高二数学生活中的优化问题举例4

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1、 生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利 润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中 不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.复习：如何用导数来求函数的最值？一般地，若函数y=f (x)在a，b上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：（1）求y=f (x)在a，b内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别别地，如果函数在给给定区间间内只有一个极值值点， 则这则这 个极值值一定是最值值。规格（L）21.25

2、0.6价格（元）5.14.52.5问题情景一：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对对消费费者而言，选择选择 哪一种更合算呢？ （2）对对制造商而言，哪一种的利润润更大？例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？r(0，2)2(2，6 f (r)0 f (r)-+ 减函数增函数-1.07p解：每个瓶的容积为:每瓶饮饮料的利润润：例1

3、、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？当r(0，2)时， ，f (r)是减函数当r(2，6时， ，f (r)是增函数解：设每瓶饮料的利润为y，则r(0，2)2(2，6 f (r)0 f (r)-+ 减函数增函数f (r)在(0，6上只有一个极值点 由上表可知，f (2)=-1.07p为利润的最小值-1.07p例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子

4、的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料的利润为y，则当r(0，2)时，而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？解决优化问题的方法之一：通过搜

5、集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有 力的工具，其基本思路如以下流程图所示优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案问题情景二：汽油使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车 速度 v 的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大? （2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是车速慢的时候省油呢？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说汽油的

6、使用效率越高（即越省油）。若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则这里的w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程如何计算每千米路 程的汽油消耗量？例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位: L / h） 与汽车行驶的平均速度v（单位: km）之间，有如图的 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？v(km/h)g (L/h)O12090305051015问题1：可用哪个量来衡量汽油的使用效率？问题2：汽油的使用效率与g、v有什么关系？(w是汽油消耗量， s是汽车行驶的路程)例2、通过研究，人们

7、发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位: L / h） 与汽车行驶的平均速度v（单位: km）之间，有如图的 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？v(km/h)g (L/h)O12090305051015分析：每千米平均的汽油消耗量 ，这里 w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程 w=gt，s=vtP(v，g)的几何意 义是什么？如图所示， 表示经过原点与曲线上的点 P(v，g)的直线 的斜率k所以由右图可知，当直线OP 为曲线的切线时，即斜率k取 最小值时，汽油使用效率最高例3、经统计经统计 表明，某

8、种型号的汽车车在匀速行驶驶中每小时时的 耗油量y（升）关于行驶驶速度x（千米/小时时）的函数解析式 可以表示为为：若已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车车以40千米/小时时的速度匀速行驶时驶时 ，从甲地到 乙地要耗油为为 升;（II）若速度为x千米/小时，则汽车从甲地到乙地需行驶 小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为:.(III)当汽车车以多大的速度匀速行驶时驶时 ，从甲地到乙地耗油 最少？最少为为多少升？17.5 例3、经统计经统计 表明，某种型号的汽车车在匀速行驶驶中每小时时的 耗油量y（升）关于行驶驶速度x（千米/小时时）的函数解析式 可以表示为为：若已知甲、乙两地相距100千米

9、。(III)当汽车车以多大的速度匀速行驶时驶时 ，从甲地到乙地耗油 最少？最少为为多少升？解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为若要使平均成本最低，则每天应生产多少件产品？解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则每天应生产1000件产品练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为变题1：若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件 产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为变题1：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件 产

10、品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？函数在(0，1000)上是减函数故每天应生产800件产品变题2：若产品以每件500元售出，要使得利润最大， 每天应生产多少件产品？练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为基本不等式法：“一正、二定、三相等、四最值值”； 导导数法：一定义义域、二导导数符号、三单调单调 性、四最值值”。小结：在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可 使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通 常称为优化问题.在解决优化问题的过程中，关键在于建立数学模型 和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、 意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要 注意

11、各种数学方法的灵活运用,特别是导数的运用。 (1)审题 ：阅读 理解文字表达的题意，分 清条件和结论 ，找出问题 的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言， 利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题 化归为 常规问题 ， 选择 合适的数学方法求解； (4)对结 果进行验证评 估，定性定量分析 ，做出正确的判断，确定其答案 注意：实际应用中，准确地列出函数解析 式并确定函数定义域是关键 例 在边长为 60cm的正方形铁片的四角 上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线 折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的 边长 是多少时，箱子的容积最大？最大 容积是多少？ 解析 设箱高为

