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1、11.2 用样本估计总体要点梳理1.频率分布直方图（1）通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用 .另一种是用 .（2）在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用 表示.各小长方形的面积总和 .样本的频率分布估计总体的分布样本的数字特征估计总体的数字特征 频率 组距各小长方形的面积等于1基础知识 自主学习（3）连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.随着 的增加，作图时所分的 增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为 ，它能够更加精细的反映出.（4）当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以 ，而且可以，给
2、数据的 和 都带来方便.样本容量组数总体密度曲线各个范围内取值的百分比总体在保留所有信息随时记录记录表示2.用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的 . 平均数：样本数据的算术平均数.即 = .在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 .最多最中间中位数相等（2）样本方差、标准差标准差s=其中xn是 ，n是 ， 是.是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的 .通常用样本方差估计总体方差，当时,样本方差很接
3、近总体方差.样本数据的第n项样本容量数平均标准差本容量接近总体容量平方样基础础自测测1.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.375，则该组样本的频数为（）A.4B.8C.12D.16解析 频率= .频数=频率容量=0.37532=12.C2.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-1，0，4，x,7，14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为（）A.5,24 B.5,24C.4,25 D.4,25解析 中位数为5，5= ，x=6.s2= （5+1）2+（5-0）2+（5-4）2+（5-6）2+（5-7）2+（5-14）2=24 .A3.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 k
4、m/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ）A.30辆B.40辆C.60辆D.80辆解析 由图可知，车速大于或等于70 km/h的汽车的频率为0.0210=0.2，则将被罚的汽车大约有2000.2=40辆.答案 B4.甲、乙两位同学参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是（）A.甲B.乙C.甲、乙相同D.不能确定解析 平均数相同，看谁的标准差小，标准差小的就稳定.
5、B5.一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：则样本在（20，50上的频率为 .解析 =60%.组组 别别 （10，20（20，30（30，40（40,50（50，60 频频数 2 3 4 5 6 60%题型一 频率分布直方图在总体估计中的应用【例1】 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为24171593，第二小组频数为12.题型分类 深度剖析（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？利用面积积求
6、得每组组的频频率求样样本容量求频频率和求达标标率解 （1）由已知可设每组的频率为2x，4x，17x，15x，9x，3x.则2x+4x+17x+15x+9x+3x=1解得 x=0.02.则第二小组的频率为0.024=0.08，样本容量为120.08=150.（2）次数在110次以上（含110次）的频率和为170.02+150.02+90.02+30.02=0.34+0.3+0.18+0.06=0.88.则高一学生的达标率约为0.88100%=88%.思维启迪探究提高 用频频率分布直方图图解决相关问题时问题时 ，应应正确理解图图表中各个量的意义义，识图识图 掌握信息是解决该类问题该类问题 的关键键
7、.频频率分布直方图图有以下几个要点：（1）纵轴纵轴 表示频频率/组组距.（2）频频率分布直方图图中各长长方形高的比也就是其频频率之比.（3）直方图图中每一个矩形的面积积是样样本数据落在这这个区间间上的频频率，所有的小矩形的面积积之和等于1，即频频率之和为为1.知能迁移1 有一容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：12.5，15.5），6；15.5，18.5），16；18.5，21.5），18；21.5，24.5），22；24.5，27.5），20；27.5，30.5），10；30.5，33.5），8.（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30.5的概
8、率.解 （1）样本的频率分布表如下： 分组组 频频数 频频率 12.515.5 6 0.0615 .518.5 16 0.16 18.521.5 18 0.1821.524.5220.2224.527.5200.2027.530.5100.1030.533.580.08 合计计1001.00（2）频率分布直方图如下图所示.（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，所以小于30.5的频率是0.92，所以数据小于30.5的概率约为0.92.题型二 茎叶图的应用【例2】 某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538乙：515
9、 558 521 543 532 559 536 548 527 531（1）用茎叶图表示两学生的成绩；（2）分别求两学生成绩的中位数和平均分.（1）将十位与百位数字作为为茎，个位数字作为为叶，逐一统计统计 ；（2）根据茎叶图图分析两组组数据，得出结论结论 .思维启迪解 （1）两学生成绩的茎叶图如图所示.（2）将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 =537.乙学生成绩的中位数为 =534.甲学生成绩
10、的平均数为500+ =537，乙学生成绩的平均数为=537.（1）茎叶图图的优优点是保留了原始数据，便于记录记录 及表示，能反映数据在各段上的分布情况.（2）茎叶图图不能直接反映总总体的分布情况，这这就需要通过过茎叶图给图给 出的数据求出数据的数字特征，进进一步估计总计总 体情况.12+22+28+34+36+38+41+49+54+561015+21+27+31+32+36+43+48+58+5910500+探究提高知能迁移2 （2008海南，宁夏理，16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 29
11、2 294 295301 303 303 307 308 310 314 319 323325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315315 316 318 318 320 322 322 324 327329 331 333 336 337 343 356由以上数据设计了如下茎叶图：根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：；.解析 由茎叶图可以看出甲棉花纤维的长度比较分散,乙棉花纤维的长度比较集中(大部分集中在312337之间），还可以看出乙的平均长度应大于310，而甲的平均长
12、度要小于310等，通过分析可得到以下结论.答案 乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀.题型三 用样本的数字特征估计总
13、体的数字特征【例3】（12分）甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.（1）分别求出两人得分的平均数与方差；（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.（1）先通过图过图 象统计统计 出甲、乙二人的成绩绩；（2）利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩绩，作出评评价.解 （1）由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.2分思维启迪5分（10-13）2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13) 2+(16-13)2=4,(13-13)2+(14-13)2+(12-13
14、)2+(12-13)2+(14-13)2=0.8. 8分（2）由 可知乙的成绩较稳定. 10分从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高. 12分探究提高 （1）平均数与方差都是重要的数字特征,是对总对总 体的一种简简明的描述，它们们所反映的情况有着重要的实际实际 意义义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势趋势 ，方差和标标准差描述波动动大小.（2）平均数、方差的公式推广若数据x1,x2,xn的平均数为为 ,那么mx1+a,mx2+a,mx3+a,mxn+a的平均数是m +a.数据x1,x2,xn的方差为为s2.a.s2=b.数据x1
15、+a,x2+a,xn+a的方差也为为s2;c.数据ax1,ax2,axn的方差为为a2s2.知能迁移3 甲、乙两台机床同时加工直径为10 mm的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下（单位：mm）:甲：99,100,98,100,100,103乙：99,100,102,99,100,100（1）分别计算上述两组数据的平均数和方差；（2）根据（1）的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求.解 （1）（99-100）2+（100-100）2+（98-100）2+（100-100）2+（100-100）2+（103-100）2= .（99-100）2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2=1.（2）因为 ，说明甲机床加工的零件波动比较大，因此乙机床加工的零件更符合要
