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1、3.1 3.1 内力、截面法内力、截面法3.2 3.2 内力方程和内力图内力方程和内力图3.3 3.3 直梁微段平衡微分关系直梁微段平衡微分关系第三章第三章 杆件的内力杆件的内力返回主目录返回主目录1 1前两章，将物体视为刚体，讨论其平衡。前两章，将物体视为刚体，讨论其平衡。 事实上，总有变形发生，还可能破坏。事实上，总有变形发生，还可能破坏。 本章讨论的研究对象是本章讨论的研究对象是变形体变形体。属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法, 包括下述三个方面的研究：1) 力和平衡条件的研究。2) 变形几何协调条件的研究
2、。3) 力与变形之关系的研究。研究主线研究主线变形固体的力学分析方法变形固体的力学分析方法2 2物体内部某一部分与相邻部分间的相互作用力。必须截开物体，内力才能显示。内力分布在截面上。向截面形心简化，内内力分布在截面上。向截面形心简化，内 力一般可表示为六个，由平衡方程确定力一般可表示为六个，由平衡方程确定。处于平衡状态的物体处于平衡状态的物体，其任一其任一 部分也必然处于平衡状态部分也必然处于平衡状态。1.1.内力内力: :沿C截面将物体截开，A部分在 外力作用下能保持平衡，是因为受 到B部分的约束。B限制了A部分物体在空间中相对于 B的任何运动(截面有三个反力、三个反力偶)。MMF F1
3、1F F2 2F F3 3BAACF Fx xMMx xF Fy yF Fz zMMy yMMz zF F1 1F F2 23.1 3.1 内力、截面法内力、截面法3 3最一般情况：最一般情况：ABab xyzx1CF截面内力有六个分量。截面内力有六个分量。轴向拉压轴向拉压内力为轴力。内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转扭转 内力为扭矩。内力为扭矩。如各种传动轴等。如各种传动轴等。 ( (轴轴) ) 剪切剪切 内力为剪力。内力为剪力。 弯曲弯曲 内力为弯矩。内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等如桥梁、房梁、地板等。( (梁梁) ) 基本基本 变形变形轴向拉压弯
4、 曲扭 转MMy yF FsysyF FN NF FszszMMz zT T返回主目录返回主目录剪切2.2.内力分量内力分量扭 转4 4轴力轴力 F FN N作用于截面法向。作用于截面法向。剪力剪力 F FS S作用于截面切向。作用于截面切向。扭矩扭矩 T T 作用于截面切向。作用于截面切向。弯矩弯矩 MM 使物体发生弯曲。使物体发生弯曲。 受拉伸FN顺时针错动FS上凹下凸MABab xyzx1CF MMy yF FsysyF FN NF FszszMMz zT T取截面左端研究，截面在研究对象右端，则规定：内力 右截面正向 左截面正向 微段变形（正）内力的符号规定内力的符号规定右手螺旋T5
5、53. 3. 截面法截面法无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同 的的截面内力截面内力。因为，二因为，二部分上部分上作用的内力作用的内力互为作用互为作用 力与反作用力。力与反作用力。适当适当的的符号符号规定可保证其一致性。规定可保证其一致性。用假想截面将物体截开用假想截面将物体截开，并由平衡方程确定并由平衡方程确定 截面上内力的方法截面上内力的方法。截面法求解内力的步骤为：截面法求解内力的步骤为：求约求约 束反束反 力力截取截取 研究研究 对象对象受力图，受力图， 内力按正内力按正 向假设。向假设。列平列平 衡方衡方 程程求解内力，求解内力，
6、负号表示与负号表示与 假设反向假设反向注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前 ，力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。，力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。6 6例例 作图示拉压杆的内力分量作图示拉压杆的内力分量 。5kNFN1 =5kN2）求各截面内力(轴力)。截面法、平衡方程解：解：1 1）求约束反力。）求约束反力。 F FA A=8+2-5=5 kN=8+2-5=5 kN5kN2kN8kNAF FA A5kN2kNFN2 =3kN5kN2kN8kNFN3=-5kN7 7例：具有纵向对称面得悬臂梁受力如图所示，外力均作 用在该平面（x
7、y平面）内。试求m-m截面上的内力分量 。2 2）F FS S等于左侧所有外力在同一坐标轴方向投影的等于左侧所有外力在同一坐标轴方向投影的 代数和，代数和， 正。正。1 1）F Fn n等于左侧所有外力沿截面法线方向投影的代等于左侧所有外力沿截面法线方向投影的代 数和，数和， 正正3 3）MM等于左侧所有外力对该截面同一坐标轴之矩等于左侧所有外力对该截面同一坐标轴之矩 的代数和，的代数和， 正正. .8 83.2.1 3.2.1 轴力图轴力图5kNFN1 =5kN5kN5kN3kNFN 图+ -5kN2kN8kN5kN+向轴力图的简捷画法轴力图的简捷画法：取左端拉力方向为轴力取左端拉力方向为轴
8、力 图参考正向，画水平线；遇图参考正向，画水平线；遇 集中力作用则轴力相应增减集中力作用则轴力相应增减 ；至右端回到零。；至右端回到零。5kN2kN8kNAF FA A5kN2kNFN2 =3kN5kN2kN8kNFN3=-5kN3.2 3.2 内力方程和内力图内力方程和内力图9 9例例 截面积为截面积为A A的等直杆，单位体积重量为的等直杆，单位体积重量为 ，求，求杆在自重作用下的内力。杆在自重作用下的内力。解解：考虑任一距：考虑任一距OO点为点为x x的横截面的横截面上的内力，受力如图。上的内力，受力如图。重力为重力为WW= = AxAx, , 由平衡方程得：由平衡方程得：轴力方程：轴力方
