李亚普诺夫稳定性分析

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1、第4章 李亚普诺夫稳定性分析 4.1 引言 4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念 4.3 李亚普诺夫稳定性定理 4.4 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 4.5 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 4.6 非线线性系统统李亚亚普诺诺夫稳稳定性分析 4.7 李亚亚普诺诺夫直接法应应用举举例4.1 引言 稳定性和能控性、能观测性一样,均是系统的结 构性质。稳定性是自动控制系统能否正常工作的先 决条件,因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性 是系统分析和综合的首要问题。一个动态系统的稳 定性,通常指系统的平衡状态是否稳定。简单地说, 稳 定性是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到 原平衡状态的性能,

2、其是系统的一个自身动态属性。 1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文 “运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否 的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义,提 出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚普诺夫稳定 性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单 变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定 性分析皆适用的通用方法,是现代稳定性理论的重要 基础和现代控制理论的重要组成部分。 基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性, 因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳定 性; 状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性,且全 面揭示了系统的内部特性,因此, 借助平衡状态稳定与

3、 否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳定性。 李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种 方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是 通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断 系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理 论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可 判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法 处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方 程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范 围的稳定性。 李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法） 的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统 的稳定性进行分析

4、判断。该方法建立在能量观点的基 础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着 系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不断衰减, 直至 时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小 值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的 “广义能量” 函数，根据这个标量函数的性质来判断 系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程 就能直接判断其稳定性，故又称为直接法,其最大优 点在于对任何复杂系统都适用,而对于运动方程求解 困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性 分析,则更能显示出优越性。 4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念 4.2.1 4.2.1 平衡状态平衡状态 稳定性是系统在平衡状态下受到扰

5、动后，系统自 由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动 ，令输入u=0，系统的齐次状态方程为 （4-1） 式中, x为n维状态向量，且显含时间变量t； 为线性或非线性，定常或时变的n维向 量函数，其展开式为 (4-2) 式(4-1)的解为 (4-3) 式中, 为初始时刻, 为状态向量的初始值 式(4-3)描述了系统式（4-1）在n维状态空间的状态轨线。若在式（4-1）所描述的系统中，存在状态点 ，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，即 ，该类状态 点 即为系统的平衡状态,即 若系统式（4-1）存在状态向量 ,对所有时间t,都使 (4-4) 成立,则称 为系统的平

6、衡状态。由平衡状态在状态 空间中所确定的点，称为平衡点。 式(4-4)为确定式（4-1）所描述系统平衡状态的 方程。 【例4-1】设系统的状态方程为,求其平衡状态。解 其平衡状态应满足平衡方程式(4-4)，即 , 即, 解之,得系统存在3个孤立的平衡状态 4.2.2 范数 n维状态空间中，向量x的长度(即x到坐标原点的 距离)称为向量x的范数，并用 表示，即 (4-6) 而向量 的长度(即x到 的距离)称为 的范数,并用 表示，即 (4-7) 在n维状态空间中,若用点集 表示以 为 中心、 为半径的超球域,那么, ,则表示 (4-8) 4.2.3 4.2.3 李亚普诺夫稳定性定义李亚普诺夫稳定

7、性定义 1李亚普诺夫意义下稳定 设 为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意 实数 ,都对应存在另一实数 ,使当 (4-11) 时, 系统式（4-1）从任意初始状态 出发的解 都满足 (4-12) 则称平衡状态 为李亚普诺夫意义下稳定,其中, 与 和 有关;若 与 无关,则称这种平衡状态 是 一致稳定的。对定常系统而言,与 无关,稳定的平衡状态 一定为一致稳定。 在二维状态空间中, 李亚普诺夫意义下稳定的 几何解释如图4-1所示。 图4-1李亚普诺夫意义下稳定 2渐近稳定设 为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意 实数 ,对应存在另一实数 ，使当时，从任意初始状态 出发 的解都满足

8、且对于任意小量 总有 (4-13) 则称平衡状态 是渐近稳定的。若 与 无关,则称 这种平衡状态 是一致渐近稳定的。 渐近稳定的几何意义可理解为,如果平衡状态 为李亚普诺夫意义稳定，且从球域 内发出的状态 轨迹（即式(4-1)的解），当 时，不仅不超出 球域 之外，而且最终收敛于 ，则平衡状态 为渐近稳定。在二维状态空间中, 渐近稳定的几何解 释如图4-2所示。 图4-2 渐近稳定 3大范围渐近稳定性 若初始条件扩展至整个状态空间,即,且平衡状态 均具有渐近稳定性时 ,则称此平衡状态 是大范围内渐近稳定的。 4不稳定性 设 为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对某个实 数 和另一实数 ，当

