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1、 第二章 控制系统的数学模型（2）2-3 传递函数模型定义与性质 拉普拉斯变换初始条件为0线性定常系统的微分方程定义在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 换与输入量拉氏变换的比值，称为该系统的 传递函数，用G(s)表示。性质 （1）传递函数的概念只适用于线性定常系 统，它是在零初始条件下定义的。 （2）传递函数是复变量 S 的有理分式函数 ，即： 各系数均为实数。 （3） 传递函数是系统的数学描述。物理性 质不同的系统可以具有相同的传递函数（ 相似系统）。在同一系统中，当取不同的 物理量作输入或输出时，其传递函数也可 以不同。（4）传递函数表示线性定常系统传递 、 变换输入信号的能力，全面反映系
2、统本 身 的性能。它只与系统的结构和参数有关 ， 而与输入作用的形式无关。 （5）传递函数的拉氏反变换是系统的 脉 冲响应。也可表征系统 的动态特性（6）可以将表示成如下形式：特征方程实数或复数例 系统运动的微分方程模型为：其中，y为输出，r为输入，请确定系统的 传递函数。 解：对方程两端取拉氏变换，得：代入零初始条件，得：于是，传递函数为：例 系统运动的微分方程模型为：其中，y为输出，x为中间变量，r为输入，求系统的传递函 数。解：将中间变量消除，得：代入零初始条件并作变换，得： 于是，传递函数为：分别求取从输入到中间变量，从中间变量到输出的传递函数 也可以。传递函数的极点就是微分方程的特征
3、根或系统特征方程的 根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中 也会包含这些自由运动的模态。极点作用:输入为2-3 传递函数模型零极点作用 1、极点产生自由运动模态,为系统固有，其系数的大小与输入函数形式有关，传函极点受输入函数激发输 出响应中形成自由运动模态。2、一般情况下离虚轴最近的极点对应的自由运动模态在系统的响应中占比重最大。零点作用输入信号 ，零初始状态的响应分别为各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于 零点相对于极点的距离。距离越近影响越大。例如：传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重。传递函数也可表示为因式分解的形式：（1）比例环节 （2）积分环节 （3）
4、惯性环节 （4）微分环节 （5）振荡环节 （6）延迟环节 （7）一阶微分 （8）二阶微分2-3 传递函数模型典型环节 （1） 比例环节环节输出量与输入量成正比， 不失真也无时间滞后的环节称为比 例环节，也称无惯性环节。输入量 与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t) 式中K为常数，称为比例环节的 放大系数或增益。 （2） 惯性环节(非周期环节) 惯性环节的动态方程是一个一阶微 分方程 其传递函数为 式中 T 惯性环节的时间常数K 惯性环节的增益或放大系数 惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数式中 （3） 积分环节式中，K=1/T ，T称为积分环节
5、的时间常数 。输出量正比于输入量的积分的环 节称为积分环节，其动态特性方程 其传递函数 左图为运算放大器构成的积分环节， 输入ui(t)，输出u0(t)，传递函数为 式中Ti = RC 积分环节的单位阶跃响应为 它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持 不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。 理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程 其传递函数 Td称微分时间常数（4） 微分环节如图所示，理想微分环节实 际上难以实现，因此我们常 采用带有惯性的微分环节， 其传递函数 理想微分环节曲线如右图所示，实际微分环节的阶跃响 应是按指数规律下降， 若K值很大而Td值很小时 ，
6、实际微分环节就愈接 近于理想微分环节。 其单位阶跃响应为 二阶振荡环节(二阶惯性环节) 二阶振荡环节的动态方程为 其传递函数 式中 为无阻尼自然振荡角频率，为阻尼比，在后面时域分析中将详细讨论。 这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种 储能元件的能量相互交换。图中所示为RLC网络，输入 为ui(t)、输出u0(t)，其动态特 性方程 其传递函数 式中 当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：n当 时，上式特征方程的根为共轭复数因式分解得：在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。 输出量为 ：时滞环节n带钢厚度检测环节 写成一般形式 :零初始条件下，拉氏变换为 传递函数为 时滞环节的输出量时滞环节的传递函数对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级 数，并略去高次项，得：时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节 需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的， 比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设 备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化 ，甚至使系统失去稳定。
