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1、要点梳理1.对数的概念（1）对数的定义如果ab=N(a0且a1)，那么数b叫作以a为底N的对数,记作_,其中_叫做对数的底数,_叫做真数. aN2.6 对数与对数函数b=logaN基础知识 自主学习（2）几种常见对数2.对数的性质与运算法则（1）对数的性质 =_;logaaN=_(a0且a1). 对对数形式特点记记法一般对对数底数为为a(a0且a1)_常用对对数底数为为_自然对对数底数为为_eln Nlg NlogaN10NN（2）对数的重要公式换底公式: (a,b均大于零且不等于1)； 推广logablogbclogcd=_.(3)对数的运算法则如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN
2、)=_; =_;logadlogaM+logaNlogaM-logaNlogaMn= _(nR); 3.对数函数的图像与性质nlogaM a101时时,_ 当01时时,_ 当00 y0y1,b0 B.a1,b0 D.01，函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为 则a等于 （ ）A. B.2 C. D.4解析 根据已知条件loga(2a)-logaa= 整理得：loga2= 则 即a=4.D5.函数 的定义域是_.解析 要使 有意义需使 0bc B.acb C.bac D.bca(1)引入中间间量如“1”或“ ”比较较.(2)利用对对数函数的图图像及单调单调 性.解析 a
3、=log21,ab,ac.bc,abc. 思维启迪A探究提高 比较对较对 数式的大小，或证证明等式问题问题 是对对数中常见题见题 型，解决此类问题类问题 的方法很多,当底数相同时时可直接利用对对数函数的单调单调 性比较较;若底数不同，真数相同,可转转化为为同底（利用换换底公式）或利用对对数函数图图像，数形结结合解得；若不同底，不同真数，则则可利用中间间量进进行比较较. 知能迁移2 比较下列各组数的大小.(1) (2)log1.10.7与log1.20.7;(3)已知 比较2b,2a,2c的大小关系.解 （1） log51=0, (2)方法一 0log0.71.1log0.71.2,即由换底公式
4、可得log1.10.7ac,而y=2x是增函数，2b2a2c. 题型三 对数函数的性质【例3】(12分)已知函数f(x)=logax (a0,a1)，如果对于任意x3，+)都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围.当x3，+)时时，必有|f(x)|1成立,可以理解为为函数|f(x)|在区间间3，+)上的最小值值不小于1.解题示范 解 当a1时，对于任意x3，+),都有f(x)0.所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+)上为增函数，对于任意x3，+),有f(x)loga3. 4分思维启迪因此,要使|f(x)|1对于任意x3，+)都成立.只要loga31=logaa即可，13
5、时，y=logau在其定义域内为增函数，而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数，此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求.当01,x21,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以 点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1= =3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1= OD的斜率为k2= 由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上. （2）解 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得 代入x2log8x1=x1log8x2,得 由于x11,知log8x10,故
6、又因x11,解得x1= ,于是点A的坐标为 利用函数图图像和解析几何的思想方法,突出了本题题的直观观性.将对对数的运算融于几何问题问题 ，体现现了数形结结合的思想. 探究提高知能迁移4 已知函数 是奇函数(a0,a1）.(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1,+)上的单调性并加以证明.解 （1）f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x）在其定义域内恒成立，1-m2x2=1-x2恒成立，m=-1或m=1（舍去），m=-1. （2）由（1）得 (a0,a1),任取x1,x2(1,+).设x11,x21,x10,x2-10,x2-x10.t(x1)t(x2),即 当a1时， f(x)在（1,+）
7、上是减函数；当00，且a1)与对数函数y=logax (a0,且a1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.3.明确函数图像的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图像.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图像. 一、选择题1.（2009湖南文，1） 的值为 （ ）A. B. C. D. 解析D定时检测2.（2009广东文,4）若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a1)的反函数，且f(2)=1,则f(x)= （ ）A. B.2x-2 C. D.log2x解析 函数y=ax(a0,且a1)的反函数是f(x)=l
8、ogax,又f(2)=1,即loga2=1，所以a=2,故f(x)=log2x,故选D. D3.(2009辽宁文，6)已知函数f(x)满足：当x4时，当x4,故f(3+log23)=A4.已知02解析 m=logaxy,0logaa2=2. D5.函数y=f(x)的图像如右图所示,则函数y= 的图像大致是( )解析 由y=f(x)的图像可知，y=f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增,根据复合函数的单调性法则可知， 在（0,1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，故选C. 答案 C6.函数y=loga|x+b| (a0,a1,ab=1)的图像只可能 是 （ ）解析 由a0,ab
9、=1可知b0,又y=loga|x+b|的图像关于x=-b对称，由图像可知b1,且04,c=4. 8.计算 log525=_.解析 原式=(-4)1+log552=-4+2=-2. 4-29.已知0n. mn三、解答题10.将下列各数按从大到小的顺序排列:log89,log79, 解 在同一坐标系内作出y=log8x,y=log7x，y=log2x的图像如图所示,当x=9时,由图像知log29log79log891=log88,（log29）2log79log891,即 log79log891. 在R上是减函数,11.若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M.当xM时， 求f(x)=2x+2
10、-34x的最值及相应的x的值.解 y=lg（3-4x+x2）,3-4x+x20,解得x3，M=x|x3，f（x）=2x+2-34x=42x-3(2x)2.令2x=t,x3,t8或08或08时,f(x)(-,-160),当2x=t= 即 综上可知:当 时,f(x)取到最大值为 无最小值. 12.已知函数f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)= 3ax-4x的定 义域为0，1.（1）求a的值； （2）若函数g(x)在区间0，1上是单调递减函数, 求实数 的取值范围. 解 方法一 (1)由已知得3a+2=18 3a=2 a=log32.(2)由(1)得g(x)= 2x-4x,设0x1x21,因为g(x)在区间0，1上是单调减函数，所以g(x1)-g(x2)= 恒成立,即 恒成立.由于 所以，实数 的取值范围是 方法二 （1）由已知得3a+2=18 3a=2 a=log32.(2)由（1）得g(x)= 2x-4x,因为g(x)在区间0，1上是单调减函数，所以有g(x)= ln 22x-ln 44x=ln 2-2(2x)2+ 2x0成立.设2x=u1，2，上式成立等价于-2u2+ u0恒成立.因为u1，2，只需 2u恒成立，所以实数 的取值范围是 返回
