《2019届高考数学（北师大版理）大一轮复习课件：第十三章 推理与证明、算法、复数 第3讲 数学归纳法及其应用.3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学（北师大版理）大一轮复习课件：第十三章 推理与证明、算法、复数 第3讲 数学归纳法及其应用.3 （80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.3 数学归纳法第十三章 推理与证明、算法、复数基础知识 自主学习课时作业题型分类 深度剖析内容索引基础知识 自主学习数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n01或2等)时，命题成立；(2)在假设当nk(kN，kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立知识梳理题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.( )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明
2、.( )(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.( )基础自测123456(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.( )(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.( )123456题组二 教材改编2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验n等于 A.1 B.2C.3 D.4答案解析123456解析 凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.3.已知an满足an1 nan1，nN，且a12，则a2_，a3
3、_，a4_，猜想an_.答案123456n1345题组三 易错自纠4.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1，nN)，在验证n1时，等式左边的项是 A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a3解析答案123456解析 当n1时，n12，左边1a1a21aa2.当nk1时，不等式成立.则上述证法 A.过程全部正确B.n1验证得不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确解析答案123456解析 在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.解析答案1234566.用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN)时，假设当nk时命题成立，则当nk1时，左端增加的项数是_.2k解析
4、运用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN).当nk时，则有1232k2k122k1(kN)，左边表示的为2k项的和.当nk1时，则左边1232k(2k1)2k1，表示的为2k1项的和，增加了2k12k2k项.题型分类 深度剖析1.用数学归纳法证明：题型一 用数学归纳法证明等式自主演 练练证明证明 (1)当n1时，左边右边，所以等式成立.(2)假设当nk (kN且k1)时等式成立，即有所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nN等式恒成立.证明求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN).证明 (1)当n2时，左边f(1)1，(2)假设当nk(k2，kN)时
5、，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论成立.由(1)(2)可知当n2，nN时，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1.用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证当nn0时等式成立.(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.思维维升华华题型二 用数学归纳法证明不等式师师生共 研证明典例 设实数c0，整数p1，nN.(1)证明：当x1且x0时
6、，(1x)p1px；证明 当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立.假设当pk(k2，kN)时，不等式(1x)k1kx成立.则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立.综合可得，当x1，且x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立.证明证明 方法一 当n1时，由题设知a1 成立.假设当nk(k1，kN)时，不等式ak 成立.则当nk1时，ppppp所以当nk1时，不等式an 也成立.综合可得，对一切正整数n，不等式an 均成立.则xpc，综上所述，anan1 ，nN.并且a2f(a1) ，从而
7、a1a2 .故当n1时，不等式anan1 成立.由此可得，f(x)在 ，)上是增加的，因而，当x 时，f(x)f( ) .当n1时，由a1 0，p假设当nk(k1，kN)时，不等式akak1 成立，则当nk1时，f(ak)f(ak1)f( )，即有ak1ak2 .所以当nk1时，原不等式也成立.综合可得，对一切正整数n，不等式anan1 均成立.数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充
8、分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.思维维升华华证明跟踪训练 (2018衡水调研)若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)(nN)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xn1时，对x(0，a1，有(x)0，(x)在(0，a1上是减少的，(a1)1时，存在x0，使(x)0(nN).猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.解答解 分别令n1,2,3，得an0，a11，a22，a33，猜想：ann.a20，a22.()假设当nk(k2，kN)时，akk，那么当nk1时，即ak1(k1)ak1(k
9、1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1，即当nk1时也成立.ann(n2)，显然当n1时，也成立，故对于一切nN，均有ann.命题点3 存在性问题的证明解答(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立.所以当nk1时结论成立.解答(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数，得cf(c)f(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2n1)，即a2n1a2
10、n2，(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.思维维升华华跟踪训练 (2018台州模拟)已知正项数列an中，对于一切的nN均有 anan1成立.(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；证明00，证明下面用数学归纳法证明：当n2，且nN时猜想正确.当n2时已证；当nk1时，猜想正确.典例 (12分)数列an满足Sn2nan(nN).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项
11、公式an；(2)证明(1)中的猜想.归纳猜想证明问题答题模板规范解答答题模板思维点拨思维点拨 (1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，观察所得数值的特征猜出通项公式.(2)用数学归纳法证明.规范解答(1)解 当n1时，a1S12a1，a11；当n4时，a1a2a3a4S424a4，(2)证明 当n1时，a11，结论成立. 5分假设当nk(k1且kN)时，结论成立，那么当nk1时， 7分ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak. 9分当nk1时，结论成立. 11分答题模板归纳猜想证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测
12、数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0N)成立；第三步：假设当nk(kn0，kN)时结论成立，证明当nk1时结论也成立；第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nN成立.课时作业1.(2018商丘周测)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是 A.若f(1)(nN).下面利用数学归纳法证明12345678假设当nk(k1，kN)时，结论成立，12345678证明12345678左边右边，不等式成立.假设当nk(k2，且kN)时不等式成立，12345678则当nk1时，当nk
13、1时，不等式也成立.由知对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.123456785.求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN).证明 (1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，所以当nk1时等式也成立.由(1)(2)可知，对所有nN等式成立. 证明12345678(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；证明 充分性：所以数列xn是递减数列.必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.故xn是递减数列的充要条件是c0.证明12345678证明123456781234567812345678解答(1)求a的值；12345678解得a1.又因为a21，所以a1.所以a21.12345678证明12345678证明 用数学归纳法证明：故当n2时，原不等式也成立.12345678所以当nk1时，原不等式也成立.12345678证明8.(2017浙江)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN
