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1、数学与计算科学学院 徐 鑫3 连续型随机变量及其分布一、概率密度的概念定义定义1 1 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使对任意实数任意实数x均有则称X为连续型随机变量连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率概率密度密度(函数).概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机变量的统计规律性.数学与计算科学学院 徐 鑫由定义知,概率密度 f(x)具有以下性质:求概率由概率密度求分布函数由分布函数求概率密度 确定待定参数二、概率密度的性质数学与计算科学学院 徐 鑫性质（1）的几何意义是分布密度曲线总是位于x轴上方； 性质（2）的几何意义是分布密度曲线与x轴之间的 面积为
2、1； 性质（3）的几何意义是X取值于任一区间的概率等于以区间为底，以分布密度曲线为顶的曲边梯形的面积； 性质（4）中X的分布函数F(X)的几何意义是分布密度函数 以下，x轴上方，从 到x的一块面积； 数学与计算科学学院 徐 鑫概率密度的几何意义数学与计算科学学院 徐 鑫注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即证明由此可得连续型随机变量的概率与区间的开闭无关数学与计算科学学院 徐 鑫设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能事件,则有若 X 为离散型随机变量, 注意连 续 型离 散 型数学与计算科学学院 徐 鑫题型1.分布函数和概率密度的判定或确定待定参数 题型2.分布函
3、数与概率密度的求法 I.求分布函数(1).已知密度函数,用积分求分布函数;(2).未知密度函数,用定义求分布函数. II.求概率密度一般,已知连续型随机变量X的分布函数F(x),则 其概率密度为 数学与计算科学学院 徐 鑫解例1数学与计算科学学院 徐 鑫数学与计算科学学院 徐 鑫数学与计算科学学院 徐 鑫数学与计算科学学院 徐 鑫例2 设有连续型随机变量X的分布函数为(1).确定常数A,B的值;(2).求密度函数f(x);(3).计算PX0.1.解：(1).由分布函数性质得:则 A=1, B=-1.数学与计算科学学院 徐 鑫(2).因为所以求导得: (3).PX0.1=1-PX0.1=1-F(
4、0.1)=1-(1-e-0.1)= e-0.1; 或PX0.1=数学与计算科学学院 徐 鑫设随机变量X的概率密度为求X的分布函数。【解】概率密度f(x)在(-,+)上为分段函数, 其分段区间为(-,-1,(-1,1,(1,+);而分布函数 为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x).练习 数学与计算科学学院 徐 鑫例9-续1数学与计算科学学院 徐 鑫上例中用到积分公式：大家应复习有关积分的方法与公式。大家应复习有关积分的方法与公式。请看P.40-41:例9；例10.数学与计算科学学院 徐 鑫1 1、均匀分布、均匀分布三、几种重要的连续型随机变量定义定义2 2 设连续型随机变量设连续型随机
5、变量X X具有概率密度具有概率密度则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布均匀分布,记为数学与计算科学学院 徐 鑫均匀分布的分布函数数学与计算科学学院 徐 鑫均匀分布的概率密度的图形均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等 长度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长 度成正比，而与子区间的起点无关。均匀分布的分布函数的图形数学与计算科学学院 徐 鑫例3 设公交车站从上午7时起，每15分钟来一班车.某乘客在7时到7时半之间随机到达该站，试求他的候车时间不超过5分钟的概率.解：该乘客于7时过X分到达该车站.依题意候车时间不超过5分钟，即或故所求概率为：数学与计算科学学院 徐 鑫练
6、习设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程有实根的概率.【解】因为r.v.KU(0,5),所以K的概率密度为:又方程有实根,当且仅当判别式数学与计算科学学院 徐 鑫即 或 ,故事件“方程有实根”的概率 为数学与计算科学学院 徐 鑫定义定义3 3 设连续型随机变量X的概率密度为其中0为常数,则称随机变量X服从参数为的指数分布.分布函数为2、指数分布数学与计算科学学院 徐 鑫可得： （1） （2） （3）对于任意的 ，事实上 数学与计算科学学院 徐 鑫可做如下解释：若令X（小时）表示某一电子元 件的寿命.上式意味着：一个已经用了s小时为损 坏的电子元件，能够再用t小时以上的概率，与 一个新的电子元件
7、能够使用t小时以上的概率相 同。这看起来有点不可思议，实际上，它表明该 电子元件的损坏，纯粹是由随机因素造成的，元 件的衰老作用并不显著.形象地说,指数分布是“永 远年轻”的,把过去的经历(已经活了s年)全忘记了 .这个性质称为指数分布的“无记忆性”, 应用与背景某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无 线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命 等都服从指数分布. 数学与计算科学学院 徐 鑫设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(分钟) 服从指数分布,其概率密度为某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一 个月要到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而 离开窗口的次数,写出Y
8、的分布律,并求PY1.解：这是一道综合题综合题:指数分布+二项分布.先求“他未等到服务而离开”的概 率:例4=1/5数学与计算科学学院 徐 鑫因为r.v.YB(5,e-2),所以Y的分布律为:于是,“一个月内至少有一次未等到服务而离开 ”的概率为:数学与计算科学学院 徐 鑫例5 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率. X 的分布函数为解数学与计算科学学院 徐 鑫数学与计算科学学院 徐 鑫指数分布的重要性
9、质 :“无记忆性”.数学与计算科学学院 徐 鑫3、正态分布定义定义4 4 设连续型随机变量X的概率密度为其中,(0)均为常数,则称随机变量X服从参数为,的正态分布正态分布,记为分布函数分布函数为此积分是积此积分是积 不出来的不出来的! !数学与计算科学学院 徐 鑫正态概率密度函数的几何特征数学与计算科学学院 徐 鑫数学与计算科学学院 徐 鑫数学与计算科学学院 徐 鑫正态分布的分布函数数学与计算科学学院 徐 鑫正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景 数学与计算科学
10、学院 徐 鑫正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数方法一:利用MATLAB软件包计算方法二:转化为标准正态分布查表计算数学与计算科学学院 徐 鑫标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为定义定义4 4数学与计算科学学院 徐 鑫标准正态分布的图形数学与计算科学学院 徐 鑫解例6 数学与计算科学学院 徐 鑫证明定理定理 设r.v. ,则r.v.标准 化数学与计算科学学院 徐 鑫由上述定理可得:因此,关于正态分布的计算只需利用标准正态分布 即可,而标准正态分布函数值可查附表2:标准正态分布 表P.202求得.数学与计算科学学院 徐 鑫解性质1数学与计算科学学院 徐 鑫数学与计算科学学院 徐 鑫性质 2 证明数学与计算科学学院 徐 鑫标准正态分布计算中的几个常用的公式 数学与计算科学学院 徐 鑫利用标准正态分布函数可以计算概率积分：即：数学与计算科学学院 徐 鑫例7 设随机变量XN(3,4),(1) 求P22,PX3;(2) 确定c,使PXc=PXc.解(1)=2数学与计算科学学院 徐 鑫(2) 因为所以即数学与计算科学学院 徐 鑫例8 正态分布的“3-原则 ”不难计算得:
