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1、 问题1:有一台晚会,若知道晚会的第一个 节目是唱歌,第二个节目是唱歌、第三个节 目也是唱歌,能否断定整台晚会都是唱歌?问题2:有一台晚会,若知道唱歌的节目后面 一定是唱歌,能否断定整台晚会都是唱歌?问题3:有一台晚会,若知道第一个节目是 唱歌,如果一个节目是唱歌则它后面的节目 也是唱歌,能否断定整台晚会都是唱歌?一、设置情景,导学探究:思考2:有若干块骨牌竖直摆放,若将它 们全部推倒,有什么办法?一般地,多 米诺骨牌游戏的原理是什么?(1)推倒第一块骨牌; (2)前一块骨牌倒下时 能碰倒后一块骨牌.多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下?需要哪些条件?(2)任意相邻的两块骨牌,若前一块倒下
2、,则 必须保证下一块要相继倒下。(1)第一块骨牌倒下-递推关系;即第k块倒下,则相邻的第k+1块也倒下-奠基;思考3:某人姓王,其子子孙孙都姓王吗 ?某家族所有男人世代都姓王的条件是 什么? (1)始祖姓王; (2)子随父姓. (第1代姓王)(如果第k代姓T,则第k+1代也姓T)思考4:已知数列an满足:(nN*),那么该数列的各项能确定吗?上述递推关系只说明 什么问题?若确定数列中的每一项,还 需增加什么条件? 由第k项可推出第k1项. 给出第1项;(1)(2)思考5:上述证明方法叫做数学归纳法, 一般地,用数学归纳法证明一个与正整 数n有关的命题,其证明步骤如何?(1)证明当n取第一个值n
3、0(n0N*)时 命题成立;(2)假设当nk(kn0,kN*)时命题 成立,证明当nk1时命题也成立. 思考6:数学归纳法由两个步骤组成,其 中第一步是归纳奠基,第二步是归纳递 推,完成这两个步骤的证明,实质上解 决了什么问题?逐一验证命题对从n0开始的所有正整数 n都成立.证明:1、当n=1时,左=12=1,右=n=1时,等式成立2、假设n=k时,等式成立,即那么,当n=k+1时左=12+22+k2+(k+1)2=右 n=k+1时,原不等式成立由1、2知当nN*时,原不等式都成立例1、用数学归纳法证明:练习:用数学归纳法证明 证明:(1) n=1时,左边=那么,(2) 假设n=k(kN*)时
4、等式成立,即 右边=等式成立。即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2),可知等式对任何nN* 都成立。这就是说当 时等式成立, 所以 时等式成立.思考1:下列推证是否正确,并指出原因.用数学归纳法证明:证明:假设 时,等式成立,就是那么思考2:下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?(1)当n=1时,左边= , 右边= (2)假设n=k(kN*)时命题成立 ,那么n=k+1时,即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. =右边,左边思考3:下列证法对吗? 用数学归纳法证(nN+): 1+2+3+ 2n = n(2n+1 )证
5、明:1)左边=1=2)假设n=k时等式成立,即: 1+2+3+ 2k = k(2k+1).1+2+3+ 2k +2(k+1) = k( 2k+1)+2(k+1)=那么,n = k+1 时,1+2+3+ 2k = k(2k+1).1+2+3+ 2k+(2k+1)+ 2(k+1) = k(2k+1)+(2k+1)+ 2(k+1)=那么,n = k+1 时,证明:1)左边=1+2=3=右边2)假设n=k时等式成立,即:(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. 证明中的几个注意问题:(1)在第一步中的初始
6、值不一定从1取起,证明时应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.例2 已知数列:试猜想其前n项和Sn的表达式,并数学归 纳法证明.小结作业1.数学归纳法的实质是建立一个无穷 递推机制,从而间接地验证了命题对从 n0开始的所有正整数n都成立,它能证明 许多与正整数有关的命题,但与正整数 有关的命题不一定要用数学归纳法证明 ,有些命题用数学归纳法也难以证明.数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是:(1)证明当 取第一个值 (如 或2等)时结论正确 ; (2)
7、假设时 结论正确,证明时结论也正确 递推基础递推依据“找准起点,奠基要稳”“用上假设,递推才真”注 意:1、一定要用到归纳假设; 2、看清从k到k1中间的变化。2.归纳推理能发现结论,数学归纳 法能证明结论,二者强强联合,优势互 补,在解决与正整数有关的问题时,具 有强大的功能作用.但在数学归纳法的实 施过程中,还有许多细节有待进一步明 确和认识.(1)在第一步中的初始值不一定从1取起,证明 时应根据具体情况而定.练习1:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第 一个取值应是多少? 答:对n=1,2,3,逐一尝试,可知初始值为 n=5.证明中需要注意的问题练习2:用数学归纳法证明3nn2.此题在
8、第二步的证明过程中在假设n=k时,3kk2成立 的基础上,当n=k+1时,要说明此式大于零,则必须k2.故在 证证明的第一步中,初始值应取1和2两个值.(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效. 练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么(1).当n=1时,左边= , 右边= (2).假设n=k时命题成立 即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. (3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要
9、分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么 ,并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加 的项.学案P74例题11.已知: ,则 等于( )A: B: C: D: C练习:2.学案P74 A 2.重点:两个步骤、一个结论;注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。有几项? 是什么,它比多出了多少,是首要问题。例3对于nN*用数学归纳法证明:事实上f(k+1)不但比f(k)多一项,而且前k项 中每一项分别比f(k)中多了1,2,3,4kf(k+1)=f(k)+1+2+3+k证明:设f(n)= (1)当n1时,左边1,右
10、边1,等式成立(2)设当nk,时等式成立,即则n=k+1时,f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)=f(k)+1+2+3+k+(k+1)由(1)(2)可知 当nN*时等式都成立 。归纳法:由特殊到一般,是数学发现的重要方法; 数学归纳法的科学性:基础正确;可传递; 数学归纳法证题程序化步骤:两个步骤,一个结论; 数学归纳法优点:克服了完全归纳法的繁杂、不可行的 缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种 科学方法,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、 由有限到无穷 数学归纳法的基本思想:在可靠的基础上利用命题本
11、身具有传递性,运用“有限”的 手段来解决“无限”的问题 数学归纳法的核心:在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二 步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数 学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,实现了有限 到无限的飞跃。课 堂 小 结用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项: 明确首取值n0并验证真假。(必不可少) “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方等,并 用上假设。可明确为:作业:P95练习:1,2.