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1、基本知识基本知识(修订版修订版) 一、集合与简易逻辑 1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：与及xyxlg|xyylg|。竖线前的内容表示集合元素特征，上例依次是对数函数自变量的集xyyxlg| ),( 合，因变量的集合以及函数图象上点的集合。 2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等 工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、 疑问句、感叹句都不是命题； 4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命
2、题与其否 命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断 其等价命题的真假； 5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若 ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件；BA（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或“ABBA“ 否定式）的命题，一般运用等价法；6.（1）含 n 个元素的集合的子集个数为，真子集（非空子集）个数为1；2n2n （2） （3）;BBAABABA ;)(,)(BCACBACBCACBACIIIIII 二、函数 1.复合函数的有关问题
3、 （1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为a，b,其复合函数 fg(x)的定义( )f x 域由不等式 ag(x)b 解出即可；若已知 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相 当于 xa,b时，求 g(x)的值域（即 f(x)的定义域） ；研究函数的问题一定要注意定义域 优先的原则。 （2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；也可以用导数法求单调性。 2.函数的奇偶性（首先要验证定义域是否关于原点对称） （1）若 f(x)是偶函数，那么 f(x)=f(x)=;)( xf（2）若 f(x)是奇函数，0 在其定义域内，则（可用于求参数） ；(0)0f（3）判断函数奇偶性可用定义的等
4、价形式：f(x)f(-x)=0 或（f(x)0）;1 )()(xfxf(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性； （5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的 单调性； 3.函数图像（或方程曲线的对称性） (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍 在图像上； （2）证明图像 C1与 C2的对称性，即证明 C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点 仍在 C2上，反之亦然； （3）曲线 C1：f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=-x+a)的对称曲线 C2的方程为 f(ya,x+a)=0(或 f(y+a,
5、x+a)=0); （4）曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（a,b）的对称曲线 C2方程为：f(2ax,2by)=0;（5）若函数 y=f(x)对 xR 时，f(a+x)=f(ax)恒成立，则 y=f(x)图像关于直线 x=a 对称；（6）函数 y=f(xa)与 y=f(bx)的图像关于直线 x=对称； 2ba4.函数的周期性 (1)y=f(x)对 xR 时，f(x +a)=f(xa) 或 f(x2a )=f(x) (a0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数； （2）若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 2a的周期函 数； （3）若
6、y=f(x)奇函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 4a的周期函数；（4）若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则 f(x)是周期为 2的周期函数；ba （5）y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(ab)对称，则函数 y=f(x)是周期为 2的周期函ba 数；（6）y=f(x)对 xR 时，f(x+a)=f(x)(或 f(x+a)= ，则 y=f(x)是周期为 2的周期 )(1 xfa函数； 5.方程 k=f(x)有解kD(D 为 f(x)的值域)； 6.af(x) 恒成立af(x)max,; af(x) 恒成立af(x)min;7.（1） (a0,a1
7、,b0,nR+); (2) l og a N=( a0,a1,b0,b1);n aabbnloglogaNbb loglog(3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a0,a1,N0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。 9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素 不一定都有原象，并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象； 10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇 函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函
8、数不存在反函数;（4）周 期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)与 y=f-1(x)互为反函数，设 f(x)的定义域为 A，值域为 B，则有 ff-1(x)=x(xB),f-1f(x) =x(xA). 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用 “两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 12.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列 不等式(组)求解； 13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：(或（或） ；( )( )(
9、)0f ug x uh x( )00)()( )0f aaubf b( )0 ( )0f a f b 14.掌握函数的图象和性质；(0);(0)ax bb acayab acyxaxcxcx 函数(b ac0)cxacbacxbaxy）0(axaxy定义 域),(),(cc), 0()0 ,(值域),(),(aa),22,(aa奇偶 性非奇非偶函数奇函数单调 性当 b-ac0 时:分别在上单调递),(),(cc 减； 当 b-ac0,b0)时要符合“一正二定三ab2相等” ；注意均值不等式的一些变形，如；2222 )2(;)2(2baabbaba七、直线和圆的方程 1.设三角形的三顶点是 A（
10、x1,y1） 、B(x2,y2)、C（x3,y3）,则ABC 的重心 G 为（） ； 3,3321321yyyxxx2.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0；3.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是； 2221 BACCd 4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 ：A=C0 且 B=0 且 D2+E24AF0； 5.过圆 x2+y2=r2上的点 M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2; 6.以 A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是
11、(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0; 7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可 行域，写出目标函数；（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解； 八、圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式：设 P（x0,y0）为椭圆（ab0）上任一点，焦点为 F1(-c,0),12222 by axF2(c,0),则（e 为离心率） ；0201,exaPFexaPF2.双曲线焦半径公式：设 P（x0,y0）为双曲线（a0,b0）上任一点，焦点为12222 by axF1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当 P 点在右支上时，；0201,exaPFexaPF
12、（2）当 P 点在左支上时，；（e 为离心率） ；0201,exaPFexaPF另：双曲线（a0,b0）的渐近线方程为；12222 by ax02222 by ax3.抛物线焦半径公式：设 P（x0,y0）为抛物线 y2=2px(p0)上任意一点，F 为焦点，则；y2=2px(p0)上任意一点，F 为焦点，则；20pxPF20pxPF4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0） ；xaby(2222 by ax6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式， 一般地，若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB， A、B 两点分别为 A(x1，y1)、B(x2,
13、y2)，则弦长 4)(1 (1212 212 122xxxxkxxkAB,这里体现了解析几何“设而不求”的4)()11 (11212 212122yyyykyyk解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为 p=，抛物线的通径为 2p，焦准距 ab22 cb2为 p; 双曲线（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为 b;12222 by ax8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为 Ax2+Bx21； 9.抛物线 y2=2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦）为 AB，A（x1,y1） 、B(x2,y2),则有如下结论：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=;A
14、B42p10.过椭圆（ab0）左焦点的焦点弦为 AB，则，过右12222 by ax)(221xxeaAB焦点的弦；)(221xxeaAB11.对于 y2=2px(p0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算;py 22 012.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设 A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（ab0）上不同的两点，M(x0,y0)是 AB 的中点，则 KABKOM=；对12222 by ax22ab于双曲线（a0，b0） ，类似可得：KAB.KOM=；对于 y2=2px(p0)抛物12222 by ax22ab线有 KAB212 yyp 13.求轨迹的
15、常用方法： （1）直接法：直接通过建立 x、y 之间的关系，构成 F(x,y)0，是求轨迹的最基本的方 法； （2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出 所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可； （3）代入法（相关点法或转移法）：若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化， 并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y1，再将 x1、y1带入 已知曲线得要求的轨迹方程； （4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接 写出方程； （5）参数法：当动点 P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时， 可考虑将 x、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 九、直线、平面、简单几何体 1.从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点 A 在平面BOC 上 的射影在BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角 MABN 中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，异面直线
