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1、第 1 页 共 16 页上 海 海 事 大 学 试 卷2009 2010 学年第二学期期末考试 线 性 代 数 A 卷 （A 卷）班级 学号 姓名 总分 一、填空题（共 9 题 10 空，每空 3 分，共 30 分）请将正确答案写在题目后面的横线上。1. ， ，则 。463A12BBAT2设 ， 的 元的代数余子式记作 ，则 = 3510DD),(ji ijA34。3设三阶方阵 可逆，则 应满足条件 。320yxAyx,4设 是 3 阶方阵， ，则 。_2A5设 ， ，则向量组 线,21,3243414321,性_关。6设齐次线性方程组的系数矩阵 此方程组有可能无解吗? 4152A。7设 3
2、阶矩阵 的特征值 1，1，2，则 = 。A|28设实二次型 是正定的，则 的取值3231213321 45),( xxtxxf t范围是_。题 目 一 二 三 四得 分阅卷人-装 订 线-第 2 页 共 16 页9设矩阵 和矩阵 相似，则 aA3241bB02ab。二、计算题（共 5 题，其中 1,2,3 题每题 10 分，4,5 题每题 15 分，共 60 分）请将正确答案写在题目下方。1 计算 n+1 阶行列式 ，其中 。nn aaD 011120 nii ,21,02 设 。XBAXBA 求其 中 ,35021,10, 第 3 页 共 16 页3设 )1,958(),21,3(),107
3、,(),12( 421 TTTT （1）求向量组的秩。（2）求出它的一个极大线性无关组。（3）将其余向量表成这个极大线性无关组的线性组合。4. 讨论 为何值时，方程组321)(0)(xx(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在此时求出其通解。第 4 页 共 16 页5求一个正交变换把下列二次型化成标准形 32321321 4),( xxxf 三、证明题（共 1 题，每题 10 分，共 10 分）请将正确答案写在题目下方。设 都是 阶对称阵，证明 是对称阵的充分必要条件是 。BA,nABBA第 5 页 共 16 页上 海 海 事 大 学 试 卷2009 2010 学年第二学期
4、期末考试 线 性 代 数 B 卷 （B 卷）班级 学号 姓名 总分 一、填空题（共 9 题 10 空，每空 3 分，共 30 分）请将正确答案写在题目后面的横线上。1. ， ，则 。734A1BABT2设 是 维向量，令 ， ， ，则向量组21,n12212213的线性相关性是 。33已知实二次型 = 是正定二次型，则参数),(321xf 31212321 xx的取值范围为 。4设 ， 的 元的代数余子式记作 ，则 = 3511024DD),(ji ijA321。5设 3 阶矩阵 的特征值为 2,3, . 若行列式 ,则 = 。A48|26已知 ， ， ， 线性相关，并且 ， = 1,2a,1
5、23,41a。题 目 一 二 三 四得 分阅卷人-装 订 线-第 6 页 共 16 页7已知矩阵 与 相似，则 。xA102102yB_,yx8要使矩阵 的秩最小，则 。432t_t9设方程组 有无穷多解解，则 _。123axa二、计算题（共 5 题，其中 1,2,3 题每题 10 分，4,5 题每题 15 分，共 60 分）请将正确答案写在题目下方。1计算行列式 。32100aaD2设矩阵 ， 。4103A XBAXB求 矩 阵且 满 足 ,2,3216第 7 页 共 16 页3当 有解？在方程组有解时，用其导axxa 43214321705561,线 性 方 程 组取 何 值 时出组的基础
6、解系表示方程组的通解。4. 设 。),703(),21,(),6512(),401,( 431 kTTTT (1) 当 为何值时，向量组 线性相关？k4(2) 当线性组线性相关时，求出极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。第 8 页 共 16 页5求一个正交变换把下列二次型化成标准形。3231212321321 84),( xxxxf 三、证明题（共 1 题，每题 10 分，共 10 分）请将正确答案写在题目下方。设 都是 阶矩阵，且 为对称阵，证明 也是对称阵。BA,nAABT第 9 页 共 16 页上 海 海 事 大 学 试 卷2009 2010 学年第二学期期末考试 线
7、性 代 数 （B 卷）班级 学号 姓名 总分 一、填空题（共 10 空，每空 3 分，共 30 分）请将正确答案写在题目后面的横线上。1. 当 = 时，行列式 .2. 设 为三阶方阵，且 ，则 = , = .3. 已知 , 期中 , 则 = .4. 设 , 当 = 时, 线性相关.5. 设 是 的一组解向量，若 也是 的解向量，则 应满足的关系是 .题 目 一 二 三得 分阅卷人-装 订 线-第 10 页 共 16 页6. 是单位向量， 正交，则 = .7. 三阶矩阵 的三个特征值为 -1, 1, -2, , 则与 相似的对角阵为.8. 是 的一个特征向量，则 = .9. 设实二次型 是正定的
8、，则 的取值范 围是 .二、计算题（共 5 题，共 58 分）请将正确答案写在每小题后。1. (10 分) 计算下列行列式第 11 页 共 16 页2. (10 分) 设 , 其中 , 且 , 求矩阵 .第 12 页 共 16 页3. (8 分) 给定向量组 , , , , 求出该向量组的一个最大线性无关组，并用求出的最大线性无关组把向量组中其余向量线性表示出来。4. (14 分) 讨论 为何值时，方程组 有解，无解，有解时求其全部解.第 13 页 共 16 页5. (16 分 ) 用正交变化把二次型化为标准型，写出变换矩阵，并判定该二次型是否正定.第 14 页 共 16 页三、证明题（共 2 题，每题 6 分，共 12 分）请将正确答案写在每小题后。第 15 页 共 16 页1. 设向量组 , , , , , 证明 线性相关.2. 设 为 阶方阵，满足 ， 为 阶单位阵, , 试证明.第 16 页 共 16 页
