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1、1第三章第三章 扭转扭转2第三章第三章 扭扭 转转3-13-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3-2 3-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图3-3 3-3 纯剪切纯剪切3-43-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3* *3-83-8 薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件的自由扭转3-5 3-5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 3-6 3-6 圆柱形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形3-7 3-7 非圆截面杆的扭转概念非圆截面杆的扭转概念4齿轮传动用于机床、汽车、起重机、拖拉机等的变速箱3-1 3-1 扭转的概念及实例扭转的概念及实例一、工程实例一、工程实
2、例56力偶： 大小相等，方向相反，不在同一作用线上的一对平行力称为“力偶”。 力偶矩：平行力中的一个力与力偶臂的乘积。 力偶不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶平衡。根据力偶的性质，力偶只产生转动效应。7 MMe eMMe e 二、杆件扭转受力特点二、杆件扭转受力特点杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶. .三、变形特点三、变形特点杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动. .83-2 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图. 传动轴的外力偶矩从动轮主动轮从动轮n
3、 nMMe2MMe1MMe39外力偶矩Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为在已知传动轴的转速n和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式 计算作用于每一轮上的外力偶矩：10主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。11MMe假想将轴截开取左侧为研究对象假想将轴截开取左侧为研究对象二、内力的计算二、内力的计算 1.1.求内力求内力截面法截面法 T TMMeMMeT: 截面内力偶矩，称为扭矩122. 扭矩的正负号：规定可按右手螺旋法则表示：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。13nnMeMexMexT T3.3.扭矩图扭矩图用平行于杆轴线的
4、坐标用平行于杆轴线的坐标 x x 表示表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标坐标 T T 表示横截面上的扭矩，正的表示横截面上的扭矩，正的扭矩画在扭矩画在 x x 轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在 x x轴下方。轴下方。T Tx x+ +_ _14MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n例例3-1 3-1 一传动轴如图所示一传动轴如图所示, ,其转速其转速 n n = 300 r/min = 300 r/min，主动轮，主动轮A A输入的功率为输入的功率为P P1 1 = 500 kW= 500 kW。若不计轴。若不计
5、轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P P2 2 = 150 kW = 150 kW ，P P3 3 = 150 kW , = 150 kW , P P4 4 = 200 kW= 200 kW。试做扭矩图。试做扭矩图。15解解: : 计算外力偶矩计算外力偶矩MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n nP P1 1 = 500 kW = 500 kW P P2 2 = 150 kW= 150 kWP P4 4 = 200 kW= 200 kWP P3 3 = 150 kW = 150 kW n n = 300
6、 r/min = 300 r/min 16计算计算 CACA 段内截面上的扭矩段内截面上的扭矩. .结果为负号结果为负号, ,说明说明T T 2 2 应是负值扭矩应是负值扭矩由平衡方程由平衡方程A AB BC CD DMMe1e1MMe3e3MMe2e22 22 2B BC CxMe2Me3T2MMe4e417A AB BC CD D在在 ADAD 段内段内11 133Me4Me1Me3Me2Me2MMe4e4T T1 1T T3 3作扭矩图作扭矩图从图可见从图可见, ,最大扭矩在最大扭矩在 CACA段内段内. .同理同理, ,在在 BCBC 段内段内4774.5 4774.5 NmNm954
7、9 9549 NmNm6366 6366 N N mm+ +_ _T181.1.实验前实验前（1 1）画纵向线、圆周线）画纵向线、圆周线; ;（2 2）施加一对外力偶）施加一对外力偶. .一、一、薄壁圆筒扭转时切薄壁圆筒扭转时切应力应力薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚（r r0 0圆筒的圆筒的平均半径）平均半径）dxxMeMe2.2.实验后实验后（1 1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动；轴线作了相对转动；（2 2）各纵向线均倾斜了同一微小角度）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； （3 3）所有矩形网格均成为
