《高考总复习数学文科新人教b版课件第4单元 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示2012年》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考总复习数学文科新人教b版课件第4单元 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示2012年（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 1. 两个向量的夹角 (1)定义 已知两个 向量a和b,作OA=a,OB=b,则AOB=叫做 向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角的范围是 ,a与b同向时, 夹角= ;a与b反向时,夹角= .基础梳理非零 0180 0 180 (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直,记作 .90 ab 2. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一 平面内的任意向量a, 一对实数1、2,使a= .其中, 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分
2、解为两个 的向量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x 、y,使a=xi+yj.把有序数 对叫做向量a的坐标,记作a= ,其中 叫a在x轴上的坐标, 叫a在y轴上的坐标. 设OA=xi+yj,则 就是终点A的坐标,即若 OA=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立(O是坐标原点).不共线 有且只有 1e1+2e2 不共线的向量e1,e2 互相垂直 (x,y) (x,y) x y 向量OA的坐标(x,y) (x,y)3. 平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运
3、算 (x2,y2 ) (x1,y1 ) 坐标 a a-b a+b b a 向量 (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (x1,y1)(2)向量坐标的求法 终点 始点 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等 于该向量 的坐标减去 的坐标.x1y2-x2y1=0b(3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线 a= 1. (原创题)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则向量2a+3b - c的坐标为( ) A. (-3,4) B. (3,4) C. (1,5
4、) D. (3,-5)基础达标A 解析：2a3b c2(1,1)3(1,1) (4,2)(2,2) (3,3)(2,1)(232,231)(3,4)2. (教材改编题)如图所示，在ABC中，D为BC的中点， 设AB=a,AC=b,则AD可用a,b表示为 .a+ b 3. 在正三角形ABC中，AB与BC的夹角为 .120 2.解析： 3.解析：在正三角形ABC中，B60， 与的夹角为60，与的夹角为18060 120.4. (2011聊城模拟)已知向量 a=(3,4),b=(sin,cos),且ab，则tan= .5. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 AB=(2,4),AC=(1,
5、3)，则BD=( ) A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4)B 4.解析：由题意得 ，tan 5.解析：由题意得(1,3)2(2,4)(3，5) 经典例题题型一 平面向量基本定理 【例1】(2010株洲模拟)在如图所示的平行四边形ABCD中， AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN= .解： MN=MC+CN= AD- AC= b- (a+b)=- a+ b.变式1-1如图,PQ过ABO的重心G,OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,试求的值.解：G是ABO的重心,OG= OC= (OA+OB)= (a+b),GP=OP-OG=m
6、a- (a+b)=（m- ）a- b,GQ=OQ-OG=nb- (a+b)=- a+（n- ）b,又GPGQ,（m- ）（n- ）= , (m+n)=mn,即 =3.题型二 平面向量的坐标运算 【例2】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试 问: (1)当t为何值时,P在x轴上?P在第二象限? (2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.解：(1)O(0,0),A(1,2),B(4,5), OA=(1,2),AB=(3,3), OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t). 若P在x轴上,则2+3t=0,解得t=- ;若P在第
7、二象限,则解得- t- .(2)OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t), 若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB,而 无解,四边形OABP不能构成平行四边形.变式2-1 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M 、N及MN的坐标. 解： A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),CA=(1,8),CB=(6,3), CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6). 设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24), ,M(0,20).同理可求N(9,2),因此MN=(9,-18). 综上,M(0,2
8、0),N(9,2),MN=(9,-18). 题型三 平面向量共线的坐标表示 【例3】(2011大连模拟)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2)，c=(4,1),回答下列问题： （1）求满足a=mb+nc的实数m,n； （2）当k为何实数时，(a+kc)(2b-a)，它们是 同向还是反向？一世之尊 http:/www.adf.cc/10797/ 枺痋爿解：（1）由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)，所以 解得（2）a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=- .此时a+kc=（- , ）= (-5,2)= (2b-a), 所以它们同向. 易错警示已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为 .错解：由A(1,2),B(3,6)知AB=(2,4), 错解分析：与AB共线有两种情况:一是同向共线, 一是反向共线,“错解”中忽略了反向共线这一情况.正解： 与AB同向时为与AB反向时为-链接高考 （2010陕西）已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2), 若(a+b)c， 则m .知识准备:1. 会进行平面向量的坐标运算； 2. 会利用平行的条件. 解析:a=(2,-1),b=(-1,m), a+b=(1,m-1). 由(a+b)c,得 ,m=-1.
