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1、第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)一、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线相交、相切、相离,解题的方法是将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,进而转化为一元(一次或二次)方程解的情况去研究.8.5 直线与圆锥曲线的位置关系知识诠释 思维发散第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)ax2+bx+c=0 (1)若a=0,直线与圆锥曲线有一个公共点,但并不相切.此时,圆锥曲线不会是椭圆.当圆锥曲线为双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行.当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行
2、或重合.(2)若a0,设=b2-4ac,0时,直线与圆锥曲线相交于两个点;第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)=0时,直线与圆锥曲线相切;0知,- 0,b0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是 ( )(A)k2-e21. (B)k2-e21. (D)e2-k21,第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)【答案】(1)A (2)A (3)C【点评】(1)直线与抛物线只有一个公共点时包括直线与抛物线的对称轴平行和直线与抛物线相切两种情况,同时要注意直线与抛物线相交可以是一个公共点
3、和两个公共点;(2)解第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)答直线与椭圆的位置关系有两种方法,即判别式与数形结合法;(3)判断直线与双曲线的位置关系可以利用判别式,但要注意对二次项系数的讨论,二次项系数等于0实质是直线与渐近线平行的情况,也可以数形结合,注意渐近线的作用.第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)变式训练1 (1)已知双曲线的方程为x2- =1,若过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,则直线的条数为 ( )(A)4. (B)3. (C)2. (D)1.(2)直线y=kx+2与椭圆 + =1至多一个交点的充要条
4、件是( )(A)k- , .第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)(B)k(-,- ,+).(C)k- , .(D)k(-,- ,+).【解析】(1)如图,点P(1,1)在双曲线两支之间,所以过点P与双曲线相切的切线有两条;过点P与渐近线平行的两条直线与双曲线也只有一个公共点,故共有4条.第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)(2)由 得(3+4k2)x2+16kx+4=0,则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是0,即(16k)2-4(3+4k2)40,得- k,故选A.【答案】(1)A (2)A第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位
5、置关系高考第一轮复习用书数学(理科)例2 (1)过椭圆 + =1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.(2)在抛物线y=x2上存在两个不同的点M、N关于直线y=-kx+对称,求k的取值范围.【分析】(1)由于直线过定点M,可以用点斜式设出直线方程,联立椭圆方程,组成方程组,然后消元得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系及中点坐标公式,求得直线的斜题型2 中点弦及对称问题第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)率,从而得所求的直线方程.本题也可以用点差法来进行求解,即设出弦两个端点的坐标(x1,y1),(x2,y2),将这两点代入
6、椭圆的方程,并对所得两式作差,得到一个弦的中点坐标与弦所在直线的斜率有关的式子,进而求得斜率,再用点斜式得到所求直线的方程.(2)在抛物线y=x2上存在两个不同的点M、N关于直线y=-kx+对称,则直线MN的方程可设为y= x+b,代入抛物线方程中,可知0,又线段MN的中点在直线y=-kx+ 上,由根与系数之第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)间的关系可得线段MN的中点,代入y=-kx+ 可得b与k的关系式,再结合0求解.或根据点差法,建立线段MN中点坐标方程,然后解出中点坐标后,根据中点在抛物线内建立不等式.【解析】(1)(法一)由题意可知,所求直线的斜率一
7、定存在.因此设所求直线的方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1、x2是上述方程第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)的两根,于是x1+x2 = ,又M为AB的中点, = =2,解得k=- .故所求直线的方程为x+2y-4=0.(法二)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)M(2,1)为AB的中点,x1+x2=4,y1+y2=2.又A、B
8、两点在椭圆上,则 +4 =16, +4 =16,两式相减得( - )+4( - )=0,于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, = - = - = - ,即kAB=- .第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)故所求直线的方程为x+2y-4=0.(2)(法一)设M(x1,y1)、N(x2,y2)及其中点P坐标(x0,y0),由题意设直线MN的方程为y= x+b,由 得x2- x-b=0,则由于直线MN与抛物线有两个交点,所以= +4b0,(*)第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)且x0= = ,y0
