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1、第七章 弯曲应力Bending stresses赠 言前事之不忘，后事之师。战国策 赵策欲穷千里目，更上一层楼。王之涣登鹳雀楼1上一章学习了弯曲内力 弯矩、剪力（计算内力、画内力图）目的：为解决弯曲强度“铺路”地球上的人造结构，弯曲现象最常见，太重要了！如何解决弯曲强度问题？2为此，请回顾一下以往的强度问题拉压、扭转 由应力算强度（已清楚）弯曲 应力（不了解）如何求出弯曲应力？子曰：“ 温故而知新，可以为师矣。” 论语.为政篇第二3弯曲弯矩M 剪力Q？拉（压）轴力N应力内力变形形式构件扭转扭矩T4通过温故，启迪了知新的思路 应力从内力出发亦即 由 弯曲内力 求 弯曲应力弯曲问题的整个分析过程：
2、弯曲内力 弯曲应力弯曲应力 弯曲变形强度问题刚度问题5本章主要内容7.1 弯曲正应力7.2 弯曲正应力强度条件7.3 弯曲切应力及强度条件7.4 弯曲中心7.5 提高弯曲强度的一些措施这一堂课先效仿前人，探求出来弯曲正应力公式，然后解决弯曲正应力强度问题6知道公式会用，不知推导，行不行？不行。为了由温故 知新，到温故 创新；因此要做到第一个层次：把前人的推导作为创新的案例，予以特别重视， 去体会如何提出和解决问题。第二个层次：置身历史当中，想象自己如同前人那样去研究，学会由无到有地去发现知识。于是，创新能力的培养得以落实，你将来会解决新问题！ 77.1 弯曲正应力 Normal stress
3、in bending beamQM 梁段横截面上内力切应力和正应力的分布函数不知道，2个方程确定不了切应力无穷个未知数、正应力无穷个未知数，实质是超静定问题解决之前，先简化受力状态 理想模型方法横截面上正应力横截面上切应力yz8横力弯曲与纯弯曲横力弯曲 剪力Q不为零 （ Bending by transverse force ）例如AC, DB段纯弯曲 剪力Q0且弯矩为常数 （ Pure bending ）例如CD段9以纯弯曲梁为对象 研究横截面上的正应力分布规律1、静力平衡（不足）2、变形几何（补充）3、本构关系（沟通）研究思路：温故 创新回忆拉压杆、圆轴扭转问题的研究10梁横截面上的静力平
4、衡方程yzMzMydA正应力分布不清楚 正应力无穷个未知数3个方程解不出来静力不足变形补 下面研究 梁变形几何关系11研究对象：等截面直梁研究方法：实验观察假定变形几何关系的建立12实验观察梁表面变形特征以上是外部的情况，内部如何？想象 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁q 横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交q 纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短1314总之 ，由外部去想象内部 得到梁弯曲假设：q横截面保持为平面 变形后，仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度q 纵向各水
5、平面间无挤压 均为单向拉、压状态1516弯曲中 梁的中性层neutral surface 既不伸长又不缩短的纵面截面的中性轴neutral axis 中性层与横截面的交线17yz x直线段 aa 变为曲线弧长为：线应变为纯弯中，纵向线应变沿截面高度线性分布为曲率半径 radius of curvature为曲率 curvature 18纯弯中，纵向线应变为：这是变形几何方程对静力平衡方程的补充可是二者表达的变量并不相同，怎么办？还是拉压、扭转给我们启迪：用 本构关系 沟通 静力平衡 方程 和 变形几何 方程即采用郑玄（ 127-200 ）- 胡克（R. Hooke，1635-1702）定律19
6、本构关系的运用梁截面上正应力1、沿 y 轴线性分布2、与 z 坐标无关3、与 x 坐标呢？（课后思考）zy什么地方最大，什么地方最小？为了从这个梁横截面（cross section）应变分布得到正应力分布规律，启用本构关系20体现了 本构 与 变形 代入 静力方程中 yzMzMydA纯弯曲梁正应力公式的得到21类似扭转切应力公式实验力学验证、弹性力学印证了公式的精确性非常成功！22注意 对弯曲应力线性分布的认识，得之不易伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为：弯曲应力是均匀分布的 （两门新科学的对话1638年出版 ） 因而得不到正确的公式大科学家有时也弄错23正应力计算
