第五章 自然与环境的数学模型 §5.2 放射性计年模型 一. 同位素与放射性衰变 10. 同位素：原子中核电荷数（质子数）相同，但具有不同的质量（中子数）的元素称为同位素它们的化学性质相同，在周期表中处于同一个位置有相同的元素符号，但在左上角注名 质量数，左下角为质子数 如：1 1H，2 1H，3 1H，12 6C，13 6C，14 6C，234 92U，238 92U 等 20. 同位素的蜕变. 同位素中有稳定的和不稳定的两种不稳定的同位素具有放射性， 通过放射粒子而变为同一元素的不同的同位素或者不同元素的同位素称之为同位素的蜕变 14 6C→ 14 7N， 87 37Rb→ 87 38Sr， 238U →234U→ 230Th 30. 放射性同位素衰变的数学模型： 假设： 1. 粒子同质、以相同的概率衰变， 2. 粒子群体规模充分大， 3. 没有粒子迁移， 4. 粒子的衰变率反映群体衰变现象的平均效应， 5. 单位时间内衰变正比于群体的数量，比率系数为常数 参量，变量： λ 为衰变系数，N( t )为 t 时刻粒子数 模型： dN/dt=-λN(t), N(0)=N0 有解：N(t)=N0 e- λ t 称使得N(T1/2 )=N0/2 的时间T1/2为半衰期：T1/2=ln2/ λ 同位素 半衰期（年） 衰变系数（/年） 87 37Rb 48.6 × 109 1.43 × 10-11 238 92U 4.468 × 109 1.551 × 10-10 234 92U 248000 2.794 × 10-6 230 90Th 75200 9.217 × 10-6 14 6C 5730 1.209 × 10-440. 放射性元素的平衡 如果随着放射性元素的蜕变衰减，又得到定常速率的补充，则放射性元素的变化可以由如下模 型来描述 dN/dt=-λN(t)+b. 有解 N(t)=b/λ+[N(0)-b/λ]e- λt ，模型有一个平衡状态 N*=b/λ。
当 N(0)>N*时, 元素不断减少, 当 N(0) K 时, P(t) 减少 称 β(t)=P(t)/K 为湖水在时刻 t 的污染水平 不难得到 β (t)= (Ps-K)/K e-t/ τ +1 当 β=1 时，称为饱和水平； 当β >1 时, 称为超饱和状态，P(t) 将会下降 20. 令 Ps=0 （一池清水） ，则 t 时刻的污染水平为 β (t)= P(t)/K=1- e-t/ τ 给定β 0, 则 P(t)= Ps e-t/ τ 将递减并且趋于零. 令 a(t)=P(t)/ Ps , 它表示污染状况相对降低的强度. 则不难看出Ta = τ ln[Ps /P(t)]= τ ln(1/a) 给出了污染水平降低到初始状态的 a 倍时所用的时间. 取 a =1/2, 则有 T1/2 = 0.7 τ . 由此可知, 在完全断绝污染物流入的前提下, 湖泊污染状况缓解一半所用的时间是湖水保留 时间的 0.7 倍. 情形II. 控制污染：PI(t) = K0e-at. 流入的污染物逐年降低, 污染状况以强度 a 逐年得到控制. 模型: dP/dt=[- P(t)+K0e-at]/ τ .令P(0)=K0, 则模型有解P(t)= K0 (e-at - a τ e-t/ τ) /(1-a τ)= K0 e-at (1- a τ e (a τ -1)t/ τ) /(1-a τ) 由此不难证明， dP/dt<0, 而且有 P(t) → 0 (t→∞) 。
它表明只要控制污染的力度足够大湖水 的污染程度将会不断得到改善 情形 III 混合情形：在初期，湖泊属于自由污染阶段，当湖水被污染到一定的水平，将对污染 源加强管理和控制，降低排污量 模型：如果在初期我们有 Ps = 0，PI=K1，则湖水将在 tβ = -τ ln(1- β) (β<1) 达到 β 水平 的污染， 即有 P(tβ)= βK1 此后对污染源加强管理， 将排污量降低为 PI(t)= K2< βK1 ∀ t≥ tβ 则 模型有解 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+−<−=−−−βτβτββttKeKKtteKtPttt,)(, )1 ()(2/ )(21/ 1五. 讨论 1. 蒸发与渗漏：输出正比于湖水表面积, 因此正比与湖水体积的 2/3 次方 2. 离散动态：变连续的微分方程为离散的差分方程 3. 污染物的变化：例如：DDT 被动物吸收，溶解于脂肪中；有机磷引起水藻激增，贮存于水 藻体内，当水藻腐烂时，有机磷又游离于水中 4. 扩散过程：污染物浓度是空间点的函数 p(t,x) 污染物流速 J(t,x)= - D Δx p(t, x)， 其中 D 表示污染物扩散系数 污染物扩散方程 ∂p(t,x)/ ∂t= - ∇x ·J(t,x)， 因此 ∂p(t,x)/∂t= ∇x ·(D ∇x p(t, x)) 。
当 D 是常数时，∂p(t,x)/∂t= D Dx p(t, x) 问题：P143 第 4 题：伊利湖和安大略湖的污染。