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1、 计算方法 1 第一章 计算方法与误差习题及解答 1.1 设 3.14, 3.1415, 3.1416 分别作为的近似值时所具有的有效数字位数 解 近似值 x=3.140.314101,即 m=1，它的绝对误差是 0.001 592 6，有 31105 . 06592001. 0=Lxx 即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字. x=3.14 准确到小数点后第 2 位. 又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是 0.0000074，有 51105000000740=.Lxx 即 m=1,n5，x=3.1416 有 5 位有效数字. 而近似值 x=3.1415，它的绝对误差是 0.0
2、000926，有 41105000009260=.Lxx 即 m=1,n4，x=3.1415 有 4 位有效数字. 这就是说某数有 s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有 s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 0.00200 9000 9000.00 解 （1） 2.00040.20004101, m=1 4105 . 0000049. 020004. 0=xxx m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字 1x=2，相对误差限000025. 010221102151)1(1= n rx （2
3、） 0.00200= -0.210-2, m=-2 5105 . 00000049. 0)00200. 0(=xxx m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字 1x=2，相对误差限3110221=r=0.0025 (3) 9000=0.9000104, m=4， 0105 . 049. 09000=xxx m-n=0, m=4 则 n=4,故 x=9000 有 4 位有效数字 计算方法 2 4110921=r0.000056 (4) 9000.00=0.900000104, m=4， 2105 . 00049. 000.9000=xxx m-n=-2,
4、 m=4 则 n=6,故 x=9000.00 有 6 位有效数字 相对误差限为6110921=r0.000 00056 由(3)与(4)可以看到小数点之后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 1.3 ln2=0.69314718，精确到310的近似值是多少？ 解 精确到3100.001，即绝对误差限是0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln20.693 1.4 已知近似值*x有两位有效数字，试求其相对误差限 解：已知 n=2 代入公式 1)1(110211021=n rxe得 x 的第一位有效数字 x1 没有给出，可按最不利的情况统计 %56. 01018110219%510
5、211021111111111=xexxexrr取 x1=1 时相对误差为最大 1.5 要使17的近似值的相对误差限不超过 0.1%，应取几位有效数字？ 解：17的首位数字1x=4，设*x有 n 位有效数字，则其相对误差限 %1 . 010) 14(2110) 1(211)1(1+=+=nn rx 31101010n31010nn 3 n=3 计算方法 3 17应取 3 位有效数字。 1.6 正方形的边长约为 100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过 12cm? 解：设正方形边长为 x cm, 测量值为 y cm，面积 y=f(x)=x2由于xxf2)(=，记自变量和函数的绝对误差分别是)(
6、,*yee，则 *xxe= *2002)()(eexxxxfye= 现要求1200)(*eye，于是 cmcme005. 02001*= 要使正方型面积误差不超过 1cm2,测量边长时绝对误差应不超过 0.005cm 1.7 用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为 V=2202V，I=100.1A,求这个电阻的 阻值 R，并故算其绝对误差和相对误差。 解：由欧姆定律IVR=，可求出 R 的近似值=2010220* IVR 则 R*的绝对误差为 )()()(* * *IIRVVRR + )()()(1* 2* * *IIVVI= 已知 V* =220V，VV2)(*,I* =10A
7、, AI1 . 0)(*,把它们代入上式，即可估算出 R*的绝对误差 )()()(1)(* 2* * *IIVVeIR+ =+42. 01 . 0)10(22021012同理，R*的相对误差为 计算方法 4 00 * *91. 10191. 02242. 0)()(=RRRr 1.8 计算球的体积，要使相对误差限为 1% ,求度量半径 R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球的体积公式为：3 34RV=，则由公式xxxr* *=得 33*3*34)(34 34)( RRR Vr = 32*2*33*3)()( RRRRRRR RRR+= 2*2*22*2*RRRRRR RRR RRRRR RRR
8、+= %1 . 033*22* =RRR RR RRR故 3001* = RRR即度量半径 R 时允许的相对误差限是 1/300。 1.9 设 x 的相对误差为%，求nx的相对误差。 解： )()(*1xxnxxenn%)()()()(*1 nxenxxxnxxxnx xxexernnnn n r=nx的相对误差为 an% 1.10 设 x0，x 的相对误差为，求xln的误差。 解：=)()(1)(ln*xexxxxerxln的误差为 1.11 当 N 充分大时，如何计算 dxxINN+=1211计算方法 5 解：NNdxxNNarctan) 1arctan(1112+=+，当 N 充分大时，
9、arctan(N+1)与 arctanN 是两个相 近的数，应避免直接相减，故选取算法如下： ) 1(11arctanarctan) 1arctan(1112+=+=+NNNNdxxNN1.12 设2 21gts =，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有0.1s 的误差，证明当 t 增加时，s 的绝对误差增加，而相对误差减少。 解：由题意知，gttegtttgtssse1 . 0)()()(*= tttegtttgt sssser2 . 0)(221)()( 2* = 可见，当 t 增加时，e(s)增，而)(ser减少。 1.13 设dxexIxn=101，10, 2 , 1 , 0L=n，
10、验证递推公式11 01,1=nnnIIeI若用其计算定积分， 试给出此递推公式误差的传播规律， 计算10I时误差被放大了多少倍？这个算法是数值稳定的吗？ 解：dxexIxn=101，10, 2 , 1 , 0L=n，由分部积分法有 dxexnexdxexIxnxnxn n=10111 01101可以得到计算积分的递推公式： L, 2 , 111=nnIInn11 01101 01=eedxeIxx则准确的理论递推式 11=nnnII 实际运算的递推式 * 1*1=nnnII 两式相减有 )()(* 1* 11* =nnnnnIneIInII 若0I与* 0I的误差为)(* 0Ie=0I-* 0I，则误差的递推规律为 )( !) 1()(1() 1()()(* 00* 222* 11*IInIInnIInIIIen nnnnnnn=L 计算方法 6 于是 )(!10)(910)(10)(* 0* 8* 9* 10IeIeIeIe=L 计算10I时的误差被扩大了1010倍，显然算法是数值不稳定的 1.14 设1944 . 08)(345+=xxxxxf，用秦九韶算法求)3(f 秦九韶算法格式为 1)9)4)4 . 08()(+=xxxxxxf 6 .199313)933)43)4 . 038() 3(=+=f
