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1、第八章 弯曲变形第六章 弯曲变形8.1 工程中的弯曲变形问题2 利用变形1 限制变形ABCP8.2 挠曲线近似微分方程1 梁的弯曲变形(1) 挠度挠曲线:挠度: 挠度方程: y = y(x)(2)转角转角:转角方程: = (x) ABd(x)xy(x)Pdxy2 挠曲线近似微分方程3 大致描绘梁的挠曲线纯弯曲推广到横力弯曲高等数学正负号由梁的凹凸判定实用于任何弯曲形式小变形下M0M0yxy=0M=0AB2 aaD(-)(+)8.3 积分法1 转角普遍方程和挠度普遍方程EIy“= M(x) EIy= M(x)dx+C 转角普遍方程 EIy= M(x)dxdx+Cx+D 挠度普遍方程2 边界条件:
2、支承条件和光滑连续条件支承条件:固定端: y=0 =0铰支座: y=0弹性支承: y = y =l光滑连续条件:分段处挠度,转角相等 .y 1右 = y 2左 1右 = 2左 y1右 = y2左 1右 =2左 123l已知: q l 求:yA和A2 普遍方程qlABx5 求A 和yA 4 挠度方程好转角方程 3 确定积分常数y =0 解:1 弯矩方程x =l y=0已知:P l ab 求:挠度方程和转角方程 解:1 支反力 2 弯矩方程3 挠度方程和转角方程4 确定积分常数x1=0 y1=0 (1) x2=l y2=0 (2) x1=a y1= y2 (3) y1= y2 (4) AC(0xa
3、)CB(axl)CB(axL) AC(0xa)lx2x1ab ABC RARBxy8.4 叠加法 一 叠加条件1 材料服从胡克定律,小变形,转角和挠度与载荷成齐次线性关系.2 每一载荷对变形是各自独立的. 二 叠加原理载荷单独作用 载荷共同作用qyq qPyP Pmym m叠加qPm8.5刚度条件qq已知: q l EI 求: max ymax解:qyA1A1qyBBqCBA yAA已知: P1 = 2kN,P2 = 1kN,l = 400mm,a = 200mm,E = 210GPa,D = 80mm d =40mm, C 处y =0.0001l. B处=0.001rad.求: 校核其刚度.
4、解:用逐段刚化法计算挠度和转角首先刚化AB,BC可视为悬臂梁:然后刚化BC,AB可视为简支梁:B 截面的总转角C 截面的挠度ABCaP1P2P1BB CP2M = P1aP1A8.6 简单静不定梁用变形比较法解静不定梁: 1 确定静不定次数2 解除多余约束,选取静定基.多余约束:超过维持结构静力平衡所需的约束.多余反力:多余约束引起的反力.静定基:解除多余反力和载荷的静定基本系统.3 建立相当系统.在静定基加上多余反力和载荷,并保持几何不变性.4 找变形协调条件,建立补充方程.5 联列求解静力学平衡方程和补充方程,求得全部未知量.laPMABCRARBHAABRBPABMAPABRBAB MA
5、ABRBAB MA1 确定静不定次数laPMABCRARBHAyxx=0 HA = 0 (1) y=0 P +RA-RB = 0 (2) mA=0 Pa-RBl-MA= 0 (3)2 解除多余约束,选取静定基. 3 建立相当系统 . 4 找变形协调条件,建立补充方程.5 联列求解静力学平衡方程和补充方程 .HA =0同理MA为多余约束 A= 0 得相同结果ABMAP A= 0(4)ABRBP已知: P l求: RC=?P Cl/2Bl/2AycRCCBAPRCyc且其中解: 为一次静不定变形协调条件:8.7 用莫尔定理计算梁的弯曲变 形一物体在大小与方向不变的力P作下， 沿光滑地面移动距离，P
6、力作的功可 表为W=P （a）一、虚功原理1 、实功圆盘在大小与转向都不变的力偶M=2Pr 作用下，转动的角位移为，力偶M作 的功为W=M （b）上述两种情况，都是力或力偶矩在自身引 起的线位移或角位移上所作的功，称为实 功。当作功的力或力偶与相应于力或力偶方向上 的位移彼此独立无关时，这种功便称之为虚功。2、虚功悬臂杆，P在境温度变化引起的变形l上作的功为: W=Pl （c）这个功就是虚功。对于弹性变形体，外力所作的虚功Wext与内力所作 的虚功Wint是相等的，即有 Wext=Wint (8.8) 这一原理称之为虚功原理.3 、虚功原理简支梁在一组外力作用下，梁要产生弯曲变 形，此状态称为
7、位移状态.力状态中的外力沿着位移状态中相应的位移上所 作的虚功，称为外虚功，用Wext表示；力状态中梁的内力沿着位移状态中相应的梁的变形 上所作的虚功，称为内虚功，用Wint表示。ABAB同 一 简 支 梁 ， c 处 作 用 一 个 单 位 集 中 力 = 1 ， 这 一 状 态 称 为 力 状 态ABPll二、莫尔定理外力的虚功全梁的内虚功利用梁的挠曲线近似微分方程为计算梁的弯曲变形的莫尔积分公式， 亦称为莫尔定理。计算出的值为正，的方向与单位力的 方向相同，反之则的方向相反.ABAB例题: 均布载荷作用下的悬臂梁，其EI为常数。试 用莫尔定理计算梁端点A的挠度yA。解：为了计算悬臂梁A点的挠度，需要在A点作用一铅垂向下的单位集中力。计算悬臂梁的弯矩 和 . 利用莫尔定理计算结果为正值，表明A端挠度与所加单位力的方向相同，即向下。三、图形互乘法例题: 均布载荷作用下的简支梁图示，其EI为常量。试求梁中点的 挠度。简支梁在均布截荷 作用下的 弯矩图为二次抛物线解：单位力作用下的图为两段直线可求得中点C的挠度qCABRARBCB1 A已知: q，a,EI.求: C解：1 作外伸梁在载荷q作用下的弯矩图.2 作外伸梁在单位载荷作用下的弯矩图. 在截面C上作用一单位力偶3 求CABC1qABC
