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1、2015-2016 溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟 备课日期：2015/9/24 课题：课题： 平面向量的数量积与平面向量应用举例一、考点梳理：一、考点梳理：1平面向量的数量积定义:已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，把数量|a|b|cos 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 ab.即 ab|a|b|cos ，规定 0a0.2向量数量积的运算律(1)abba (2)(a)b(ab)a(b) (3)(ab)cacbc3平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|aa|a|x2 1y2 1夹角cos a
2、b|a|b|cos x1x2y1y2x2 1y2 1 x2 2y2 2ab 的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|x2 1y2 1x2 2y2 24.易错点易错点1若 a，b，c 是实数，则 abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量 a，b，c，若满足 abac(a0)，则不一定有 bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量2数量积运算不适合结合律，即(ab b)c ca(b bc c)，这是由于(ab b)c c表示一个与c c共线的向量，a(b bc c)表示一个与 a 共线的向量，而 a 与c c
3、不一定共线，因此(ab b)c c与 a(b bc c)不一定相等二、基础自测：二、基础自测：1已知单位向量 e1，e2的夹角为 ，且 cos ，若向量 a3e12e2，则|a|_.132在平面直角坐标系 xOy 中，已知(1，t)， (2,2)若ABO90，则实数 t 的值为_OA OB 3已知向量 a，b 均为非零向量，(a2b)a，|a|=|b|，则 a，b 的夹角为( )A. B. C. D.6323564在四边形 ABCD 中， (1,2)， (4,2)，则该四边形的面积为( )AC BD A. B2 C5 D1055三、考点突破：三、考点突破：考点一、考点一、平面向量的数量积的运算
4、【例例 1 1】1.设向量 a，b 满足|ab|，|ab|，则 ab( )106A1 B2 C3 D52在ABC 中，若a120，1，则|的最小值是( )AB AC BC A. B2 C. D6262015-2016 溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟 备课日期：2015/9/243(2013全国卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则_.AE BD 类题通法向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx
5、1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解考点二、考点二、平面向量数量积的性质【例例 2 2】平面向量数量积的性质是高考的重点归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直角度一 平面向量的模1(13天津)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60 , E 为 CD 的中点若1 , 则 AB 的长为AC BE _角度二 平面向量的夹角2(1)已知平面向量 a，b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量 a 与 ab 的夹角为( )37A. B. C. D236(2)若平面向量 a 与平面向量 b 的
6、夹角等于 ，|a|2，|b|3，则 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值等于( )3A. B C. D126126112112角度三 平面向量的垂直3在直角三角形 ABC 中，已知(2,3)，(1，k)，则 k 的值为_AB AC 类题通法1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；2015-2016 溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟 备课日期：2015/9/24 (2)数量积大于 0 说明不共线不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不能共线时不能共线时两向量的夹角就是钝角2利用数量积求解长度问题的处理方法
7、(1)a2aa|a|2或|a| .(2)|ab|. (3)若 a(x，y)，则|a|.aaa b2a2 2abb2x2y2考点三、考点三、平面向量与三角函数的综合【例例 3 3】 (2013江苏)已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设 c(0,1)，若 abc，求 ， 的值2类题通法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算
8、，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等四、当堂检测四、当堂检测1已知向量 p(2，3)，q(x,6)，且 pq，则|pq|的值为( )A. B. C5 D135132已知向量 a(3，2)，b(1,0)，向量 ab 与 a2b 垂直，则实数 的值为( )A B. C D.161617173(13湖北)已知点 a(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )AB CD A B. C D3 223 1523 223 1524 已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，则 1e2e121 2e e b121b eb eb 2015-2016 溆浦一中高三数学（
9、文）一轮复习导学案 主备人：邹伟 备课日期：2015/9/24五、课后巩固：五、课后巩固：1已知向量 a，b，满足|a|3，|b|2，且 a(ab)，则 a 与 b 的夹角为( )3A. B. C. D.22334562在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(2,2)，(4,1)，在 x 轴上取一点 P，OA OB 使有最小值，则 P 点的坐标是( )AP BP A(3,0) B(2,0) C(3,0) D(4,0)3在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，点 E 在线段 AB 上运动，则的取值范围是( )EC EM A. B. C. D.12，20，3212，320，14已知 a，b 是单位向量，ab0.若向量 c 满足|cab|1，则|c|的最大值为( )A .1 B. C.1 D.222225已知向量 a，b 夹角为 45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.106.设向量 a，b 满足|ab|，|ab|，则 ab 1067 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，3，2，则的值是CP PD AP BP AB AD_8.设向量 a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.30，2(1)若|a|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)ab，求 f(x)的最大值
