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1、 第一章第四课时：因式分解 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练 要点、考点聚焦2.因式分解的几种常用方法 (1)提公因式法 (2)运用公式法： 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2 (3)二次三项式型：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) (4)分组分解法： 分组后能提公因式； 分组后能运用公式.1.因式分解的定义 把一个多项式化为n个整式的积的形式，叫做把这个 多项式因式分解式分解因式.3.因式分解的一般步骤 可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”： (1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有 必须先
2、提出来. (2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提出公 因式)，第二步则看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq 型分解. (3)“三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法 ，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后 能“提”或能“套”，当然要注意其要分解到底才能结束. (4)四“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否 正确. 要点、考点聚焦3.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A.x2-y B.x2+2xC.x2+y2 D.x2-xy+y2 课前热身1.(2004年南京)分解因式：3x2-3= . 2.(2004河北)分解因式：X2+2xy+y2-4= .
3、 3(x+1)(x-1)(x+y+2)(x+y-2)B4.(2004年济南)分解因式：a2-4a+4= . (a-2)25.(2004年桂林)分解因式：a3+2a2+a= .6.(2004年呼和浩特)将下列式子因式分解x-x2-y+y2= .a(a+1)2(x-y)(1-x-y) 课前热身7.(2004年大连试验区)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0 的两根为为x11，x22，则则x2+bx+c分解因式的结果为：. 8.(2004年北京市)分解因式： x2-4y2+x-2y= . (x-2y)(1+x+2y) 课前热身（x-1）(x-2) 典型例题解析【例1】 因式分解：(1)-4x2y+
4、2xy2-12xy；(2)3x2(a-b)-x(b-a)；(3)9(x+y)2-4(x-y)2；解： (1)原式=-2xy(2x-y+6)(2)原式=3x2(a-b)+x(a-b)=x(a-b)(3x+1)(3)原式=3(x+y)+2(x-y)3(x+y)-2(x-y)=(5x+y)(x+5y)解：(4)原式=(9a2)2-1=(9a2+1)(9a2-1)=(3a+1)(3a-1)(9a2+1) 典型例题解析【例1】 因式分解：(4)81a4-1；(5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(6)(a2+b2)2-4a2b2.(5)原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4(6)原式=(a+b
5、2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2【例2】 因式分解：-3an-1+12an-12an+1 (n1的正整数). 解：原式=-3an-11-4an-(n-1)+4a(n+1)-(n-1)=-3an-1(1-4a+4a2)=-3an-1(2a-1)2【例3】 因式分解： (1)m3+2m2-9m-18； 典型例题解析解：(1) 原式=(m3+2m2)-(9m+18)=m2(m+2)-9(m+2)=(m+2)(m2-9)=(m+2)(m-3)(m+3)或者： 原式=(m3-9m)+(2m2-18)=m(m2-9)+2(m2-9)=(m2-9)(m+2)=(m-3)(m+3)
6、(m+2)解： (2)原式=a2-(b2+2bc+c2)=a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b-c)(3)原式=(x2)2-5(x2)+4=(x2-4)(x2-1)=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)(4)原式=x3-x2-x2-5x+6=x2(x-1)-(x2+5x-6)=x2(x-1)-(x+6)(x-1)=(x-1)(x2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2) 典型例题解析【例3】 因式分解： (2)a2-b2-c2-2bc； (3)x4-5x2+4； (4)x3-2x2-5x+6.【例4】 求证：对于自然数n，2n+4-2n能被30整除. 解：2n+4-2n=2n(2-
