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1、一. 多元函数 1. 定义 设D R2, B R, 则称映射f: DB为二元实函数元实函数, 记为z = f(x,y)其中x ,y 为自变量, zB为因变量.三元函数常记为 u = f(x, y, z). 2. 定义域 除非特别说明, 或有实际意义, 凡用算式表达的 多元函数, 其定义域都是指自然定义域, 即全体 使得算式有意义的自变量所成的点集. 第六章第六章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用 1 1 多元函数、极限、连续多元函数、极限、连续 例如: (x, y) R2 | |x| 1, |y| 1; 的定义域为而z = ln(x+y)的定义域为(x, y)R2 |x+y0. 二
2、. 多元函数的极限1. 定义 设二元函数f(M) = f(x, y)定义在点集ER2上, 点M0(x0, y0)是E的聚点, AR是一个常数. 若 0, 0, 使得当M 恒有|f(M)A|0, 使得(x, y) E, 有 | f(x, y)| M.(2) 最值最值: 若函数f(x, y)在有界闭区域E上连续, 则f(x, y)在E上必能取到最大值M与 最小值m, 即存在(x1, y1) E, (x2, y2) E,使得f(x1, y1) = M, f(x2, y2) = m. 2 2 多元函数的偏导数与全微分多元函数的偏导数与全微分 一. 偏导数1. 偏导数概念 (1) 定义 设函数z = f
3、(x, y)在点M0(x0, y0) 的某邻域内有定义, 如果极限存在, 则称该极限值为z = f(x, y) 在点M0(x0, y0)处对对x x的偏导数的偏导数. 记为或 zx(x0, y0), 或 fx(x0, y0), 即= zx(x0, y0)= fx(x0, y0) 类似地, 若极限存在, 则称此极限值为z = f(x, y)在点M0(x0, y0)处对对y y的偏导数的偏导数.记为或 zy(x0, y0), 或 fy(x0, y0).当函数z = f(x, y)在点M0(x0, y0)处同时存在对x与对y的偏导数时,简称f(x, y)在点M0处可偏导可偏导. 如果 z = f(x
4、, y)在某区域上的每一点(x, y)在处 都存在偏导数, 则这些偏导数仍为x, y的函数, 称之为z = f(x, y)的偏导函数偏导函数, 简称为偏导数偏导数.注注 偏导数的实质(多元一元)注注 多元函数在某一点处可偏导, 并不能保证 该函数在这一点处连续, 如在O(0, 0)处. 注注 多元函数在某一点处可偏导, 并不能保证 该函数在这一点处连续, 如在O(0, 0)处. (2) 例子: 已知一定质量的理想气体的状态方程 为PV = RT (其中R为常数). 注注 由这个例子可以看到偏导数的记号与一元函数的导数的记号的区别.= 1 1. (3) 几何意义 设函数z = f(x, y)在点
5、M0(x0, y0)处可偏导, 点P0(x0, y0, f(x0, y0)为曲面的交线为 fx(x0, y0)表示曲线1在点P0处的切线Tx对x轴 的斜率.: z = f(x, y)上的一点, 过P0作平面y y = = y y0 0, 它与在点P0处的切线Ty对y轴的斜率.类似地, fy(x0, y0)表示曲线 2. 高阶偏导数 (1) 定义:且它们对x, y的偏导数也存在, 则称其偏导 数为二元函数z = f(x, y)的二阶偏导数二阶偏导数,设二元函数z = f(x, y)在区域D内处处存在 偏导数按求导次序的不同, 二元函数z = f(x, y)有 四种二阶偏导数, 分别记为: 二阶二
