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1、119 （本小题共 14 分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为2222:1(0,0)xyCabab33 3x （）求双曲线的方程；C（）设直线 是圆上动点处的切线， 与双曲线l22:2O xy0000(,)(0)P xyx y l交于不同的两点，证明的大小为定值. C,A BAOB【解法解法 1】1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和 方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得， 23 33a c c a 1,3ac，所求双曲线的方程为.2222bcaC2 212yx （）点在圆上， 0000,0P xyx y 222xy圆在点处
2、的切线方程为，00,P xy0 00 0xyyxxy 化简得. 002x xy y由及得，2 20012 2yxx xy y 22 002xy222 000344820xxx xx 切线 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且，l2 002x，且， 2 0340x 222 000164 34820xxx 设 A、B 两点的坐标分别为， 1122,x yxy则， 2 00 121222 00482,3434xxxxx xxx，且cosOA OBAOB OA OB ，12121201022 0122OA OBx xy yx xx xx xy 22 120120122 01422x xxxxx x
3、 xx22220000 2222 000082828143423434xxxx xxxx.22 00 22 00828203434xx xx 的大小为. AOB90【解法解法 2】2】 （）同解法 1.（）点在圆上， 0000,0P xyx y 222xy圆在点处的切线方程为，00,P xy0 00 0xyyxxy 化简得.由及得 002x xy y2 20012 2yxx xy y 22 002xy222 000344820xxx xx 222 000348820xyy xx 切线 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且，l2 002x，设 A、B 两点的坐标分别为，2 0340x 112
4、2,x yxy则， 22 00 121222 008228,3434xxx xy yxx， 的大小为. 12120OA OBx xy y AOB90（且，从而当时，方程和22 002xy000x y 22 0002,02xy2 0340x 方程的判别式均大于零）.（20） （本题 15 分）已知曲线 C 是到点 P（）和到直线距离相等的点的轨83,2185y迹。是过点 Q（-1，0）的直线，M 是 C 上（不在上）的动点；A、B 在上，轴（如图） 。xMBMA , （）求曲线 C 的方程；OQABMxy l3（）求出直线的方程，使得为常数。QAQB2本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置
5、关系等基础知识，考查解析几何的基本本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本 思想方法和综合解题能力满分思想方法和综合解题能力满分 15 分分（）解：设为上的点，则，()N xy，C2213|28NPxy到直线的距离为由题设得N5 8y 5 8y22135 288xyy化简，得曲线的方程为C21()2yxx（）解法一：设，直线，则22xxMx ，: l ykxk，从而()B xkxk，2|1|1|QBkx在中，因为RtQMA，2 22|(1)14xQMx2 22 2(1)2|1xxk MAk所以 .2 2222 2(1)|(2)4(1)xQAQMMAkxk，
6、 2|1| |2| 2 1xkxQA k A222|2(1) 11 2|QBkkx QAkxk A当时，从而所求直线 方程为2k 2|5 5|QB QAl220xy解法二：设，直线，则，从而22xxMx ，: l ykxk()B xkxk，过垂直于 的直线2|1|1|QBkxQ( 10) ，l11:(1)lyxk ABOQyxlM4因为，所以，| |QAMH 2|1| |2| 2 1xkxQA k A222|2(1) 11 2|QBkkx QAkxk A当时，2k 2|5 5|QB QA从而所求直线 方程为l220xy（22） （本小题满分（本小题满分 13 分）分）设椭圆过点，且着焦点为22
7、22:1(0)xyCabab( 2,1)M1(2,0)F （）求椭圆的方程；C（）当过点的动直线 与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，(4,1)PlC,A BABQ满足，证明：点总在某定直线上AP QBAQ PB AAQ解解 (1)由题意：，解得，所求椭圆方程为 2222222211cab cab 224,2ab22 142xy(2)方法一方法一设点 Q、A、B 的坐标分别为。1122( , ),( ,),(,)x yx yxy由题设知均不为零，记,则且,APPBAQ QB APAQPBQB 01又 A，P，B，Q 四点共线，从而,APPB AQQB 于是 ， 1241xx 1211yy ，
8、 12 1xxx 12 1yyy 从而 ，（1） ，（2）222 12 241xxx 222 12 21yyy ABOQyxlMHl15又点 A、B 在椭圆 C 上，即22 1124,(3)xy22 2224,(4)xy（1）+（2）2 并结合（3） ， （4）得424sy即点总在定直线上( , )Q x y220xy方法二方法二设点，由题设，均不为零。1122( , ), ( ,), (,)Q x yA x yB xy,PAPBAQ QB 且 PAPBAQQB 又 四点共线，可设,于是, ,P A Q B,(0, 1)PAAQ PBBQ （1）1141,11xyxy （2）2241,11xy
9、xy 由于在椭圆 C 上，将（1） ， （2）分别代入 C 的方程1122( ,), (,)A x yB xy整理得2224,xy（3）222(24)4(22)140xyxy(4)222(24)4(22)140xyxy(4)(3) 得 8(22)0xy0,220xy即点总在定直线上( , )Q x y220xy19 设抛物线 y2 =2px (p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛 物线的准线上，且 BCx 轴证明直线 AC 经过原点 O证明一：因为抛物线 y2 =2px (p0)的焦点为 F (，0)，所以经过点 F 的直线的方程可2p设为； 4 分2p
10、myx代入抛物线方程得y2 2pmyp2 = 0，6若记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2 = p2 8 分因为 BCx 轴，且点 c 在准线 x = 上，所以点 c 的坐标为（，y2） ，故直线2p 2pCO 的斜率为111222xy yp pyk 即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O12 分证明二：如图，记 x 轴与抛物线准线 l 的交点为 E，过 A 作 ADl，D 是垂足则ADFEBC 2 分连结 AC，与 EF 相交于点 N，则，ABBFACCNADEN6 分，ABAFBCNF根据抛物线的几何性质，ADAF ，
11、8 分BCBF ，NFABBCAFABBFADEN即点 N 是 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合，所以直线 AC 经过原点 O 12分（20） （本小题满分 12 分）已知，椭圆 C 过点 A，两个焦点为（-1，0） ， （1，0） 。3(1, )2 （1）求椭圆 C 的方程 （2）E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明 直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。解：7（）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）2219114bb23b 23 4b 所以椭圆方程为。 4 分22 143xy（）设直线 AE 方程为：，代入得3(1)2
12、yk x22 143xy2223(34)4 (32 )4()1202kxkk xk设,因为点在椭圆上，所以(x ,y )EEE(x ,y )FFF3(1, )2A2234()122x34Fkk 8 分3 2EEykxk又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以K 代 K，可得2234()122x34Fkk 3 2EEykxk 所以直线 EF 的斜率()21 2FEFE EF FEFEyyk xxkKxxxx即直线 EF 的斜率为定值，其值为。 12 分1 219 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（0，p）作直线与抛物线 x2=2py（p0）相交于 A、B 两点。（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面 积的最小值；（）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径 的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明 理由。 （此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进 行推理运算的能力和解决问题的能力.解法解法 1：8（）依题意，点 N 的坐标为 N（0,-p）,可设 A（x1,y1）,B（x2,y2） ，直线 AB 的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立得消去 y 得 x2-2pkx-2p2=0.
