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1、 JIANGSU NORRMAL UNIVERSITY本科生毕业论文UNDERGRADUATE THESIS论 文 题 目： 导数在不等式证明中的应用姓 名： 学 院： 专 业： 数学与应用数学(师范） 年 级 、 学 号： 指 导 教 师： 导数在不等式证明中的应 论文原创性声明论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果，所有数据、资料真实可靠.除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容.本论文的知识产权归属培养单位.本人签名： 年 月 日导数在不等式证明中的应 论文版权使用授权书论文版权使用授权书本论文“导数在不等式
2、证明中的应用”是本人在校期间所完成学业的组成部分，是在江苏师范大学教师的指导下完成的，因此，本人特授权江苏师范大学可将本毕业论文的全部或部分内容编入有关书籍、数据库保存，可采用复制、印刷、网页制作等方式将论文文本和经过编辑、批注等处理的论文文本提供给读者查阅、参考，可向有关学术部门和国家有关部门或机构呈送复印件和电子文档.本毕业论文无论做何种处理，必须尊重本人的著作权，署明本人姓名.作者签名： 指导教师签名： 年 月 日 年 月 日导数在不等式证明中的应 导数在不等式证明中的应 导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用摘要摘要不管是在初等数学还是在高等数学中导数这部分知识的地位都不容小
3、觑，依稀记得自初中以来我们就总能在考试中与不等式相遇，百炼成钢我们由当初只会用原始方法证明一些简单的不等式成长到可以应用导数简练的去证明一些复杂的不等式，能够深刻认识到使用这一工具的有效性以及可行性.导数在浩瀚的数学领域中有着极其广泛的运用，本文以阐述如何将导数用于不等式的证明为主旨，主要以例题的形式来展示导数在不等式证明中的一些方法与技巧.该论文参考文献 6 篇.关键词：关键词：导数 不等式 单调性 导数在不等式证明中的应 The derivative in the application of inequality proofAbstractWhether in elementary ma
4、thematics and advanced mathematics，the status of the derivative knowledge is very important.Since junior high school,we can always meet with the inequality in the examination,At the beginning, we will only use the original method to prove some simple inequality .Little by little, we can be applied t
5、o prove some complex inequalities quickly derivative.We can realize profoundly, effectiveness and feasibility of using this tool.Derivative is applied extensively in the vast field of mathematics，This article mainly elaborated that application of derivative in an in equation，mainly in the form of ex
6、amples to illustrate that some skills of the derivative in the inequality proof .Key words: derivative inequalities monotony 导数在不等式证明中的应 目录目录摘要摘要AbstractAbstract 目录目录 一引言一引言 1 1二利用导数的几何意义证明不等式二利用导数的几何意义证明不等式 1 1三利用函数的单调性证明不等式三利用函数的单调性证明不等式 2 2四利用函数的极值（最值）证明不等式四利用函数的极值（最值）证明不等式 4 4五利用函数的凹凸性证明不等式五利用函数
7、的凹凸性证明不等式 6 6 六利用两导数的不等性证明不等式六利用两导数的不等性证明不等式 7 7七利用函数的单峰性证明不等式七利用函数的单峰性证明不等式 7 7小结小结 9 9 参考文献参考文献1010 致谢致谢1111导数在不等式证明中的应 1一一 引言引言不等式证明这部分知识在中学数学领域里是重点的学习内容之一，也是难点之一；自打初中以来不等式这类题型就与我们如影随形，做的多了自然而然我们所掌握的解题方法也就愈发的多样化，然而对于有些证明你换再多的初等方法依然不得证，这时我们就不妨从高等数学的角度去重新审视不等式尝试将不等式与导数联系起来我们的视野将会豁然开朗，曾几何时我们所认为的难题也能
8、够迎刃而解.导数在高中数学中运用十分广泛，尤其在高考中导数俨然成为重要的解题工具，特别是在研究函数时导数是极其有效的武器，近些年来高考题中经常利用导数来研究函数单调性、极值、最值问题.本文主要以举例子的形式来探讨如何以导数为工具应用于不等式的证明中.二二 利用导数的几何意义证明不等式利用导数的几何意义证明不等式高考题中经常会考察导数的几何意义，但是通常不会直接考察其在不等式证明中的应用往往是要与函数的单调性结合起来用于不等式证明中的，本知识板块只要大家解题时能够据题意将割线转化为切线再化为导数，记得切线公式足矣.定义(1):函数在处的导数是曲线在,处的切( )yf x=0x)(0xf )(xf
9、y 0(x)(,(00xfx线的斜率,当在可导那么曲线在点处的切线是： k)(xf0xx =)(xfy )(,(00xfx（1）)()(000xxxfxfy（当时,切线为:）)(0xf0xx 例 1(2015 天津 19(、)：已知函数,，其中,且.nxnxxf)(RxNn2n()设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方为:)(xfy xPP，求证:()对于任意的正实数,都有；()若关于的方程)(xgy x)()(xgxfx(为实数)有两个正实数根,求证:.axf)(a21,xx2112naxx导数在不等式证明中的应 2证明:()由题意可知:,则,在处切线方程为:11 nnxP2)(nnx
10、fP)(xfy P,)()(PPxxxfxgy令 ，)()()()()(PPxxxfxfxgxfxF则 ，)()()(PxfxfxF又,故在内单调递增，在内单调递减，所以对于任意0)(PxF)(xF), 0(Px),(Px的正实数总有,即x0)()(PxFxF.)()(xgxf（)不妨设,由()知21xx ，)()(2 Pxxnnxg记的根为,当时在上单调递减,又由()axg)(2xPnnaxx222n)(xg),(知，)()()(222xgaxfxg即 ,22xx同理,设曲线在点处的切线方程为:)(xfy )0 , 0(，nxxh)(当,，即对于任意的,记), 0( x0)()(nxxhxf
11、)()(), 0(xhxfx的根,因此，则有axh)(nax 111xx ，Pnaxxxxx11212又，则有 ，2nnnCnnn111) 11 (21 111即 ,.Pxnn1122112naxx注：本题思路:本题需要熟知导数的几何意义及掌握一些简单常见函数的求导则，这是一道综合性大题在考察我们函数思想之余也考察了导数几何意义.两个问是先求用求导公式求出斜率再写出切线方程，再利用求差法构造出函数并利用导数分析辅助函数的性质并加以利用达到证明不等式的理想效果.最后一问还涉及了放缩思想，此题极大程度考察了我们综合解题能力.导数在不等式证明中的应 3拓宽视角:上述导数几何意义用于证明不等式只起到配角作用就不多做说明了，其实它也有作主角的时候，比如若遇到如下形式：或（，（）利用函数axfxf)()(2121xx )()(21xfxfa21xx 0a图像上任意两点，用定义法求出的斜率 的值域就是曲)(xfy =1, 1yxM22, yxNk线上任一点斜率的取值范围，然后用与之等价的导数来与斜率 就能够达到证明不等式的目的.三三 利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性
