sin4cosx)=2sin(x+4)2cos(2-cosx)=sin(cosx).综上，当 x(0,)时，总有 cos(sinx)0，求证
11、：. 2sincos sincos xx 【证明】 若 +2，则 x0，由 2-0 得 cossin(2-)=cos, 所以 0cos(2-)=sin0,所以 sincos1。又 01，数学必修 4 第 4 页 共 19 页所以2sincos sincos sincos sincos00 xx，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2 是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=k+2时，y
12、=0（因为|2cosx|20, cos20.所以 sin2（1+cos）=2sin2cos22=2cos2cos2sin22222 3 22232cos2cos2sin2 2 =.934 2716当且仅当 2sin22=cos22, 即 tan2=22, =2arctan22时，sin2(1+cos)取得最大值934。例 7 若 A，B，C 为ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。【解】 因为 sinA+sinB=2sin2BAcos2sin22BABA, sinC+sin23sin223cos23sin23 CCC , 数学必修 4 第 5 页 共 19 页又因为3
13、sin243cos43sin223sin2sin CBACBACBA，由，得 sinA+sinB+sinC+sin34sin3,所以 sinA+sinB+sinC3sin3=233,当 A=B=C=3时，（sinA+sinB+sinC）max=233.注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函 数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5换元法的使用。例 8 求xxxxycossin1cossin 的值域。【解】 设 t=sinx+cosx=).4sin(2cos22sin222 xxx因为, 1)4sin(1x所以. 22t 又因为 t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx=212t，所以21 1212t txy，所以.212 212y因为 t-1，所以121t，所以 y-1.所以函数值域为.212, 11,212 y例 9 已知 a0=1, an=11121nn aa(nN+)，求证：an22n.【证明】 由题设 an0，令 an=tanan, an 2, 0，则an=.ta
