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1、王 培 荣 *n1掌握计算应变能、熟练掌握功能原理及其应用。n2.熟练掌握功的互等定理和位移互等定理及其应用。n3.掌握余能计算、卡氏定理及其应用。教学要求第十三章 能量方法 Energy method131 概述 General introduction能量法固体力学中，把一个功的概念和应变能 的概念有关的理论和方法统称为能量法 根据能量守恒定律。贮存在物体中的应 变能U等于外力在物体变形过程中所做 的功W。 U=W132 杆件应变能 的计算 1、外力功的计算(1)力（P）和位移（）是广义的，即：集中力、集中力偶矩和相对作用力位移含线位移、角位移、相对位移External forces wo
2、rk(2) 力和位移的关系可以是线性的或非线性的（如图）功 W=Pd余功 WC=dP功+余功=常力功外力功的计算 PPnP 广义力； 广义位移n材料线弹性；几何线性；小变形。n注意：常力做功与变力做功区别。Pn静载（由零逐渐增加到最终值）作用下， 外力在弹性体上所作的功，等于力的最终 值与相应位移的最终值的乘积之半。n 当弹性体上作用有几个外力P1、P2、 、Pn，这时所有外力作的总功等于这些力分 别与其相应位移乘积之和的一半，即：由零逐渐增加到最终值的力 是变力；已经加在杆件上不变的 力是常力。当外力为变力时， （ 线弹性）功的表达式中的系数为 1/2；而当外力为常力时，功的表 达式中的系数
3、为1。力对由自身产生对应位移所作的功 （线弹性）力对其它因素引起对应位移所作的功。 n2.应变能（用U或V表示）n在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生 变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形 能，简称变形能。n在弹性范围内，当卸载时，变形能全部释 放出来而使物体弹性恢复。因此，弹性变 形能是可逆的。当超过弹性范围后，物体 将发生塑性变形，并消耗一部分能量，这 部分能量是不可逆的。du=d应变比能u=du=d应变能 U=vudv=v(d)dv功能原理：n物体在外力作用下发生变形，根据 能量守恒定律，当忽略其它能量损 耗时，物体的变形能在数值上等于 外力在加载过程中在相应位移上所 的做功，即U=W(
4、1) 轴向拉伸和压缩(2) 扭转(3) 弯曲纯弯曲：横力弯曲的梁，其横截面上既有弯 矩，又有剪力，应该分别计算弯曲变形 能和剪切变形能，再求和。但是对于细长梁，剪切变形能与弯 曲变形能相比，一般很小，可以略去不 计，所以只计算弯曲变形能。横力弯曲：矩形：圆形：薄壁管：对右图矩形截面 细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。133 应变能的普遍 表达式(4) 组合变形变形能的性质n(1)变形能只与荷载的最终值有关，而与加 载的中间过程或加载的先后次序无关。n(2)一般说来，变形能不能简单叠加。n但是如果杆件受到两种荷载作用，其中任 何一种荷载在另一种荷载引起的位移上不 作功，则可以把这两种荷载单独作
5、用时的 变形能进行叠加，从而得到它们共同作用 时杆件的变形能。利用功能原理 计算加力点的位移利用U=W可以计算杆件 或结构的位移。但是只限于单一荷 载作用，而且所求位移只是荷载作 用点（或作用面）沿着荷载的作用 方向与荷载对应的位移。例：等截面直杆AB和 BC组成的构架受力如图 所示。若两杆的抗拉( 压)刚度均为EA设P 、l 、EA都已知，试求B点 的竖直位移B。解：由节点B的静力平衡 条件求得各杆内力:构架的变形能等于 AB和 BC两杆变形能之和:例：悬臂梁受集中力偶矩M。的作用如图所 示。若EI、l 均已知，试求自由端B截面的转 角。解：M(x)=-M0n B为集中力偶作用处B截面的角位
6、移。这 里计算所得的B是正号，表示 B的转向 与 Mo的转向一致（为什么？）。n按照本书的规定，这样的转角为负。n值得指出的是，本例只能应用变形能法来 计算B截面的转角，而不能计算B截面的 挠度。（为什么？）例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。解：例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。解：例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。解：例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、EI为常量。解：134 互等定理 载荷作用点 位移发生点功的互等定理:位移互
7、等定理:数量关系数量关系在推证上面两个定理时,虽 然我们以梁为例,却没有用弯曲变形 的特点。所以对服从虎克定律且变 形很小的其它结构,如刚架、拱、桁 架、板、壳等，这两个定理都是适 用的。用功（位移）互等定理关键n1. 找出状态，使状态的外力在（状态）所求的位移上做功；n2. 状态的外力作用下，（状态）外力作用 点、(状态）外力相应位移容易求出。例：求图示简支梁C截面的挠度。例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移C。例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠度 。求梁在中点集中力P作用下 (见图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积 。例：长为 l、直径为d的圆杆受一对横向压力 P作用，
8、求此杆长度的伸长量。已知E和。135 卡氏定理余应变比能uc=d余应变能 Uc=vvdv=v(d)dv注意：若为线性应力-应变关系时u=uc U=Uc 所示关系，卡斯提里阿诺（A Castigliano）推导出了计算弹性杆 件的力和位移的两个定理，通常称之 为卡氏第一定理和卡氏第二定理。利用公式:卡氏第二定理这个定理是一个适用于非 线性弹性杆件的普遍定理 在线弹性情况下的特例设梁上有n个集中荷载作用，这些集中力作用点的最后位移分别为1、2、n。为 计算方便起见，假定这些荷载都是同时作用 在梁上并按同一比例逐渐从零增加到其最后 值P1、P2、Pn（通常称之为简单加载)。外力所作总余功就等于每个集
9、 中力的余功总和。可写出UC的表达 式如下：表明梁内的余能是作用在梁上一 系列外力Pi的函数.现假设第i个外力Pi有一微小增量dPi，则梁内 余能的变化dUC应为外力总余功的变化为此式可用来计算非线 性弹性杆件或杆系在 外力Pi作用点处与Pi相 应的位移i在线弹性杆件或杆系U=UC线弹性杆件或杆系的应变能U对 于作用在该杆件或杆系上的某一 外力之变化率就等于该力作用点 沿作用线方向的位移。卡氏第二定理(1) 轴向拉伸和压缩(2) 扭转(3) 弯曲(4) 组合变形注意nPi应理解为作用在杆上的广义力而i则为与Pi相 应的广义位移n卡氏第二定理则仅适用于线弹性体n对于非线性弹性体则只能按余能的变率来计算克罗第-恩格塞定理讨论与思考题 EIEI aaABCPP例题:用 卡氏第二 定理计算 图示等截 面开口圆 环的张开 位移。 此环的材 料为线弹 性的。解：由于材料是线弹性的，故可按 卡氏第二定理计算此开口圆环两施 力点间的相对位移。两力P大小相等而指向相反，在这里可视为一 个广义力，与之相应的位移两 施力点间的相对张开量A就是相应 的广义位移。在计算应变能时，由于结构和外力的对称性 ，可以计算半个圆环的U而乘以2。在计算应变能时，由于结构和外力的对称性 ，可以计算半个圆环的U而乘以2。作 业n131 （b)n133 (c)n135 n136 n138 (a)