7、1)=2n(16-1)=152n=1522n-1=302n-1. n为自然数时，2n-1为整数， 2n+4-2n能被30整除.【例5】 分解因式：x3+6x2+11x+6. 解：方法一：原式=x3+3x2+3x2+9x+2x+6=x2(x+3)+3x(x+3)+2(x+3)=(x+3)(x2+3x+2)=(x+3)(x+1)(x+2) 典型例题解析方法二：原式=x3+2x2+4x2+8x+3x+6 =x2(x+2)+4x(x+2)+3(x+2) =(x+2)(x2+4x+3) =(x+2)(x+1)(x+3)方法三：原式=x3+x2+5x2+5x+6x+6 =x2(x+1)+5x(x+1)+6
8、(x+1) =(x+1)(x2+5x+6) =(x+1)(x+2)(x+3) 方法四：原式=(x3+5x2+6x)+(x2+5x+6) =x(x2+5x+6)+(x2+5x+6) =(x2+5x+6)(x+1) =(x+2)(x+3)(x+1) 典型例题解析1.因式分解应进行到底. 如：分解因式：x4-4=(x2+2)(x2-2) =(x2+2)(x+ )(x- ). 应在实数范围内将它分解到底. 又如：分解因式:22-8x-6=2(x2-4x-3) 令x2-4x-3=0，则 x= = =2 2x2-8x-6=2(x-2+ )(x-2- )2.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原. 如
9、:(a2+b2)-4a2b2=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2=(a+b)(a-b)2=(a2-b2)2=a4-2a2b2+b4 实际该题到第2个等于号就分解到底了，不能再向下 计算了!3.注意解题的技巧的应用，不能死算. 如：分解因式(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9 =(x+1)(x+7)(x+3)(x+4)-9 =(x2+8x+7)(x2+8x+15)-9 =(x2+8x)+7(x2+8x)+15-9 =(x2+8x)2+22(x2+8x)+105-9 =(x2+8x)2+22(x2+8x)+96 =(x2+8x +6)(x2+8x +16
10、) =(x2+8x+6)(x+4)2 课时训练1.(2004年福州市)分解因式：a2-25= .2. (2004年陕西)分解因式：x3y2-4x= .3. (2004年长沙)分解因式：xy2-x2y= . x(xy+2)(xy-2)(a+5)(a-5)xy(y-x) y(x-2)24. (2004年青海)分解因式：x2y-4xy+4y= . 5. (2004年哈尔滨)分解因式：a2-2ab+b2-c2= . (a-b+c)(a-b-c)7. (2004年北京)多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果为( )A. (a-b)(a+b+c) B. (a-b)(a+b-c)C. (a+b)(a+b
11、-c) D. (a+b)(a-b+c)8. (2004年宁夏)把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果为 ( )A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y)C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y)AB 课时训练6. (2004年甘肃)为使x2-7x+b在整数范围围内可以分解 因式，则则b可能取的值为值为 . （任写一个） ； prz60nsr 让他俩摇的。”耿憨笑了，说：“二壮哇，没有那么可怕，让大家伙儿把场子打得大一些就行了。你今儿个晚上就试着摇一次，以后就 敢摇了！男子汉，胆儿大一些！”看二壮还是迟疑着不敢答应，董家成也说：“二壮，听你憨
12、叔的，今儿个晚上就试着摇一次！唉，都 怪他娘那个急脾气，把俺家二壮给驯服成了这么个胆儿小的性子！”裴氏说：“也不全是。都是一个娘生一个娘养的，你看大壮和妞儿 就不这样哇！尤其是妞儿，倒是打小儿就像个野小子一样呢！”郭氏也说：“就是哇，这性子主要是天生的呢！有意地多让二壮做一些 放胆儿的事儿也就是了。可这话又说回来，斯文也有斯文的好处哇。如果他实在不想摇那个玩意儿，咱们也没有必要难为娃儿的。”耿 憨拍一拍大壮的肩膀，说：“大壮，你当年摇得挺不错嘛，要不待会儿去教一教他们？”大壮没有回答，而是忽然突兀地说：“憨叔， 俺想好了，如果耿叔他们明年八月十五还不回来，俺和俺爹秋后了就去汉口镇上找他们去！”
13、看到耿憨张大嘴巴说不出来一句话来，董 家成也说：“是的，俺已经答应大壮了，要是他们父子们赶明年八月十五还回不来，俺们父子俩就去汉口镇上找一找！俺就不信了，耿 兄弟那么能干的人”秀儿说：“俺也和你们一起去！反正待在家里也是干着急！”耿憨说：“秀儿你别着急，万一真要南下找他们 去，也是俺和你兄弟们去的，哪里用你去啊！”秀儿说：“耿英能跟耿伯伯他们去，俺怎么就不能出门儿呢？”董家成也说：“秀儿你 不用想着去，好好儿得在家里等着就行了。还有憨子，粉坊里离不开人，你们父子们也不用去，有俺们爷儿俩去就足够了！”耿憨想一 想，说：“那到时候就叫青山和你们一起去哇，反正他和大壮一直跑外的。你们要真出去了，人多
14、点儿也好有个相互照应什么的！”郭 氏实在忍不住了，撩起衣襟来擦了把眼泪，说：“他们有腿哩！这如果到了最后的期限了还不回来，你们几个就是辛辛苦苦地跑去了又 会有什么用哇？”听了郭氏这伤心不已的话，大家一时无语了。裴氏和秀儿突然哭出声来，耿兰和董妞儿也跟着哭了。大壮声音哽咽地 说：“婶儿，无论如何，俺一定要去汉口镇上找的；如果找不到他们，俺，俺，俺就不回来了”郭氏泪崩了，颤巍巍地说：“傻娃 儿，你在说些什么呢？成心不让婶儿活了哇！”董家成也颤声儿说：“壮子，你，你怎么这么不懂事哇！你婶儿够苦了，你还给她添堵 ！”大壮狠狠地擦一把泪，倔强地说：“俺说的是真的！”耿憨尽量控制住自己焦虑不安的情绪，赶快按一按董家成的腿，又拍一拍大 壮的肩膀，说：“你真是个傻娃儿，你耿叔他们是有腿的呀。再者说了，外面的情况咱又不了解的。倘若他们在汉口镇上不适合干了， 或者有了更好干的地方，肯定会