9、= x0+b= +b,又中点P在直线y=-kx+ 上,所以 +b=- + ,所以b=4- ,将其代入(*)得 +4(4- )0,所以 .所以所求实数k的取值范围是(-,- )( ,+).(法二)设M(x1,y1)、N(x2,y2)及其中点P的坐标(x0,y0),第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,且 所以两式相减得y1-y2=(x1+x2)(x1-x2),即y1-y2=2x0(x1-x2)又点M、N关于直线y=-kx+ 对称,所以MN与该直线垂直,所以 = ,第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数
10、学(理科)所以2x0= .又MN的中点在该直线上,所以y0=-kx0+ .由解得x0= ,y0=4,因为中点必在抛物线开口内,所以y0 ,所以4( )2,解得k .所以所求实数k的取值范围是(-,- )( ,+).第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)【点评】1.比较第(1)题中的(法一)与(法二),不难看出(法二)大大简化了运算.类似(法一)这样的解法称“韦达定理法”,类似(法二)这样的方法称为“点差法”.点差法的步骤是:设点(即设出弦的端点坐标)代入(即代入曲线方程)作差(即两式相减,求出斜率 ,再用点斜式写出直线方程).第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置
11、关系高考第一轮复习用书数学(理科)2.若A,B两点关于对称轴直线对称,则直线AB与对称轴垂直,且线段AB的中点在对称轴上,即对称轴是线段AB的垂直平分线.解对称问题应注意条件的充分利用,如斜率、截距等,同时还应注意各量之间的关系.第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)变式训练2 已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,-2 ),F2(0,2 ),离心率为e= .(1)求椭圆方程;(2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN中点的横坐标为- ,求直线l的倾斜角的取值范围.第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)【解
12、析】(1) 从而b2=1,椭圆方程为x2+ =1.(2)由题意可知,直线的倾斜角不可能为0和 ,设直线方程为y=kx+m(k0).第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)联立方程组得 (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0,=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)0,即k2-m2+90. 设M(x1,y1),N(x2,y2),第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)则x1+x2= .线段MN中点的横坐标为- , =- ,即m= . 把代入解得k23,即k 或k0,得-10,则直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0;当直线与双
13、曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点.所以0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件.第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)(5)联立直线方程与抛物线方程消去x(或y)后,判别式0,则直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交且只有一个交点.所以0是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件.2.直线与圆锥曲线相交的问题(1)直线与圆锥曲线相交问题是解析几何中一类重要问题,注第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)意应用根与系数间的关系、“设而不求”的技巧来
14、解决直线与圆锥曲线的综合问题.(2)运用“点差法”解决弦的中点问题涉及弦的中点问题,可以利用判别式和韦达定理的方法加以解决,也可利用“点差法”的方法解决此类问题.若知道中点,则利用“点差法”的方法可得出过中点弦的直线的斜率.比较两种方法,用“点差法”的方法的计算量较少,此法在解第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)决有关存在性问题时,要结合图形和判别式加以检验.(3) 弦长公式 |AB|= 或 |AB|=(k0)中,k指的是直线AB的斜率.在计算弦长时要特别注意一些特殊情况:直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的情况,一般要首先验证;直线过圆锥曲线的焦点,在出现这些
15、情况时可以直接计算或利用曲线的定义把弦长进行转化.第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程(1)AB是椭圆 + =1(ab0)的一条弦,M(x0,y0)是AB的中点,则kAB=- ,kABkOM=- .点差法求弦的斜率的步骤是:将端点坐标代入方程: + =1, + =1;两等式对应相减: - + - =0;第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系高考第一轮复习用书数学(理科)分解因式整理: kAB= =- = - .(2)运用类比的方法可以推出:已知AB是双曲线 - =1(a0,b0)的弦,弦AB的中点为M(x0,y0),则kAB= ;已知抛物线y2=2px(p0)的弦AB
