第二讲 二期证券市场的基本模型 和线性定价法则1《金融经济学》第二讲从期权定价问题讲起§ 从我们上次最后提出的“期权定价问题”的解 法上我们可看出“数学公理化方法”的一般步 骤：1提出模型 (二期、二状态、二证券模 型)；2提出所依据的“公理”的具体形式 (线 性定价法则等)；3根据“公理”，提出问题 ，求解 § 所求得的解答当然取决于“模型”和“公理”两 方面2《金融经济学》第二讲“模型”与“公理”§ “模型”的提出取决于工具工具并非越艰深 越好，而应该以能否回答问题、解决问题为 原则 § “公理”的提出取决于理念在我们的讨论中 ，理念就是“套利定价论” § 两者常常是同时考虑的有时甚至很难严格 区分3《金融经济学》第二讲“均衡定价论”的资产定价§ 上述“期权定价”是一种“相对定价”的方法 其中没有涉及任何经济活动者的市场行为 § 考虑“经济者行为”的是“均衡定价论”这是 一种“绝对定价”的方法见讲义中的例子) § 这些“定价理论”都不考虑信息的作用4《金融经济学》第二讲金融资产定价问题§ 金融经济学的基本问题是在不确定市场环境 下对金融资产定价 § 这大致可表达为这样的一个问题：已经知道 一种金融资产在未来各种可能的价值，要问 它当前的价值是多少。
§ 前面讨论过的“期权定价问题”就是这样的问 题5《金融经济学》第二讲二期资产定价模型未来未定权益空间定价当前确定价值 (实数域)6《金融经济学》第二讲经济学使高维空间普及化G. Debreu (1921-2004), 1983 年诺贝尔经济奖获得者“商品空间有实向量空 间结构这一事实是经济学 数学化成功的基本原因－－G. Debreu 1983 年诺贝尔经济奖演说7《金融经济学》第二讲金融学数学化成功的基本原因§ 模仿 Debreu 的警句，我们可以说：金融学数学 化成功的基本原因是：portfolio 与 linear combination 之间有对应关系即证券组合的 价值等于证券价值的线性组合 § 这一“对应关系”被当作“不证自明”的公理 § 因此，“未来未定权益空间”首先形成一个线 性空间这个线性空间可能是有限维的，也可 以是无限维的 § 定价问题则是两个线性空间之间建立对应关系 8《金融经济学》第二讲最早的“金融资产定价”研究§ 历史上最早的“金融资产定价”研究紧密联系着 概率论的早期历史当时研究的“金融资产”就 是赌博 § 从“定价”（“下赌注”）的角度来看，赌博与金 融资产一样，要确定“未来”价值不确定的“赌 局”的“当前”价值。
§ 概率论最早的著作就是关于赌博的一些通信 9《金融经济学》第二讲概率论的早期历史Blaise Pascal (1623- 1662)Pierre de Fermat (1601-1665)1654 年 Pascal 与 Fermat 的 五封通信，奠定概率论的 基础他们当时考虑一个 掷骰子问题，开始形成数 学期望的概念，并以“输赢 的钱的数学期望”来为赌博 “定价”10《金融经济学》第二讲Pascal - Fermat 问题§ 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者 赢有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷 满 3 次双 6 点由于天色已晚，两人无 意再赌下去，那么该怎样分割赌注？ § 答案：A 得 3/4, B 得 1/4.§ 结论：应该用数学期望来定价11《金融经济学》第二讲Bachelier 的观念§ Pascal-Fermat 的观念 被 Bachelier 用到证券 市场的定价上 § 如果证券的未来价值 是随机变量 x, 那么其 当前价值就是 p(x)=E[x], 或者 x=p(x)+, 其中 E[]=0.12《金融经济学》第二讲随机游走、布朗运动和鞅13《金融经济学》第二讲随机游走、布朗运动和鞅 (续)14《金融经济学》第二讲有效市场理论的先驱§ 这几个概念虽然都是后人提出的，但都 起源于 Bachelier 1900 年的论文，而其 更早的根源是 17 世纪的 Pascal-Fermat 的观念。
§ 这样的观念也成为有效市场理论的先驱 ；不过后人发现：把上述价格序列代换 为价格的对数序列更符合实际早期有 效市场理论就企图验证这样的结果15《金融经济学》第二讲时间价值和风险价值§ 上述观念的最大问题是不能解释证券的时 间价值和风险价值 § 经过长时期的金融学研究，人们最后发现 ，应该把 p(x)=E[x] 取代为 p(x)=E[mx]. 其 中 m 称为随机折现因子 §m 也可看作对概率测度的一种变换，即在 另一种概率测度下，可以有 E*[x]=E[mx], 整个理论又可回归到原来16《金融经济学》第二讲无套利假设§ 解决金融资产定价问题的出发点是无套利 假设 § 无套利假设的简单说法就是“无钱投入就无 钱产出”它相当于在普通商品经济中的“无 投入就无产出”假设对金融商品的要求 § 数学公理化的方法就是要把一些作为假设 的想法，用一个数学模型把它表达出来17《金融经济学》第二讲无套利假设的五个层次§ 未来价值一样的组合，当前应该有一样的 定价 § 组合的若干倍的当前价值应该等于该组合 的当前价值的同样倍数 § 组合的买价与卖价应该一致 § 组合的当前价值应该等于其组合成分的当 前价值之和。
