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1、第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差和相关系数 矩与协方差矩阵4.1 数学期望 4.1.1 概念例1、盒子中有6个球（如图），122333从中任取一球再放回，重复了三次，问三次抽到号码的平均值。定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列是 ，若级数 收敛，则称随机变量 X 的数学期望存在，且 称级数 的和为 X 的数学期望，并记为EX，有时也称 EX 为 X 的均值。对连续型随机变量 X 的数学期望类似的可定义如下：定义4.2：如果连续型随机变量X具有密度函数 f(x)，积分 收敛，则称 X 的数学期望存在，否则称X的数学期望不存在。若X 的数学期望存在，称积分值 为 X 的数学期
2、望，也记为 EX。注1、若 ，仍称X的 数学期望不存在。2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在有限区间上积分，则X的期望一定存在。3、离散型只取非负值，连续型只在x0时f(x)0，则只需直接计算期望。4.1.2 常见随机变量的数学期望 （1）（01）分布p1-pP10X（2）二项分布B(n,p)（3）泊松分布P()（4）几何分布G(p)（5）超几何分布H(N, M ,n)（6）均匀分布U(a,b)（7）指数分布（8）正态分布 N(,2)4.1.3 随机变量函数的数学期望 定理4.1：设Y是随机变量X的函数，即 （g 是连续函数），（1）若X是离散型随机变量，其分布律为而级数 绝对收敛，则有（
3、2）若 X 是连续型随机变量，其密度函数为 ，若积分 绝对收敛，则有 定理4.2：设Z是二维随机变量（X，Y）的函数，即Zg（X，Y），则（1）若（X，Y）是二维离散型随机变量，有（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有例1：设 XB（n，p），求EX(X1)。 解：因XB（n，p），则X的分布律为令 Yg（X） X(X1)例2、已知XN(0,1)，求E(X4)例3、（X,Y）的联合密度函数为：求：EY例4：设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，其密度为求 的数学期望。解：例5：设X、Y相互独立同服从标准正态分布N（0，1），求 E（maxX,Y）。解：由题设，(X，Y)的联合密度为（1）
4、ECC，(C为常数)（2） E(CX)CEX ，(C为常数)（3） E(X+Y)EXEYE(aX+b)aEXb， E( )（4）若X、Y是相互独立的随机变量，则E(XY)EXEY 。 4.1.4 数学期望的性质例6、盒中有N个球，其中M个黑球，N-M个白球，从中任取n个球，令X表示取得黑球的个数，求 EX。4.2 随机变量的方差 4.2.1 方差的定义对随机变量的特征进行考察，除了数学期望外，还要考察X的可取值与EX的偏离情况，由于XEX可正可负，因此用XEX2 来考虑。 定义4.3：设X是一个随机变量，若(XEX)2 的数学期望存在，则称E(XEX)2为X的方差，记为DX或Var(X)，即D
5、XE(XEX)2 离散型随机变量：连续型随机变量：方差的计算公式：4.2.2 几种常见的随机变量的方差（1）（01）分布p1-pP10X（2）二项分布：（3）泊松分布：（4）均匀分布：（5）指数分布：（6）正态分布：4.2.3 方差的性质（1）D(C)0，(C为常数)（2）D(CX)C2DX ，(C为常数) （3）若X、Y是相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X-Y)DXDY （4）DX0例1、已知 XN(1,22)，YN(2,22)，且X、Y相互独立，求：X-2Y+3的数学期望和方差。 定理：切比雪夫不等式4.3 协方差与相关系数4.3.1 协方差与相关系数的概念我们在证明方差的性质时看
6、到，当两个随机变量X和Y相互独立时，有但当 X 和 Y 不相互独立时，它们之间的关系呢？称 为 X、Y 的相关系数。定义4.4：设 X、Y 是两个随机变量，称为随机变量 X、Y 的协方差，记为 即：相关系数的特征： 是一个无量纲的量。它描述的是 X、Y 之间的线性相关程度。特殊的，当时，称X,Y不相关。结论：X、Y相互独立，则其一定不相关；但若 X，Y不相关，却未必相互独立。4.3.2 协方差与相关系数的性质1、协方差的性质:2、相关系数的性质:（1）| | 1 ;（2）| | = 1 的充要条件为 X 与 Y 以概率1线性相关。即存在常数 a、b，a0 ，使例1、已知随机变量X,Y相互独立，
7、且求 3X-Y 与 X+Y 的相关系数。独立与不相关的关系：X、Y相互独立，则其一定不相关；但若 X，Y不相关，却未必相互独立。例2、已知（X,Y）的联合密度函数为：证明：X，Y 不相关，X，Y 不独立 。4.4 矩、协方差矩阵4.4.1 矩定义4.5：设X、Y是随机变量，称为X的k阶原点矩称为X的k阶中 心矩称为X与Y的k+l阶混合中心矩4.4.2 协方差矩阵设n维随机变量 X ，记 称 为X的期望向量，记 为 Xi 与Xj 的协方差，则称n阶矩阵为随机变量X的协方差矩阵。设n维随机变量 X ，记 称 为X的期望向量，记 为 Xi 与Xj 的协方差，则称n阶矩阵协方差矩阵的性质：（1）（2） ，即协方差矩阵是对称的。（3）协方差矩阵是非负定矩阵，即对任意的 n 维实向量 t ，有t t （4）4.4.3 n维正态分布定义4.6：若n维随机向量X 的联合概率密度为其中x ， ，是 n维实向量， 是n阶正定矩阵，|表示的行列式，则称X服从n维正态分布，记为XN（，nn）。特殊的，n=2时，即：其中1、定义：其中 任意，7、 Xn1N（n1,nn）的充要条件是 lXN（l， l l）（其中l为n维常向量）（其含义是：X 服从多维正态分布的充要条件是其任一线性组合服从一维正态分布。）
