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1、四川大学半期考试试卷(2014-2015 年第二学期)科目: 概率统计 (理工)课程号:201018030考试时间:90 分钟注: 请将答案写在答题纸规定的方框内, 否则即为 0 分.1.(16 分) 测谎仪是用来检测一个人是否说谎的仪器, 常常用于安全部门的筛查、侦破、诉讼等领域. 经验表明: 一个真正在说谎的人被检测为在说谎的概率为 0.88, 而一个本来没有说谎的人被检测为在说谎的概率为 0.14. 已知某批参与检测的人群有 1% 的人真正在说谎, 试求:(1) 一个参与检测的人被检测为在说谎的概率为;(2) 当已知一个人被检测为在说谎时, 而他本身却没有说谎的概率.2.(17 分) 设
2、 8 件产品中有 2 件次品,6 件正品, 随机地从中抽取产品, 每次抽取一件, 直到取得正品为止.(1) 若无放回地抽取, 抽取次数记为 X, 求 X 的概率分布与分布函数;(2) 若有放回地抽取, 抽取次数记为 Y, 求 Y 的概率分布.3.(16 分) 设随机变量 X 有密度函数 fX(x) = 3e3x,x 00,x 0.令 Y = 1 e3X, 求 Y 的分布函数 FY(y) 与概率密度函数 fY(y).4.(12 分) 设随机变量 X 有密度函数 f(x) =x 16ex4,x 00,x 0.用 Y 表示对 X 的三次独立重复观测中事件 X 8 出现的次数, 求P(Y 3).5.(
3、15 分) 设二元随机变量 (X,Y ) 有联合分布律HH HH HHHXY01200.250.100.3010.150.150.05(1) 求 X,Y 的边缘分布律;(2) 求 X,Y 的协方差 Cov(X,Y );(3) 记 Z = |X Y |, 求 Z 的数学期望 E(Z).6.(24 分) 设二维随机变量 (X,Y ) 有联合密度函数f(x,y) = Axy,0 00,x 0因为 X e(3),Y = 1 e3X, 所以取 y (0,1), 那么FY(y) = P(1 e3X y)= P(X 13ln(1 y)= y. fY(y) = 1,y (0,1)0,其它4. 由题可知 X 服
4、从参数为 (2,1 4) 的 分布, 于是P(X 8) = 1 F(8)=+8x 16ex4dx= 3e2.Y 可能的取值为 0,1,2,3. 所以P(Y 3) =(33) (3e2)3= 27e6.2四川大学半期考试：概率统计（理工）答案5. (1)P(X = 0) = P(X = 0,Y = 1) + P(X = 0,Y = 1) + P(X = 0,Y = 2)= 0.25 + 0.10 + 0.30 = 0.65P(X = 1) = P(X = 1,Y = 0) + P(X = 1,Y = 1) + P(X = 1,Y = 2)= 0.15 + 0.15 + 0.05 = 0.35.P
5、(Y = 0) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 1,Y = 0)= 0.25 + 0.15 = 0.4P(Y = 1) = P(X = 0,Y = 1) + P(X = 1,Y = 1)= 0.10 + 0.15 = 0.25P(Y = 2) = P(X = 0,Y = 2) + P(X = 1,Y = 2)= 0.30 + 0.05 = 0.35.所以 X,Y 的分布律为X ( 010.650.35)Y ( 0120.40.250.35)(2) 由 (1) 可知E(X) = 0.35E(Y ) = 0.95由 (X,Y ) 的联合分布律可求得E(XY ) = 1 0.15
6、+ 2 0.05= 0.25.所以Cov(X,Y ) = E(XY ) E(X)E(Y )= 0.25 0.35 0.95= 0.0825.3四川大学半期考试：概率统计（理工）答案(3) Z = |X Y | 的可能取值为 0,1,2. 可求得P(Z = 0) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 1,Y = 1)= 0.25 + 0.15 = 0.4P(Z = 1) = P(X = 0,Y = 1) + P(X = 1,Y = 0) + P(X = 1,Y = 2)= 0.10 + 0.15 + 0.05 = 0.30P(Z = 2) = P(X = 0,Y = 2)= 0.30
7、.所以 Z 的分布律为Z ( 0120.400.300.30)求得E(Z) = 0 0.40 + 1 0.30 + 2 0.30 = 0.90.6.(1) 根据密度函数的规一性有 Gf(x,y)dxdy = 110x0Axydydx = 1 A = 8.4四川大学半期考试：概率统计（理工）答案(2) 如图可知fX(x) =x08xydy= 4x3. fX(x) = 4x3,0 x 1,0,其它.fY(y) =1y8xydx= 4y 4y3. fY(y) = 4y 4y3,0 y 1,0,其它(3) 从 (2) 可知fY |X(y|x) =f(x,y) fX(x) fY |X(y|x) =2y x2,0 y x 1,0,其它(4)P(Y 1 4|X =1 3) =1 40fY |X=1 3(y|1 3)dy =1 402y (13)2dy=9 16.(5) 如图5四川大学半期考试：概率统计（理工）答案由图可知 Z (1,0), 取 z (1,0), 则FZ(z) = P(Y X z)=1zx+z08xydydx= 13(z + 1)3(z 3). fZ(z) = 43(z + 1)2(z 2),z (1,0),0,其它.(6) 显然fX(x) fY(y) = f(x,y)所以 X 与 Y 不独立.6
