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1、 1、推導並掌握直線的兩點式和截距式方程，理解它們 間的聯繫與轉化； 2、掌握直線方程的一般形式，掌握直線方程幾種形式 之間的互化； 3、體會幾種直線方程形式的應用條件，能夠根據條件 熟練地選擇恰當的方法求直線方程。一條直線在直角坐標平面內的位置，可以由不同的條 件來確定，例如給出兩點可以確定一條直線，給出一點和 直線的方向也可以確定一條直線等。下面，我們來研究怎 樣根據所給的條件，求出直線方程。 1、點斜式這個方程由直線和直線的斜率确定的，叫做直線方程 的點斜式。若直線l經過點 ，且斜率為k，求直線l的方程 。設P(x , y)是直線l上不同於點 的任意一點，根據經過 兩點的直線的斜率公式，
2、得可化為注意以下幾點 ：2、當直線l傾斜角 時，斜率k =0。此時，直線l 的方程為 ，即 ，也就是1、在推導直線方程的點斜式時，得出方程 後，要把它變成方程 。因為前者表示的直 線不包括 點，而後者才是整條直線的方程。是點斜式方程，而 不是點 斜式方程。注 ：注意以下幾點 ：3、當直線l傾斜角 時，直線l沒有斜率，此時 ，它的方程不能用點斜式表示。但由於l上的每一點的橫 坐標都是 ，所以它的方程表示為注 ：因為直線傾斜角 時，斜率不存在，故 方程 或 都不是點斜式。解 這條直線經過點P1(-2,3)，斜率是代入點斜式得: Olxy- 55 P1例1 一條直線經過點P1(-2,3)，傾斜角 ，
3、求這條直線的方程，並畫出圖形。所以所求直線方程為 ：寫出下列直線的點斜式方程：練習(1) 經過點 A(2,5)，斜率是4；(2) 經過點 B(3,-1)，斜率是 ；(3) 經過點 ，傾斜角是 ；(4) 經過點 ，傾斜角是 ；(5) 經過點 ，傾斜角是 。如果直線l的斜率為k，與y軸的交點是P(0,b)，代入直 線的點斜式方程，得我們稱b為直線l在y軸上的截距。這個方程是由直線l 的斜率和它在y軸上的截距確定的，所以叫做直線方程的 斜截式。2、斜截式也就是注意以下幾點 ：2、當 時，方程的斜截式就是一次函數的表示 形式 y = kx + b 。式子中的k和b具有明顯的幾何意義，因 此，我們常用斜
4、截式來研究直線的位置。1、斜截式實際上是點斜式的特殊情況，該已知點恰 是直線與y軸的交點。3、當直線的斜率不存在時，直線方程不能用斜截式 表示。4、直線l與x軸相交，交點的橫坐標稱為直線l在x軸上 的截距，直線l與y軸相交，交點的縱坐標稱為直線l在y軸 上的截距，截距可正、可負、也可為零，這與我們所說的 距離是不相同的，距離是一個非負數 。例2 已知直線l1:3x-y+1=0，直線l2過點(1，0)，且它的傾斜角是l1的傾斜角的2倍，求直線l2的方程。這個方程是由直線上兩點確定的，所以叫做直線方程 的兩點式。3、兩點式已知直線l 經過兩點 ，求 直線l 的方程。因為直線l 經過兩點 並且 ，
5、所以它的斜率 ，代入點斜式，得當 時，方程可以寫成：1、由於x1x2，y1y2，所以兩點式不能表示斜率為零(與x軸平行)或 沒有斜率(與x軸垂直)的直線。2、兩點式中的兩個已知點，對一條具體直線來說，可以用直線上任意兩個不同點代替。4、兩點式變形為 可表示過任意兩點的直線方程。 注意以下幾點 ：3、兩點式還可以從 進行推導。1、過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程(1) 若x1x2，且y1y2時，直線垂直於x軸，方程為 ；(2) 若x1x2，且y1y2時，直線垂直於y軸，方程為；(3) 若x1x20，且y1y2時，直線即為y軸，方程為 ；(4) 若x1x2，且y1y20時，直線即
6、為x軸，方程為 。練習2、求過A、B的兩點式方程，再化成斜截式方程。練習1、A(0，-3)，B(2，1)2、A(0，5)，B(6，0)3、A(-7，8)，B(0，0)已知直線l與x軸的交點為(a,0)，與y軸的交點為(0,b)， 其中a0,b0，求直線l的方程。這個方程是由直線在x軸和y軸上的截距確定的，所以 叫做直線方程的截距式。4、截距式因為直線經過(a,0)和(0,b)兩點，將這兩點的坐標代入 兩點式，得化簡，得注意以下幾點 ：2、當直線l過原點或垂直於坐標軸時，它的方程不能 用截距式來表示，截距式對於畫直線至為方便。1、截距式實際上是兩點式的特殊情況，該兩已知點 恰好是直線分別在x軸與