6、阶 混合混合 偏导偏导 数数. 类似地, 可以定义三阶偏导数三阶偏导数以及n n阶偏导数阶偏导数. 按求导次序的不同, 二元函数z = f(x, y)有 四种二阶偏导数, 分别记为: (2) 例子 设z = x2 +yex +2y2, 求其所有二阶偏导数.解解:这里偶然巧合?必然结果? 求 fxy(0,0), fyx (0,0).解解: 当x2 + y2 0时,当x = y = 0时, 当x2 + y2 0时,而 fx(0,0) = 0, fy(0,0) = 0, 于是有这里fxy(0,0) fyx (0,0) . 3. 性质: 定理定理:设函数z = f(x, y)在点M0(x0, y0)的
7、某邻域D内存在二阶混合偏导数fxy(x, y)与fyx (x, y), 并且它们在M0处连续, 则fxy(x0, y0) = fyx (x0, y0). 二. 全微分 1.偏增量与全增量: 设函数z = f(x, y)在点M0(x0, y0)的某邻域内有定 义, 称 f(x0+x, y0) f(x0, y0)为f在M0处对x的偏增量偏增量, f(x0, y0+y) f(x0, y0)为f在M0处对y的偏增量偏增量, f(x0+x, y0+y) f(x0, y0)为f在M0处的全增量全增量. 2. 可微与全微分: 设函数z = f(x, y)在点M0(x0, y0) 的某邻域内有定义, 若f(x
8、, y)在 点M0处的全增量 z = f(x0+x, y0+y) f(x0, y0) 可以表示为其中A, B与x, y无关, 则称f(x, y)在M0处可微可微, 称Ax+By为f(x, y)在M0处的全微分全微分, 记为若函数f(x, y)在区域D内处处可微, 则称f(x, y) 为区域D内的可微函数可微函数. 3. 可微的必要条件: 定理定理:若f(x, y)在点M0(x0, y0)处可微,则 f在点M0处连续; f在点M0处可偏导,且注注 可偏导不一定可微.例如在O(0, 0)处有fx(0, 0) = 0, fy(0, 0) = 0.但 f(x, y)在点O(0, 0)处不连续, 故不可
9、微.一元函数一元函数: 可微可导 连续多元函数多元函数: 可微连续 可偏导 事实上, 当(x, y)沿y = x趋向于(0,0)时, 4.可微的充分条件: 定理定理:若函数z = f(x, y)在点M0(x0, y0)的某邻域内存在偏导数,且fx(x, y)与fy(x, y)在M0处连续,则 f(x, y)在点M0处可微.证明证明: 将函数的全增量写成如下形式: z = f(x0+x, y0+y) f(x0, y0) = f(x0+x, y0+y) f(x0, y0+y) + f(x0, y0+y) f(x0, y0), 由一元函数的微分中值定理可得: z = fx(x0+1x, y0+y)x
10、+fy(x0, y0+2y)y (00时, M0(x0, y0)为函数f的极值点, 且当A 0时, f(x0, y0)为极小值,当A 3)元函数的情形. 如: 求n (n3)元函数u = f(x1, x2, , xn)在m 个约束条件i(x1, x2, , xn) (i = 1,2,m)下 的极值. 可作Lagrange函数L= f+ 11+ m m,求解方程组 便得可能极值点. 3. 例子: (1) (02级试题) 求曲面z = x2+y2与平面x+y2z =2之间的最短距离. 解解: 点P(x,y,z)到平面x+y2z =2的距离为为了求d(x,y,z)在约束条件z = x2+y2下的最小 值, 引入Lagrange函数得由 得由显然d(x,y,z)有最小值,即为曲面z = x2+y2上到平面故x+y2z =2之间的距离最短的点. (2) 设n1, x0, y0, 证明:证明证明: 先求z=在x+y=t 这个条件下的极值. 为此, 令F(x,y,)=+(x+yt).Fx=0, Fy=0, F =0 (x0, y0)有唯一的解 x=y=t/2. 此时z=(t/2)n. 又因为x0, y0, 而z(0,t)=z(t,0)= tn/2 (t/2)n.yxx x+ +y y= =t tO所以x=y=t/2时, z在x+y=t 这个条 件下取得最小值(t/2)n, 这就是说