7、公式适用范围q横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时弹性力学指出：上述公式近似成立q截面惯性积 Iyz = 0 q推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面24方法总结 （1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）（2）“实验观察假设”法：梁弯曲假设（横、纵面）（3）白箱法（“层层剥笋”法）：外力内力平衡（力学） 本构（物理） 变形（几何）（4）超静定解法微分单元体积分应力合成内力横力弯曲应力（5）数学方法（多学科综合法）257.2 弯曲正应力强度条件Strength criterion of normal stress
8、in bending称为截面抗弯模量，单位：m3, mm326强度条件宽b、高h的矩形直径为d的圆截面脆性材料梁，因其抗拉强度和抗压强度相差甚大故要对最大拉应力点和最大压应力点分别校核强度：轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得27弯曲应力例题例1 简支梁求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知 E = 200 GPa，求11截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m 1112120180zy3028Mx+M1Mmax2 求应力解：1 画 M 图求有关弯矩12120180zy30q=60kN/mAB1m2m 11293
9、 求曲率半径30例2 外伸梁 T形梁截面，用铸铁制成，校核梁的强度。Cy2y1 2mq=10kN/mADBEP20kN 2m2m31解： （1）梁的内力分析，找出危险截面q=10kN/mADBEP20kN 5kN 35kN ADBE10kN*m 20kN*m (-) (+)包含反力的全部外载荷画弯矩图：可省去制表危险截面：B, D？ 32（2）找出危险截面上的危险点危险点：a, b, dCy2y1ADBE10kN*m 20kN*m (-) (+)B截面D截面压应力拉应力abed拉应力压应力33（3）计算危险点应力校核强度最大压应力：最大拉应力：梁的强度符合要求B截面D截面压应力拉应力abed拉
10、应力压应力34习题：7.5; 7.9; 7.11; 7.1635思考题1、弯矩和剪力分别由什么应力组成?2、研究梁的正应力的基本思路是什么？ 3、什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中性轴必通过横截面的形心。4、什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也越小，对吗？为什么 ？366、写出截面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和抗扭截面模量有何关系？7、总结材料力学解决应力问题的一般方法和步骤。8、由直径为D的圆木切割出一矩形梁，求出使梁的强度最大的高宽比。5、叙述纯弯曲梁的正应力公式使用条件和范围可否推广到一般梁？37q正应力公式仍然适用 q假定切应力在横
11、截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出切应力的计算公式 q不再用变形、物理和静力关系进行推导7.3 弯曲切应力及其强度条件 纯弯曲（Mconst., Q=0) 只有正应力，无切应力横力弯曲( M, Q均不为零）一般情况，有正应力和切应力研究方法研究对象q矩形梁截面 q工字形梁截面 q圆形梁截面 q其它形状38矩形梁截面上的切应力假定：q截面上各点切应力方向与Q方向一致q切应力研截面宽度方向均匀分布。弹性力学指出：对于 hb 的矩形截面上述假定足够准确剩下的问题是：沿高度方向切应力如何分布？39矩形梁截面上的切应力 取微梁段dx，左截面mm，右截面nn 应力分布如图 切应力沿截面高度分布未知， 沿截面宽度方向均匀分布mnmnzycaaa1yb 右截面从微梁段上再取下面一段40N1, N2：正应力在左 右两截面上的合力N1caa1mnc1m1N2dxb静力平衡方程：mnmnzycaaa1yb 右截面41计算 N1, N2mnmnzycaaa1yb 右截面42
