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1、1第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(立方和公式)2233()()ab aabbab(立方差公式)2233()()ab aabbab由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()abab aabb
2、3322()()abab aabb这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) (2) 38x30.12527b【例 2】分解因式：(1) (2) 34381a bb76aab2二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提mambnanb取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1分
3、组后能提取公因式【例 3】把分解因式2105axaybybx【例 4】把分解因式2222()()ab cdabcd2分组后能直接运用公式【例 5】把分解因式22xyaxay【例 6】把分解因式2222428xxyyz3三、十字相乘法1型的因式分解2()xpq xpq这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和22()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq因此，2()()()xpq xpqxp xq运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式【例 7】把下列
4、各式因式分解：(1) (2) 276xx21336xx【例 8】把下列各式因式分解：(1) (2) 2524xx2215xx【例 9】把下列各式因式分解：(1) (2) 226xxyy222()8()12xxxx42一般二次三项式型的因式分解2axbxc大家知道，2 1122121 22 11 2()()()a xca xca a xa ca c xc c反过来，就得到：2 121 22 11 21122()()()a a xa ca c xc ca xca xc【例 10】把下列各式因式分解：(1) (2) 21252xx22568xxyy四、其它因式分解的方法1配方法【例 11】分解因式2
5、616xx2拆、添项法【例 12】分解因式3234xx5练练 习习A 组1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 327a 38m3278x(4) (5) (6) 3311 864pq3318125x y 33311 21627x yc2把下列各式分解因式：(1) (2) 34xyx33nnxx y(3) (4) 2323()amna b2232(2 )yxxy3把下列各式分解因式：(1) (2) (3)232xx23736xx21126xx6(4) (5) (6) 2627xx2245mmnn2()11()28abab4把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 5431016axaxa
6、x2126nnnaaba b22(2 )9xx(4) (5) (6) 42718xx2673xx2282615xxyy(7) (8) 27()5()2abab22(67 )25xx5把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 233axayxyy328421xxx251526xxxyy7(4) (5) (6) 224202536aabb22414xyxy 432224a ba ba bab(7) (8) 66321xyx2(1)()xxy xyxB 组1把下列各式分解因式：(1) (2) 2222()()ab cdcd ab22484xmxmnn(3) (4) (5) 464x 32113121xxx3223428xxyx yy2已知，求代数式的值2,23abab22222a ba bab83证明：当为大于 2 的整数时，能被 120 整除n5354nnn4已知，求证：0abc32230aa cb cabcb