9、时，总存 在一个初始状态 ,使 (4-14) 则称平衡状态 是不稳定的。 不稳定的几何意义可理解为，对于某个给定 的球域 ，无论球域 取得多么小，内部总 存在一个初始状态 ，使得从这一状态出 发的轨迹最终会超出球域 。在二维状态空间 中, 不稳定的几何解释如图4-3所示。 图4-3 不稳定 43 李亚普诺夫稳定性定理 4.3.1 4.3.1 二次型函数及其定号性二次型函数及其定号性 1. 二次型函数及二次型的矩阵表达 二次型函数是一类特殊的标量函数，其可表 示为 （4-15 ） 式中，P为二次型各项的系数构成的 实对称矩 阵，称为二次型式（4-15）的权矩阵，即 (4-16) 式中, 为实数,

10、且 。 式（4-15）表明，二次型函数 和其权矩阵P 一一对应，可将二次型函数的定号性扩展到其对应权 矩阵的定号性。 若二次型函数的权矩阵P为n阶实对角矩阵，则对应 的二次型只含平方项，称为二次型的标准型，即 （4-17） 2标量函数 的符号和性质 设V(x)为由n维状态向量x所定义的标量函数，且在 处，恒有V(x)=0。对所有在域 中的任何非零向量x，如果 (1) V(x)0，则称V(x)为正定的。 (2) ，则称V(x)为半正定的。 （3） ，即 为正定的,则称V(x)为负定的 。 （4） ，即 为半正定的,则称V(x)为半负定的 。 （5） 既可为正值也可为负值,则称 为不定的 。 在式

11、（4-15）中，若V(x)正定,则称权矩阵P是正 定的,且记为 。以此类推,可定义二次型权矩 阵P的负定、半正定、半负定,并分别记为 、 。 二次型函数 的定号性与其对应的权 矩阵P的定号性一致,判别 的符号只要判别 实对称矩阵P的符号即可。 3塞尔维斯特(Sylvester)准则 (1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各 阶主子行列式均大于零,即在式(4-16)中,有 ; (4-18) (2)实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶 主子行列式满足 (4-19) 即 (3) 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1 阶主子行列式非负,且矩阵P的行列式为零,即 (4-20) (

12、4) 实对称矩阵P为半负定的充要条件是矩阵P的 行列式为零(即detP=0),且矩阵P的前n-1阶主子行列 式满足 (4-21) 【例4-2】已知 试判定V(x)是否正定。 ,解 二次型V(x)可写成矩阵形式,即 则权矩阵P的各阶主子行列式为 可见,权矩阵P的各阶主子行列式均大于零,由Sylvester 准则，可确定二次型V(x)正定。4.3.2 李亚普诺夫第二法 定理4-1 (李亚普诺夫稳定性的基本定理) 设系统的状态 方程为 （4-22） 且其平衡状态为 ,即有 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t) ，且V(x,t)及其对时间的导数 满足以下条件： 1） 是正定的； 2）

13、是负定的。 则系统的平衡状态 是一致渐近稳定的。并称是系统的一个李亚普诺夫函数。 进一步,若 还满足 3) 则系统的平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。 定理4-1是一个最基本的稳定性判别定理,对所有系 统皆适用。但该定理只给出了判断系统平衡状态渐近 稳定的充分条件,而非充要条件。 【例4-3】已知非线性系统状态方程为 试分析其平衡状态的稳定性。 解 由系统平衡状态的方程 解出唯一平衡状态 。选取标准二次型为李亚普诺夫函数，即,该函数是正定的。 沿任意状态轨迹 对时间的导数为 将系统状态方程代入上式,得 显然,有 ;且当 时, ,故 负定。 因此,所选 是满足定理4-1条件的 一个李亚普诺夫函数

14、。而且当 时， ， 根据定理4-1，系统在平衡点 处为大范围渐近 稳定。 定理4-2 (渐近稳定判定定理2) 设系统的状态方程为 （4-23） 且其平衡状态为 ,即有 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，且 及其对时间的导数 满足以下条件 ： 2） 是半负定的； 1） 是正定的；3）但 在方程(4-23)的非零解状态运动轨线上 不恒等于零。 则系统在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。 进一步,若还有 时， ,则系统的 平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。 定理4-3 (判断稳定和不稳定的定理) 设系统的状态方 程为 其平衡状态为 ,即有 且存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 。 若 及其对时间的导数 满足 1) 是正定的; 2) 是半负定的 则系统原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是一致 稳定的。 若 及其对时间的导数 满足 1) 是正定的; 2) 也是正定的。 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 【例4-4】设系统的状态方程为 试确定平衡状态的稳定性