9、程：F FN N= =WW= = AxAx绘出轴力图，可见：绘出轴力图，可见：A A截面处内力截面处内力F F NN(=(= ALAL) )最大。最大。AOxLxOxWWF FN N1010研究对象：研究对象： 圆截面直杆圆截面直杆受力特点：受力特点：作用在垂直于轴线的不作用在垂直于轴线的不 同平面内的外力偶，且同平面内的外力偶，且 满足平衡方程满足平衡方程: : MMx x=0=0变形特征：相对扭转角变形特征：相对扭转角 f fABAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。xyz0 0MM0 0MM变形前变形后fAB汽车转向轴传动轴1 1 扭转的概念与实例扭
10、转的概念与实例返回主目录返回主目录3.2.2 3.2.2 轴的扭转与扭矩图轴的扭转与扭矩图1111扭矩：扭矩：T T是横截面上的内力偶矩。是横截面上的内力偶矩。内力内力由截面法求得。由截面法求得。取左边部分平衡由平衡方程： MM0 0MM0 0假想切面外力偶 MM0 0内力偶 T T2 2 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图返回主目录返回主目录1212由平衡方程： 取右边部分T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。MM0 0MM0 0假想切面取左边部分平衡外力偶 MM0 0扭矩 T T扭矩外力偶 平衡T T MM0 01313扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：按右手螺旋按右手螺旋 法则确定
11、扭法则确定扭 矩的矢量方矩的矢量方 向，扭矩矢向，扭矩矢 量的指向与量的指向与 截面的外法截面的外法 线方向一致线方向一致 者为正，反者为正，反 之为负。之为负。负MM0 0T TMM0 0T T正1414以平行于杆轴线的坐标以平行于杆轴线的坐标x x表示截面的位置，以垂表示截面的位置，以垂 直于直于x x轴的坐标表示轴的坐标表示截面截面扭矩值，即得到扭矩值，即得到扭矩图扭矩图。 2010画扭矩图：画扭矩图：xoC CA AB BA AB BC CAB段：BC段：15155kN5kN3kNFN 图+ -5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法简捷画法：2010A AB BC C在
12、左端取参考正向，按载在左端取参考正向，按载荷荷大小画水平线；遇集大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。F FN N图（轴力）图（轴力）按右手法确定+向xoC CA AB BT T 图图1616试作扭矩图试作扭矩图20 10T T 图图按右手法确定+向xoC CA AB B40kN.mD D20kN.m10kN.m10kN.mA AB BC CD D20xoC CA AB B40kN.mD D10kN.m10kN.m求反力偶：2010T T 图图按右手法确定+向A AB BC CD D20返回主目录返回主目录1717截面法求内力的步骤
13、：截面法求内力的步骤：求约求约 束反束反 力力截取截取 研究研究 对象对象受力图，受力图， 内力按正内力按正 向假设。向假设。列平衡列平衡 方程方程求解内力，负号求解内力，负号 表示与假设反向表示与假设反向内力 右截面正向 左截面正向 微段变形（正）内力的符号规定内力的符号规定yx左上右左上右下，下，F FQQ为正为正左顺右左顺右逆，逆，MM为正为正xF FS SMMMMF FS S顺时针错动FS向上凹M用截面法作梁的内力图用截面法作梁的内力图3 3 梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图1818例例 求悬臂梁各截面内力并作内力图。求悬臂梁各截面内力并作内力图。解：解：1 1）求约束力。）求约束
14、力。 画受力图。画受力图。 由平衡方程得：由平衡方程得：F FA Ax x=0; =0; F FA Ay y= =F F; ; MMA A= =FlFl2 2）求截面内力。）求截面内力。 截面截面x x处内力按正向假设，处内力按正向假设， 在在0 0 x x0 =const.0 q q=const.0 0 F FS S0 0 F FS S0 0 F FS S0 0 MM图图 MM图图 转折转折 突变突变集中力集中力( (偶偶) ) F FS S图图 突变突变 无变化无变化F FS S等于分布载荷等于分布载荷 左边图形面积左边图形面积 + +向上的集中力向上的集中力MM等于等于F FS S图左边
15、图左边 面积面积+ +顺时针集顺时针集 中力偶中力偶由此，可给出梁剪力、弯矩图的简捷画法。由此，可给出梁剪力、弯矩图的简捷画法。3737F FS S、MM图的简捷画法图的简捷画法 ：3 3）依据微分关系判定控制点）依据微分关系判定控制点 间各段间各段 F FS S、MM图的形状，图的形状，连接各段曲线。连接各段曲线。2 2）计算控制点处）计算控制点处F FS S、MM值。值。左边面积左边面积+ +集中载荷集中载荷 力力 、力偶、力偶 为正。为正。A A、B B、C C、D D、E E1 1）确定控制点。）确定控制点。 约束力、集中力约束力、集中力( (偶偶) )作用点，作用点， 分布载荷起止点。分布载荷起止点。BA484545q=94m4m2m2mxCDE493232-+