8、同样大小的平行四边形所有矩形网格均成为同样大小的平行四边形. .3-3 3-3 纯剪切纯剪切193.3.推论推论（1 1）横截面上无正应力，只）横截面上无正应力，只有切应力；有切应力；（2 2）切应力方向垂直半径或）切应力方向垂直半径或与圆周相切与圆周相切. .dx 圆周各点处切应力的方向于圆周相切圆周各点处切应力的方向于圆周相切, ,且数值相等且数值相等, ,近似的认为沿壁厚方向各点处近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化切应力的数值无变化. .MMe eMMe eABDCdx20此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式. .4.4.推导
9、公式推导公式T T 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致. .21x xd dy yd dz zd dx xy yz z二、切应力互等定理二、切应力互等定理 1. 1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力, ,其方向于其方向于 y y 轴平行轴平行. .两侧面的内力元素两侧面的内力元素 d dy y d dz z大小相等大小相等, ,方向相反方向相反, ,将组成将组成 一个力偶一个力偶. .由平衡方程由平衡方程其矩为其矩为( ( d dy y d
10、dz z) ) d dx x22x xy yd dy yd dz zz zd dx x 2 2. 要满足平衡方程要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力组成力偶，其矩为的一对内力组成力偶，其矩为即：即：3. 3.切应力互等定理切应力互等定理 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在, ,且大小相等且大小相等, ,都指相（或背离）该两平面的交线都指相（或背离）该两平面的交线. .23MMe eMMe el式中式中, , r r 为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经. .三、剪切胡克
11、定律三、剪切胡克定律4. 4.纯剪切单元体纯剪切单元体 单元体平面上只有切应力而无正应力单元体平面上只有切应力而无正应力, ,则称为纯剪切单元体则称为纯剪切单元体. .从几何关系可以得到切应变从几何关系可以得到切应变 与相对转角与相对转角 的关系为：的关系为：薄壁圆筒的扭转试验发现薄壁圆筒的扭转试验发现, ,当外力偶当外力偶 MMe e 在某一范围内时在某一范围内时, , 与与 MMe e （在数值上等于（在数值上等于 T T ）成正比）成正比. . 24三个弹性常数的关系三个弹性常数的关系TO从从 T T 与与 之间的线性关系之间的线性关系, ,可推出可推出 与与 间间的线性关系的线性关系.
12、 .该式称为材料的该式称为材料的剪切胡克定律剪切胡克定律G G 切变模量切变模量O O 由：25思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变2 2 切应变为切应变为切应变为切应变为0 026四、剪切应变能对处于纯剪切应力状态的单元体（图a），为计算其上的外力所作功dW可使 左侧面不动，此时的切应力 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力 dydz在 相应的位移 dx上作功。27当材料在线弹性范围内工作时 （ p，见图b），有：28由剪切胡克定律 =G，该应变能密度的表达式可写为单元体内储存的应变能dVe数值上等于单元体上外力所作功dW，即 dVe=dW 。单元体单位体积内的应变能，
13、亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为29变形几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式3-4 3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力30一、变形几何关系一、变形几何关系2.2.平面假设平面假设变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面 , ,变形后仍保持为平面，变形后仍保持为平面， 形状和大小不变；相邻两截面的距离不变。形状和大小不变；相邻两截面的距离不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。1. 1. 表面变形情况：表面变形情况： (a) (a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和相邻圆周线绕杆的轴
14、线相对转动，但它们的大小和 形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；形状未变，小变形情况下它们的间距也未变； (b) (b) 纵向线倾斜了一个角度纵向线倾斜了一个角度 。31a aabbd dx xO O1O O23.3.几何关系几何关系倾角倾角 是横截面圆周上任一点是横截面圆周上任一点A A 处的处的切应变切应变, d, d 是是 b-bb-b截面相对于截面相对于a a- -a a 截面象刚截面象刚性平面一样绕杆性平面一样绕杆的的轴轴线线转动的一个角度转动的一个角度. .经过半径经过半径 O O2 2D D 上任一点上任一点G G的的纵向线纵向线EGEG 倾斜了一个角度倾斜了一个角度 , ,
15、也就是横截面半径上任一点也就是横截面半径上任一点E E处的切应变处的切应变TTd d ADG DGE E32a aabATTd dx xDb DO O1O O2GG 式中 相对扭转角 沿杆长的变化率，常用 来表示，对于给定的横截面为常量。33同一圆周上各点切应力同一圆周上各点切应力 均相同均相同, ,且其值与且其值与 成正比成正比, , 与半径垂直与半径垂直. .二、 物理关系由剪切胡克定律由剪切胡克定律a aabATTd dx xDb DO O1O O2GG 34r rO Od dA Ad dA A T T三、静力关系三、静力关系结论结论 I Ip p 横截面对圆心的横截面对圆心的 极惯性矩极惯性矩GIGIp p 横截面扭转刚度横截面扭转刚度35WWt t 称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为 mmmm3 3 或或 mm3 3. .2. 2. 的计算的计算r rO OT Td dA Ad dA A maxmax静力关系代入物理关系中得到静力关系代入物理关系中得到物理关系静力关系36（1 1