12、xcm，则箱底边长为(60 2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)(602x)2x(00， 当10x30时，V(x)0. 当x10时，V(x)取极大值，这个极大值 就是V(x)的最大值V(10)16000(cm3) 答：当箱子的高为10cm，底面边长为 40cm时，箱子的体积最大，最大容积为 16000cm3. 点评 在解决实际应实际应 用问题问题 中，如果函 数在区间间内只有一个极值值点，那么只需根 据实际实际 意义义判定是最大值还值还 是最小值值 不必再与端点的函数值进值进 行比较较； http:/ 澳洲成人信息 悉尼成人 墨尔本成人 澳洲性息 uyd91vau 天里，耿正兄妹仨

13、和乔氏母女俩一起动手，把五间新屋吊顶棚需要的细竹帘子全部打好了。从正月初六开始，由耿老爹作为主手，耿正 作为主助手，小青、耿英、乔氏和耿直一起动手，开始为五间新屋吊顶棚和装门窗。到正月十六，这些活计就全部做完了。113第二十 九回 张老乡魂游武昌报家信|（白家母女无助时，耿家父子倾心帮；母女情绪稍稳定，耿老爹惊做蹊跷梦。）白百大的丧事办完之后， 大家一时间全都有一种心力交瘁的感觉。乔氏母女俩虽然不再日日痛哭流涕了，但白家已经完全失去了往日的欢乐。耿老爹父子们也无 心再做蔬菜水果贩卖的生意了。封顶的五间新屋目前尚在吹晾之中，耿老爹决定先把各间屋子的窗台和设计在中间屋里的灶台垒砌起来 。因为窗台和

14、灶台垒砌起来了，并不会太多地影响屋子里边的吊顶操作，也不影响吹晾房顶、后墙和隔间墙。于是，耿老爹把自己的想 法小心地告诉了乔氏，让她去找曾经帮助过盖房子的哪一位泥匠师傅，借用人家一段时间的全套操作工具。泥匠工具借回来了，耿老爹 就让耿正给自己打下手，动手垒砌灶台和窗台。嘱咐耿英和耿直，让他们陪着乔氏母女俩人说话，想办法逗她们开心。耿英和耿直都属 于脑子快，嘴巴好使的主；但尽管姐弟俩使出了浑身的解数，乔氏母女俩时不时的还是会偷偷地掉眼泪。每当此时，耿英也会忍不住跟 着掉眼泪，转而又想着法儿劝说：“唉，早听人说，人这一生啊，是生有时辰，死有地点呢，好些事情都是不能由人的。所以啊， 一旦碰上了，尽管

15、很难接受，也只能顺其变了，再伤心也是没有用的啊！”耿直也说：“如果幺爹看到娘娘和小青姐姐老是伤心，他会 很难过的！”乔氏一把鼻涕一把泪地说：“是啊，道理我都清楚呢，可我就是管不住这眼泪都怪他不听劝”看到姆妈哭得伤心，小青顾 不了自己那颗痛苦不堪的心了，反过来又开始劝慰母亲：“我说姆妈啊，英妹妹和小直弟弟说得对着哩。我爹那么喜欢在长江上跑，他 现在可算是遂了自个儿的心愿了！我们就当他是跑一趟长长的船运押送去了，他快乐着呢，我们就不要老是哭了。你要是再伤心出个好 歹来，我可怎么办啊”乔氏睁着一双泪眼看着小青，听话地点点头说：“姆妈不哭他了，咱们记着给他做七也就是了。唉，熬着吧 ，等做完了七七，姆妈这心里啊，也许就会平静一些了。老话不是说了嘛，时间是一剂良药呢”日子就这样一天一天地过去， 乔氏母女俩和耿家父子们已经去长江边上为白百大做了三个“七”了。每次做“七”，船老大都是早早地派马车接来送去的，这让白、 耿两家人很感激。五间新屋的窗台和灶台全部垒砌好了，乔氏母女俩的心情也一天天好起来。于是，耿老爹决定再做一些蔬菜水果的贩 卖生意。那