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1、1实施课程标准后高考数学能力考查浅析专题集备-概率统计 李彦鹏主备 2012.3 一、新高考能力框架： 空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、 应用和创新能力。以能力立意的命题原则尝试新命题原则 1以数学内容为基点，以基本的推理能力和思维要求为出发点，突出考查学生 一般能力的表现，测量学生的学习能力。 2以多元化、多途径、开放式的设问背景，全面测量学生观察、实验、联想、 猜想、归纳、类比、求异创新思维。 3以源于社会、源于生活的问题考查学生。有效测量学生抽象、概括、建模能 力。认识世界、把握本质、灵活运用所学知识分析问题、解决问题能力提出要求。二、能力考查探究
2、课程标准后高考依据新的能力框架，探索了新的能力考查规律和方法。 1创设开放情境，考查探究能力 高考中连续 3 年命制了探究试题，分别探究条件、结论和解题过程。 例 1：从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：mm） ，结 果如下： 甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 328 331 334 337 352 乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 3
3、29 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： 2008 年考点“茎叶图” ，要求学生探究分析，总结统计结论。突破设问方式，没 有直接问纤维长度的平均值和标准差，避开复杂运算。同时明确提出对纤维长度 进行比较的要求。 2分析数字特征。考查处理数据能力2依据所学统计知识和方法，对数据进行整理、分析，形成有意义的结论。试题提 供数据是真实的实际背景，体现数学知识应用价值。数据处理能力就是对问题所 提供的文字、数字、图形、图表等信息，提取有用，会收集处理，作出统计分析。例 2对变量 x, y 有观
4、测数据理力争（，） （i=1,2,，10） ，得散点图 1；对1x1y变量 u ，v 有观测数据（，） （i=1,2,，10）,得散点图 2. 由这两个散点图1u1v可以判断。 （A）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 （B）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 （C）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 （D）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关。考查对收集后数据进行分析、判断能力，正确区分现实生活变量间的相互关系， 通过对两个相关变量的数据散点图的观察、直观认识、分析两个变量间的相关关 系。数据简单，观察散点图。利用正、负相关概念即可作出合理判断。背景真实
5、， 信息社会，收集有用的得出结论。 3建数学模型，考查应用意识 依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造 模型，加以解决。 例 3： A，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2.根据市场分析，X1,X2的分 布列分别为X1510 P0.80.2()在 A、B 两个项目上各投资 100 万元，Y1和 Y2分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 DY1，DY2；（）将 x(0x100)万元投资 A 项目，100-x 万元投资 B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得到利润的方差的和.求 f(x)的最小值，并 指出
6、 x 为何值时，f(x)取到最小值. （注：D(Ax+b)=a2Dx） 考查取有限值的离散型随机变量的概率分布、均值、方差的概念和计算。考查应 用离散型随机变量均值和方差的概念解决实际问题能力。利用离散随机变量概率 描述和分析随机现象是概率论重要内容方法，利用概率知识解决简单实际问题是 概率论学习的基本要求。通过实际问题情境的创设，希望考生理解随机变量 x1、x2 的分布列的含义，通过 x1、x2 和随机变量 y1、y2 线性关系，建立 y1、y2 分布列，从而求解随机变量 y1、y2 的方差。在 2 中 y1、y2 的方差算出 f(x)。利润的方差是投资的一个重要指标，通过解答看出适当的组合
7、投资可以降 低投资风险。考查了随机变量的方差的概念，解决实际问题能力，同时综合考查 利用随机变量模型观察、分析实际问题的意识和能力。围绕离散型随机变量的概 率分布、均值、方差的概念和应用，突出知识应用价值，通过公式简化过程，重 点关注问题所涉及的数学知识和方法，体现应用问题考查。X22812 P0.20.50.33三课堂掠影及热点整合： 热点热点 1排列组合综合应用： 排列背景是数字、人或物排列，组合几何、产品抽样、集合、人或物搭配等形式 出现。也直接考查两个计数原理和排列组合综合应用的题目。 例 1如图，用四种不同颜色给图中的 A、B、C、D、E、F 六个点 涂色，要求每个点涂一种颜色，且图
8、中每条线段的两个端点涂不同 颜色。则不同的涂色方法共有 （A） 288 种 （B）264 种 （C） 240 种 （D） 168 种解：分三类：（1）B、D、E、F 用四种颜色，则有种4 41 124A 方法；（2）B、D、E、F 用三种颜色，则有种方法；3 42 2A 3 42 1 2192A （3）B、D、E、F 用二种颜色，则有，所以共有不同的涂色方法2 42 248A 24+192+48=264 种。 本小题考查排列组合的基础知识，考查分类讨论的数学思想，有难度。 例 2由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数 是（ ） A 36 B 32 C
