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1、119 (本小题共 14 分)已知双曲线的离心率为,右准线方程为2222:1(0,0)xyCabab33 3x ()求双曲线的方程;C()设直线 是圆上动点处的切线, 与双曲线l22:2O xy0000(,)(0)P xyx y l交于不同的两点,证明的大小为定值. C,A BAOB【解法解法 1】1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和 方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力()由题意,得,解得, 23 33a c c a 1,3ac,所求双曲线的方程为.2222bcaC2 212yx ()点在圆上, 0000,0P xyx y 222xy圆在点处
2、的切线方程为,00,P xy0 00 0xyyxxy 化简得. 002x xy y由及得,2 20012 2yxx xy y 22 002xy222 000344820xxx xx 切线 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且,l2 002x,且, 2 0340x 222 000164 34820xxx 设 A、B 两点的坐标分别为, 1122,x yxy则, 2 00 121222 00482,3434xxxxx xxx,且cosOA OBAOB OA OB ,12121201022 0122OA OBx xy yx xx xx xy 22 120120122 01422x xxxxx x
3、 xx22220000 2222 000082828143423434xxxx xxxx.22 00 22 00828203434xx xx 的大小为. AOB90【解法解法 2】2】 ()同解法 1.()点在圆上, 0000,0P xyx y 222xy圆在点处的切线方程为,00,P xy0 00 0xyyxxy 化简得.由及得 002x xy y2 20012 2yxx xy y 22 002xy222 000344820xxx xx 222 000348820xyy xx 切线 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且,l2 002x,设 A、B 两点的坐标分别为,2 0340x 112
4、2,x yxy则, 22 00 121222 008228,3434xxx xy yxx, 的大小为. 12120OA OBx xy y AOB90(且,从而当时,方程和22 002xy000x y 22 0002,02xy2 0340x 方程的判别式均大于零).(20) (本题 15 分)已知曲线 C 是到点 P()和到直线距离相等的点的轨83,2185y迹。是过点 Q(-1,0)的直线,M 是 C 上(不在上)的动点;A、B 在上,轴(如图) 。xMBMA , ()求曲线 C 的方程;OQABMxy l3()求出直线的方程,使得为常数。QAQB2本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置
5、关系等基础知识,考查解析几何的基本本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本 思想方法和综合解题能力满分思想方法和综合解题能力满分 15 分分()解:设为上的点,则,()N xy,C2213|28NPxy到直线的距离为由题设得N5 8y 5 8y22135 288xyy化简,得曲线的方程为C21()2yxx()解法一:设,直线,则22xxMx ,: l ykxk,从而()B xkxk,2|1|1|QBkx在中,因为RtQMA,2 22|(1)14xQMx2 22 2(1)2|1xxk MAk所以 .2 2222 2(1)|(2)4(1)xQAQMMAkxk,
6、 2|1| |2| 2 1xkxQA k A222|2(1) 11 2|QBkkx QAkxk A当时,从而所求直线 方程为2k 2|5 5|QB QAl220xy解法二:设,直线,则,从而22xxMx ,: l ykxk()B xkxk,过垂直于 的直线2|1|1|QBkxQ( 10) ,l11:(1)lyxk ABOQyxlM4因为,所以,| |QAMH 2|1| |2| 2 1xkxQA k A222|2(1) 11 2|QBkkx QAkxk A当时,2k 2|5 5|QB QA从而所求直线 方程为l220xy(22) (本小题满分(本小题满分 13 分)分)设椭圆过点,且着焦点为22
7、22:1(0)xyCabab( 2,1)M1(2,0)F ()求椭圆的方程;C()当过点的动直线 与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,(4,1)PlC,A BABQ满足,证明:点总在某定直线上AP QBAQ PB AAQ解解 (1)由题意:,解得,所求椭圆方程为 2222222211cab cab 224,2ab22 142xy(2)方法一方法一设点 Q、A、B 的坐标分别为。1122( , ),( ,),(,)x yx yxy由题设知均不为零,记,则且,APPBAQ QB APAQPBQB 01又 A,P,B,Q 四点共线,从而,APPB AQQB 于是 , 1241xx 1211yy ,
8、 12 1xxx 12 1yyy 从而 ,(1) ,(2)222 12 241xxx 222 12 21yyy ABOQyxlMHl15又点 A、B 在椭圆 C 上,即22 1124,(3)xy22 2224,(4)xy(1)+(2)2 并结合(3) , (4)得424sy即点总在定直线上( , )Q x y220xy方法二方法二设点,由题设,均不为零。1122( , ), ( ,), (,)Q x yA x yB xy,PAPBAQ QB 且 PAPBAQQB 又 四点共线,可设,于是, ,P A Q B,(0, 1)PAAQ PBBQ (1)1141,11xyxy (2)2241,11xy
9、xy 由于在椭圆 C 上,将(1) , (2)分别代入 C 的方程1122( ,), (,)A x yB xy整理得2224,xy(3)222(24)4(22)140xyxy(4)222(24)4(22)140xyxy(4)(3) 得 8(22)0xy0,220xy即点总在定直线上( , )Q x y220xy19 设抛物线 y2 =2px (p0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛 物线的准线上,且 BCx 轴证明直线 AC 经过原点 O证明一:因为抛物线 y2 =2px (p0)的焦点为 F (,0),所以经过点 F 的直线的方程可2p设为; 4 分2p
10、myx代入抛物线方程得y2 2pmyp2 = 0,6若记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2是该方程的两个根,所以y1y2 = p2 8 分因为 BCx 轴,且点 c 在准线 x = 上,所以点 c 的坐标为(,y2) ,故直线2p 2pCO 的斜率为111222xy yp pyk 即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O12 分证明二:如图,记 x 轴与抛物线准线 l 的交点为 E,过 A 作 ADl,D 是垂足则ADFEBC 2 分连结 AC,与 EF 相交于点 N,则,ABBFACCNADEN6 分,ABAFBCNF根据抛物线的几何性质,ADAF ,
11、8 分BCBF ,NFABBCAFABBFADEN即点 N 是 EF 的中点,与抛物线的顶点 O 重合,所以直线 AC 经过原点 O 12分(20) (本小题满分 12 分)已知,椭圆 C 过点 A,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。3(1, )2 (1)求椭圆 C 的方程 (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明 直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。解:7()由题意,c=1,可设椭圆方程为,解得,(舍去)2219114bb23b 23 4b 所以椭圆方程为。 4 分22 143xy()设直线 AE 方程为:,代入得3(1)2
12、yk x22 143xy2223(34)4 (32 )4()1202kxkk xk设,因为点在椭圆上,所以(x ,y )EEE(x ,y )FFF3(1, )2A2234()122x34Fkk 8 分3 2EEykxk又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以K 代 K,可得2234()122x34Fkk 3 2EEykxk 所以直线 EF 的斜率()21 2FEFE EF FEFEyyk xxkKxxxx即直线 EF 的斜率为定值,其值为。 12 分1 219 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x2=2py(p0)相交于 A、B 两点。()若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求ANB 面 积的最小值;()是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径 的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明 理由。 (此题不要求在答题卡上画图)本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进 行推理运算的能力和解决问题的能力.解法解法 1:8()依题意,点 N 的坐标为 N(0,-p),可设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立得消去 y 得 x2-2pkx-2p2=0.