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1、1课课 题：函数的单调性（教案）题：函数的单调性（教案）教材：人教版普通高中课程标准实验教科书 必修 1 第一章【教学目标教学目标】1、知识与技能： （1）建立增（减）函数的概念 通过观察一些函数图象的升降，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体 函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增 （减）函数的定义，掌握用定义证明函数单调性的基本方法与步骤。 （2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图型语言到数学语言，理解增 函数、减函数区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体 验数学概念的形成过程的真谛。 2、过程与方法 （1）通过已学过的函数特别是二
2、次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性 3、情态与价值：渗透从直观到抽象，从特殊到一般的数学思想，激发学生学 习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，让学生感受数学思想方法的魅 力。 【教学重点教学重点】 形成增（减）函数的形式化定义 【教学难点教学难点】用定义证明函数的单调性 【教学方法与手段教学方法与手段】 1、教法与学法：主要采取的教学方法是教师启发引导，学生探究学习的教学 方法。从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用定义证明函数单调 性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课
3、的教学目标。 2、教学用具：多媒体投影、几何画板. 【教学过程教学过程】 一、创设情境，引入课题一、创设情境，引入课题 由于天气的原因，2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟 到 8 月 8 日，下图是北京市 2008 年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的 曲线图.2提问：我们可以通过图象来捕捉到一些什么信息？ 分析：分析：学生可能会发现以下信息，当天的最高温度与最低温度以及达到的时刻， 在某个时刻的温度，某些时段温度升高，某些时段温度降低，等等。 二、探索归纳，形成概念二、探索归纳，形成概念 1、借助图象，直观感知、借助图象，直观感知问题问题 1 1：
4、下面分别是函数的图象，观察函数图象的升降趋势。2,yx yx分析：分析：学生会观察到一次函数的图象从左到右都是上升的，而二次函数yx的图象在轴的左侧从左到右是下降的，在轴的右侧从左到右是上升的。2yxyy问题问题 2 2：以函数为例，完成下列表格，并思考下列问题。2xy x-4-3-2-1012342xy 思考：（1）观察表格中，自变量的值从 0 到 5 变化时，函数值如何变化？xy（2）在上，任意改变的值，当时，都有吗？0,12,x x12xx22 12xx（3）对于函数，在区间上，随着的增大，相应的如2xy 0,x( )f x何变化？ 分析：分析：教师引导学生完成表格，解决问题，并通过几何
5、画板进行动画演示，帮 助学生理解抽象的概念。问题问题 3 3：在数学上规定：函数在区间上是增函数，谁能给增函数2xy 0,下个定义？ 分析：分析：引导学生讨论、交流，说出各自的想法。学生在下定义的时候可能会出现的情况：没有说明在哪个区间上，没有考虑到是任意取的两个12xx、12xx、数，还有就是没有考虑到“当时，都有”是否也对。12xx12()()f xf x2 2、抽象概括，形成概念、抽象概括，形成概念Oyyxx 1 2 3-1-2-3-11234561 2-1-2-3-112345O3（1 1）增函数的定义：）增函数的定义：一般地，设函数的定义域为 I：( )f x如果对于定义域 I 内某
6、个区间 D上的任意两个自变量的值， 12,x x当时，都有，12xx12()()f xf x那么就说函数在区间 D 上是增函数。( )f x分析：分析：在学习增函数的定义时，学生会对“某个区间” “任意两个”等关键词不 够重视，教师需要引导学生更好的理解这些关键词。练习：练习：判断下列说法是否正确函数在区间-5，5上满足，则函数在区间-5，52yx( 1)(3)ff2yx上是增函数。定义在 R 上的函数满足，则函)(xf( 2)( 1)(0)(1)(2)fffff数是 R 上的增函数。( )f x分析：分析：对于学生错误的回答，教师要引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的
7、根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量21,xx 思考：通过判断题，引导学生掌握增函数的定义中要注意的思考：通过判断题，引导学生掌握增函数的定义中要注意的 2 2 点点 单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数局部的性质； 研究函数在某个区间上的单调性不能只取两个特殊值，或者无数多个特殊值， 必须要取该区间内的任意两个数。（2 2）减函数的定义：）减函数的定义：一般地，设函数的定义域为 I：( )f x如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个变量的值，当时，12,x x12xx都有，那么就说函数12()()f xf x在区间 D 上是减函数。( )f x
8、分析：学生学习了增函数的定义后，通过类比的方法能概括出减函数的定义。分析：学生学习了增函数的定义后，通过类比的方法能概括出减函数的定义。（3 3）单调区间的定义）单调区间的定义Oxy )x(fy )x(f11x)x(f22x)x(f1)x(f2)x(fy Oxy1x2x4如果函数在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这( )yf x( )yf x一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做的单调区间。( )yf x三、巩固基础，演练提升三、巩固基础，演练提升 1、例题、例题 例例 1 如图是定义在区间5，5上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区 间，以及在每一单调区间上，它是增
9、函数还是减函数？分析分析：教师提示利用函数单调性的几何意义，学生先思考或讨论后再回答，教 师点拨、提示并及时评价学生。图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则 在此区间上是减函数。另外，教师还要提醒学生注意单调区间的书写。例例 2 物理学中的玻意耳定律 P=（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，Vk当其体积 V 减少时，压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。分析：分析：学生先思考或讨论，再到黑板上书写，当学生没有证明思路时，教师再 提示，及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结 定义法的步骤。最后教师指出，已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用 单调性的定义来
10、解决。2、练习、练习（1）画出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间，以及在( )yf x各单调区间上函数是增函数还是减函数。( )yf x 244yxx23yx（2）证明函数在 R 上是减函数。( )21f xx 分析：分析：在第 1 题的教学中，教师让学生出黑板画出函数的图象，并且根据单调 性的几何意义写出单调区间。第 2 题可以让学生先画出函数的图象，体会一下 函数的单调性，再用单调性的定义证明。让学生掌握判断函数单调性的两种方 法：图象法与定义法。5四、归纳小结，提高认识四、归纳小结，提高认识 1、小结、小结 （1）通过增（减）函数概念的形成，你学习到了什么？ （2）增（减）函数
11、的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？ （3）怎样用定义证明函数的单调性？ 分析：分析：以问题的形式出现，引导学生回顾单调性定义的探究过程，回顾用定义 证明函数单调性的步骤，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想 方法两方面总结2 2、作业、作业 （必做题） 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是 减函数。证明： 函数在上是减函数2( )1f xx(,0)函数在上是增函数1( )1f xx (,0)（选做题）研究一次函数的单调性，并证明你的结论。()ymxb xR板书设计板书设计1、增函数的定义增函数的定义2、减函数的定义减函数的定义3、单调区间、单调
12、区间例例 1、例例 2、练习练习 1、练习练习 2、Oxy-12456课课 题：函数的单调性（教案说明）题：函数的单调性（教案说明）授课教师： 佛山市高明纪念中学 陈丽华教材：人教版普通高中课程标准实验教科书 必修 1 第一章“函数单调性”是一个重要的数学概念，本设计致力于展示概念是如何生成的，在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养学生的思维能力，体现教师是如何活用教材。对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到
13、的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点围绕本节课的重点和难点，并根据学生现有的认知水平和心理特征，教师在教学的过程中注意到以下几个方面：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入（2）注重课堂问题的设计通过让学生思考、讨论并解决问题，使得学生对函数的单调性有更加深刻的理解。（3）在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤另外，根据本节课的特点，本节课使用多媒体投影和教具来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识