9、 28 D24 例 37 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答） 。 例 4某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂 至少安排一个班，不同的安排方法共有种 （用数字作答） 热点热点 2二项式定理综合应用 问题类型有：以二项式定理通项公式求系数或项，赋值法在二项式展开式的应用， 求问题参数。例 5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为512axxxx（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40热点热点 3。古典概率、几何概率的计算 古典、几何概率是概率论最基本的问题，由公
10、式计算 m,n 这往往涉及较复杂排列 组合计算，但计算并不是概率论的重点实际上充分利用概率性质灵活计算概率。 还有随机数模拟法的简单应用。例 6.有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A） （B） （C） （D）1 31 22 33 4例 7设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模( )yf x0,10( )1f x拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间上的均匀随机10( )f x dx0,14数和，由此得到 N 个点，再数出其中满12,Nx xx12,Ny yy11( ,)(1,2,)x
11、 yiN ,足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近11()(1,2,)yf xiN ,1N10( )f x dx似值为 。 1N N热点热点 4.4.独立重复试验与二项分布一次试验中事件 A 发生概率为 P，独立试验 N 次这一模型可以描述许多实际问题。使用时有时需要计算 P，设计概率计算技巧，还设计其它概率分布，综合性强。例 8某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（A）100 （B）200 （C）300 （D）400解析：根据题意显然有，所以，故(0.1,1000)2X:()0.1
12、10001002XE200EX 例 9如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法SABCDM 估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入MABCDnnm中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为 2，的面积MMmSnABCDM为 1，并向正方形中随机投掷个点，以表ABCD10000X 示落入中的点的数目M （I）求的均值；XEX （II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计MM值与实际值之差在区间内的概率( 0.03)，附表：10000 10000 0( )0.250.75k ttttP kCk2424242525742575( )P k0.04030.04230.9
13、5700.9590解：每个点落入中的概率均为M1 4p 依题意知1100004XB，（）11000025004EX （）依题意所求概率为，0.034 10.0310000XP DCBAM50.034 10.03(24252575)10000XPPX 2574 10000 10000 24260.250.75ttttC25742425 1000010000 1 1000010000 242600.250.750.250.75tttttttCC0.95700.04230.9147 热点热点 5 5.求概率分布与求特征数的综合问题 求随机变量的特征数是实际中常见的问题，关键是出它的概率分布，而求为了
14、求 分布列，除了明确随机变量可能值外，更重要还是要求事件概率。从而利用公式 求出方差和期望是常遇到的综合题，也是高考的热点之一。 例 10A,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2.根据市场分析， X1,X2的分布列分别为X1510 P0.80.2()在 A、B 两个项目上各投资 100 万元，Y1和 Y2分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 DY1，DY2；（）将 x(0x100)万元投资 A 项目，100-x 万元投资 B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得到利润的方差的和.求 f(x)的最小值，并 指出 x 为何值时，f(x)取
15、到最小值.注：D(Ax+b)=a2Dx） 解：（）由题设可知和的1Y2Y分布列分别为Y1510 P0.80.2，15 0.8 10 0.26EY ，22 1(56)0.8(106)0.24DY ，22 0.28 0.5 12 0.38EY 222 2(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY （）12100( )100100xxf xDYDY2212100 100100xxDYDY22 243(100)100xxX22812 P0.20.50.3Y22812 P0.20.50.36，22 24(46003 100 )100xx 当时，为最小值600752 4x ( )3f x 四可能有用的思维方法 1枚举法 由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是