§ 未来值钱 (价值为正) 的组合，当前也值钱 18《金融经济学》第二讲无套利假设五个层次的数学表达 (未来价值确定情形） n(可定价法则) 存在定价函数 n(正齐次定价法则) 是正齐次函数，即对 于任何正实数 和实数 n(齐次定价法则) 是齐次函数，即对于任 何实数 和实数 n(线性定价法则) 是线性函数，即对于任 何实数 和 n(正线性定价法则) 是正线性函数，即当 时， 19《金融经济学》第二讲无套利假设五个层次的数学表达 （一般情形） n (可定价法则) 存在定价函数 n (正齐次定价法则) 是正齐次函数，即 对于任何正实数 和实数 n (齐次定价法则) 是齐次函数，即对于 任何实数 和实数 n (线性定价法则) 是线性函数，即对于 任何实数 和 n (正线性定价法则) 是正线性函数，即当 时，20《金融经济学》第二讲关于“五个层次”的新认识 § 如果我们承认证券组合的价值等于证券价值 的线性组合，即如果我们承认“未定权益空 间为线性空间”，那么 2, 3, 4 层次将是第 1 层次的直接推论 § 因此，更重要的是第 1 层次和第 5 层次。
它 们的表述与线性结构无关 § 在金融学文献中，第 1 层次称为一价定律 （law of one price)，第 5 层次称为无套 利机会 (no arbitrage, absence of opportunity for arbitrage).21《金融经济学》第二讲“一价定律”的经典表述§ “一价定律”往往被看作经济学的“一般定律” § Modigliani 和 Miller 在他们1958年的经典论 文中正是以此作为他们论述的出发点：“完 善 (perfect) 市场”中 “互相完全可替代的两种 商品在均衡中必须都以同样的价格出售” § 正如我们前面所述，它意味着一种线性定价 法则22《金融经济学》第二讲“一价定律”与“无套利机会”§ 在“二期模型”中，“一价定律”可形象地表述 为“将来（不确定）价值一样，现在（确定 ）价值也一样” § “无套利机会”可形象地表述为“将来（不确定 ）值钱（为正），现在（确定）也值钱（为 正） § 在存在无风险证券（钱）的模型中，“无套 利机会”一定能导出“一价定律”因此，“无 套利机会”将意味着一种“正线性定价法则”23《金融经济学》第二讲二期模型未来未定权益线性空间定价当前确定价值 (实数域)一价定律： 线性定价法则无套利机会： 正线性定价法则24《金融经济学》第二讲均值－方差分析§ Markowitz (1952) 首先提出把收益率看作随 机变量，并用它的均值（数学期望）来刻画 “收益”，用它的方差来刻画“风险”。
这个观 点沿用至今 § 有了这样的观念以后，利用随机变量可进行 线性运算，我们就可用来处理证券组合，其 中的“风险”可“分散”、“对冲”以至“重新组合” 这是金融工程的核心25《金融经济学》第二讲随机变量的均值和方差§ 任何一个随机变量 x 总可分解为它的均值和 随机波动两部分： 其中是 x 的方差 § 如果 是另一个随机变量，其方差 , 那么它们的协方差为其中 是它们的相关系数26《金融经济学》第二讲随机变量与向量的比较§ 随机变量： 向量： § 协方差： 内积： § 标准差： 长度： § 相关系数 ： 夹角余弦：§ 数学公理化方法把“同构”的东西看作（外延上 ）“同样”的东西！27《金融经济学》第二讲基本假设n未定权益空间 是一些方差有限的随 机变量形成的向量空间 n如果对于任何 定义 为它 们的内积，那么 是Hilbert 空间。
n定价函数 为线性连续函数28《金融经济学》第二讲简单情形的模型§ 市场中只有 K 种证券，“未定权益空间” 就 是这 K 种证券的未来价格的各种线性组合所 张成的 (有限维) 空间 § 定价函数就由这 K 种证券的当前价格的线性 组合来形成但是为了保证能定价，必须要求 “未来价值一样的未定权益当前有一样的价值” (一价定律) § 为讨论“风险分解”，这个 同样需要引入内 积29《金融经济学》第二讲金融资产定价理论的总思路§ 金融经济学的基本问题是在不确定市场环 境下对金融资产定价：已知金融资产未来 可能的价值，要定它的当前价值 § 最早的解答是：p(x)=E[x], § 后来的解答是： p(x)=E[mx]. §m 的根据是“无套利假设 (线性定价法则)”§ 由此可导出30《金融经济学》第二讲Poincaré、Einstein 和 Hilbert Jules Henri Poincaré (1854-1912) 法国数学家、物理 学 家、哲学家David Hilbert (1862-1943) 德国数学家Albert Einstein (1879- 1955) 德国物理学家31《金融经济学》第二讲“公理化”数学回顾32《金融经济学》第二讲“公理化”数学回顾（续）33《金融经济学》第二讲“公理化”数学回顾（续）34《金融经济学》第二讲“公理化”数学回顾（续）35《金融经济学》第二讲“公理化”数学回顾（续）36《金融经济学》第二讲“公理化”数学回顾（续）37《金融经济学》第二讲内积空间38《金融经济学》第二讲Euclid 空间和 Hilbert 空间39《金融经济学》第二讲Hilbert 空间的正交分解40《金融经济学》第二讲Riesz 表示定理41《金融经济学》第二讲Hilbert 空间§ Hilbert 空间是有限维向量空间的推广。
它有 三个条件：1. 有向量空间的结构，即两个向 量可相加，一个向量可与实数相乘；2. 其上 定义了内积；3. 它满足完备性条件 § 这是一个定义了向量的长度、向量间的夹角 、并且可以作极限运算的向量空间42《金融经济学》第二讲Hilbert 空间的重要性质§ 正交性：两个向量正交是指它们的内积为零 § 正交分解：对于它的任何一个闭子空间，都 存在另一个闭子空间，使得它们正交，并且 每个向量可分解为这两个闭子空间中的向量 之和同时，还有“。