数字信号处理课后答案第3和4章fb

2、 (FFT)第章(5)0kN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(6)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章0kN1(7) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章或（8）解法一直接计算：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解法二由DFT的共轭对称性求解。因为所以所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章即结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。(9) 解法一直接计算: 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解法二由DFT共轭对称性可得同样结果。因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算

3、法 (FFT)第章（10）解法一上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为x(n)=nRN(n)，所以x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n)等式两边进行DFT，得到X(k)X(k)WkN+N=N(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章故当k=0时，可直接计算得出X(0)为这样， X(k)可写成如下形式：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解法二 k=0时， k0时，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以，，即2 已知下列X(k)，求x(n)=IDFTX(k)(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速

4、算法 (FFT)第章(2)其中， m为正整数， 0mN/2, N为变换区间长度。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解: （1） n=0, 1, , N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章(2)n=0, 1, , N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章3 已知长度为N=10的两个有限长序列：做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)，循环卷积区间长度L=10。解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法

5、 (FFT)第章题3解图离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章4 证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFTx(n)，证明DFTX(n)=Nx(Nk)证：因为所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章由于所以DFTX(n)=Nx(Nk) k=0, 1, , N15 如果X(k)=DFTx(n)，证明DFT的初值定理证: 由IDFT定义式离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章可知6 设x(n)的长度为N，且X(k)=DFTx(n) 0kN1令h(n)=x(n)NRmN(n) m为自然数H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1求H(k)与X(k

6、)的关系式。解: H(k)=DFTh(n) 0kmN1令n=n+lN, l=0, 1, , m1, n=0, 1, , N1, 则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以7 证明: 若x(n)为实序列， X(k)=DFTx(n)N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=X*（Nk)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(Nn)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=x(Nn)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章证: (1) 由教材(3.2.

7、17)(3.2.20)式知道，如果将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)其中， Xep(k)=DFTxr(n)，是X(k)的共轭对称分量； Xop(k)=DFTjxi(n), 是X(k)的共轭反对称分量。所以，如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFTjxi(n)=0，故X(k)=DFTx(n)=Xep(k)，即X(k)=X*(Nk)。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章（2）由DFT的共轭对称性可知，如果 x(n)=xep(n)+xop(n)且X(k)=ReX(k)+j ImX(k)则ReX

8、(k)=DFTxep(n), j ImX(k)=DFTxop(n)所以，当x(n)=x(Nn)时，等价于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又由（1）证明结果知道，实序列的DFT必然为共轭对称函数，即X(k)=X*(Nk)=X(Nk)，所以X(k)实偶对称。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章同理，当x(n)=x(Nn)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称， X(k)=X*(Nk)=X(Nk), 为纯

9、虚奇函数。 8 证明频域循环移位性质：设X(k)=DFTx(n)， Y(k)=DFTy(n)，如果Y(k)=X(k+l)NRN(k)，则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章证：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章令m=k+l, 则9 已知x(n)长度为N， X(k)=DFTx(n)，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章求Y(k)与X(k)的关系式。解:离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章10 证明离散相关定理。若X(k)=X1* (k)2(k) 则证：根据DFT的惟一性，只要证明即可。离散傅里叶变换(DFT)及其

10、快速算法 (FFT)第章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章令m=l+n，则所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章当然也可以直接计算X(k)=X1 *(k)X2(k)的IDFT。 0nN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章由于0nN1所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章11 证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFTx(n)，则证：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章12 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。设F(k)=DFTf(n)N 0kN1(1)(2

11、) F(k)=1+jN试求X(k)=DFTx(n)N， Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。解: 由DFT的共轭对称性可知x(n) X(k)=Fep(k)jy(n) jY(k)=Fop(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章方法一（1）离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章0nN1由于0n, mN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章所以x(n)=an 0nN1同理 y(n)=bn 0nN1（2） F(k)=1+jN，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章方法二令只要证明A(k)为共轭对称的，B(k)为共轭反对称

12、，则就会有A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k)因为，共轭对称离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章，共轭反对称所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章由方法一知x(n)=IDFTX(k)=anRN(n)y(n)=IDFTY(k)=bnRN(n)13 已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点，采样序列为求有限长序列IDFTX(k)N。解: 我们知道， , 是以2为周期的周期函数，所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章以N为周期，将看作一周期序列的

13、DFS系数，则由式知为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章将式代入式得到由于所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章由题意知所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章由于0nN1，所以因此说明：平时解题时，本题推导离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章的过程可省去，直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0 n0, 8ny(n)=0 n0, 20n对每个序列作2

14、0点DFT，即X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解: 如前所述，记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27， f(n)长度为20。由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足 f(n)=fl(n),所以f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n19离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。（1）求X(k)的其余3点的值；（2）求X1(k)=DFTx1(n)8；（3），求。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)第章解：（1）因为x(n)是实序列，由第7题证明结果有X(k)

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