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1、第1章 函数微积分I1.4 初等函数1.4.1 基本初等函数常函数幂函数指数函数对数函数三角函数下面介绍另外一类重要的基本初等函数。反三角函数 (inverse trigonometric function)1. 正弦函数在上x与y之间一一对应。可定义反函数，称为反正弦函数。记作定义域 -1，1, 值域奇函数，单调增加。2. 余弦函数在上x与y之间一一对应。可定义反函数，称为反正弦函数。记作定义域 -1，1,值域单调减少3. 正切函数在上非奇非偶函数x与y之间一一对应。可定义反函数，称为反正切函数。记作定义域 值域单调增加奇函数4. 余切函数在上x与y之间一一对应。 可定义反函数，称为反余切函
2、数。记作反余切函数定义域 值域单调减少非奇非偶函数例1.4.1 作函数的图像 。解： 函数定义域值域-1，1。以 为周期。先作一个周期上的图像，再严拓。在 上的表达式：图像： 1.4.2 双曲函数(hyperbolic function)1. 双曲正弦函数定义域 值域奇函数(用定义验证) 单调增加 2. 双曲余弦函数定义域 值域偶函数(用定义验证) 单调性3. 双曲正切函数定义域 值域奇函数(用定义验证) 单调性类似三角函数，还可以定义双曲余切函数：利用上面三个函数的定义可以验证双曲正割函数：双曲余割函数：此外，可以定义反双曲函数反双曲正弦函数：反双曲余弦函数：反双曲正切函数： 1.4.3 初
3、等函数定义：由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合得到的函数。 本课程今后会涉及一些非初等函数，例如用变上限定积分定义的函数。证明一个函数是非初等函数并不容易。前面介绍过的符号函数，两种取整函数，Riemann函数等都是非初等函数。 一类重要的非初等函数-隐函数(implicit function).例1.4.2 设考虑方程例1.4.2 设考虑方程作曲线两曲线有唯一交点，即方程有唯一解 。当a在 变化时，也随之变化，因此确定了一个函数关系关系f 不能用初等函数表示，是通过方程 确定的。通常记作：1.5 极坐标及参数方程表示的函数1.5.1 极坐标表示函数极坐标下点的坐标用 表示。极坐标与
4、直角坐标(x，y)间的转换：假定极点与直角坐标系的原点重合，并且极轴与x 轴正向重合。极坐标系下的常用曲线的方程：1. 圆圆心在原点 半径为R圆心在极轴过原点 半径为R2. 心脏线曲线关于极轴对称化为直角坐标：直角坐标方程：3. 双纽线3. 双纽线曲线关于极轴和极点均对称只需考虑 再进行延拓化为直角坐标：直角坐标方程：以 为周期定义域4. 三叶玫瑰线只需考虑 再进行延拓以 为周期1.5.2 参数方程表示函数1. 圆2. 线段圆心在半径为r端点3. 椭圆中心在原点4. 双曲线中心在原点5. 星形线曲线关于x轴和y轴都对称直角坐标下的方程：6. 旋轮线图像？注意t是弧度图像？第二讲作业：P24. 习题4. 第1,3(6)(7)题P31. 习题5. 第2(2)(6)题 第3(2)题 第4(4)题P32. 综合题. 第1,2,3,4题 数学，如果正确地看它，则具有至高无上的美正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那种华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。 B.罗素