7、y軸的交點。3、截距式的主要特征 ：(1) 常數項在右邊，並且等於1 ； (2) 截距式的左邊是兩項的和，其中一項是以橫坐標x為分子橫截距a為分母的分數，另一項是以縱坐標y為分子，縱截距b為分母的分數。例3 三角形的頂點是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)，求這個三角形三邊所在直線的方程。2Oxy- 5- 33BAC例4 直線l在x軸，y軸上的截距之比是2:3且過點P(4,9)，求這條直線方程。練習1、判斷下列直線的方程是不是截距式？如果不是，應如何改正？2、菱形的對角線長分別為8和6，並且分別位於x軸和y軸上，求菱形的各邊所在直線方程。3、求過定點P(-4,6)且橫截距比縱截距大1
8、的直線方程。5、一般式前面我們學了直線的點斜式、斜截式、兩點式和截距 式方程，可以發現這些方程都是關於 x , y 的二元一次方程 ，於是，提出這樣的問題：直線的方程是否都是二元一次 方程？而二元一次方程又是否都表示一條直線？ 因為在直角坐標系中，每一條直線都有傾斜角 ，(2) 當 時，直線斜率不存在，方程可寫成 ，與二元一次方程 比較有 (顯然AB不同時為0)。(1) 當 時，直線斜率存在，方程可寫成 ，它可變形為 ，與二元一次方程一般形式比較，有 ；所以，在平面直角坐標系中，對於任何一條直線有一 個表示這條直線的關於 x , y 的二元一次方程。反過來，任何關於 x , y 的二元一次方程
9、都能表示一條 直線嗎？ 二元一次方程的一般形式 其中AB不同時為零。(1) 當B0時，方程可化為 ，它表示斜率為 在y軸上截距為 的直線(斜截式方程)。(2) 當B=0時，由於AB不同時為0，必有A0，方程可化為 它表示一條與x軸垂直的直線。(3)當A=0或A0時，同理可推出方程表示直線。所以在平面直角坐標系中，任何關於x、y的二元一次 方程都表示一條直線。綜上可知，在平面直角坐標系中，直線與x、y的二元 一次方程是一一對應的。由此匯出概念，我們把方程(其中A、B不同時為零)叫做直線方程的一般式 。直線方程的五種形式名稱方程適用範圍點斜式不含垂直於x軸的直線斜截式不含垂直於x軸的直線兩點式不含
10、直線xx1(x1x2)和直 線yy1(y1y2)截距式不含垂直於坐標軸和過原點 的直線一般式平面直角坐標系內的直線都 適用yy1k(xx1) yk xb AxByC0(A2B20) 例4 已知直線經點A(6,-4)，斜率為 ，求直線的點斜式 、一般式和截距式方程。例5 已知直線 mxny120 在 x 軸、y 軸上的截距分別是3 和 4，求 m、n 的值。例6 若直線l在x軸上的截距-4時，傾斜角的余弦值是 ，求直線l的點斜式、斜截式、一般式和截距式方程。1、過點 A(2,3)和點 B(2，3)的直線的一般式方程是 ( )Ax2 Cy2Bx20 Dy20練習Bxky0 Dkx+y0Ay=kx
11、Ckx y02、 斜率為k且過原點的直線的一般式方程是 ( )練習3、已知直線 l 經過點 A(5,6)和點 B(4,8)，求直線的一般式方程、斜截式方程及截距式方程，並畫圖。例1 求過(1,2)並且在兩個坐標軸上的截距相等的直線的方程。綜合舉例變式：過(1,2)並且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有多少條? 例2 一條直線經過點(0，3)並且與兩坐標軸圍成三角形面積是6，求這條直線的方程。x Oy3例3 直線l的方程為：根據下列條件確定m的值：(1) l在x軸上的截距是-3； (2) 斜率是-1。1、若直線 的傾斜角為 ，則m的值是 ( )A、3 B、 2 C、-2 D、2或3練習2、
12、若直線(m+2)x+(2-m)y=2m在x軸上的截距為3，則m的值是 _練習例4 已知直線l過定點P(3,2)且與x軸、y軸的正半軸分別交於A、B兩點。求AOB面積的最小值及此時l的方程 。例5 已知一條光線從點A(2，-1)發出，經x軸反射後，通過點B(-2,-4)，試求點P坐標和入射光線和反射光線方程 。變式一：已知兩點A(2，-1)、B(-2,-4)，試在x軸上求一點P ，使|PA|+|PB|最小；變式二：試在x軸上求一點P，使|PB|-|PA|最大 。1、將直線 繞著它上面一點 ，逆時針 方向旋轉 ，求旋轉後所得的直線方程。綜合練習2、過點 引三條直線 ，它們的傾斜角之比為1:2:4。若直線 的方程為3x-4y=0，求直線 的方程 。3、一條光線從點 射入，與x軸的正方向成 角，遇到x軸後反射，已知 ，求入射光線和反射光線的方程。4、求證：直線 和兩坐標軸圍成的圖形面積是一個定值。5、直线 l 的方程为 AxByC0，若 l 过原点和二、四象限，則 ( )
