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1、量子力学 量子力学 表象理论 表象理论 根据量子力学的基本原理， 微观粒子的量子态用波函数描述， 力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数根据量子力学的基本原理， 微观粒子的量子态用波函数描述， 力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数),(tx及力学量算符及力学量算符),(xixF h均以坐标均以坐标x（以一维为例，实际是坐标这个力学量算符的本征值谱）为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？（即以其 它力学量的本征值谱为变量）（以一维为例，实际是坐标这个力学量算符的本征值谱）为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？（即以其 它力学量的本征值谱为变量）回答是：不仅有
2、，且非常必要！回答是：不仅有，且非常必要！因为恰当选择描述体系的 具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。 因为恰当选择描述体系的 具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。 量子力学中状态和力学量的具体表示方式表象 量子力学中状态和力学量的具体表示方式表象 常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。 常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。 一个定义：表象的定义；二个表示：态在任意表象中的表示，算符在任意表象中的表示； 一个定义：表象的定义；二个表示：态在任意表象中的表示，算符在任意表象中的表示； 三个公式：平均值公式，本征值方程，薛定谔方程在任意表象中的表示。 三个
3、公式：平均值公式，本征值方程，薛定谔方程在任意表象中的表示。 幺正变换应作为综合性内容，重点掌握其性质。 幺正变换应作为综合性内容，重点掌握其性质。 表象理论中采用的数学工具主要是矩阵表象理论中采用的数学工具主要是矩阵矩阵力学（Heisenberg 海森堡） 前称波动力学 矩阵力学（Heisenberg 海森堡） 前称波动力学 dingeroSchr & &1 态在任意表象中的表示 1 态在任意表象中的表示 1.1 Q 表象的形成 1.1 Q 表象的形成 首先考虑，在坐标表象中力学量算符的本征函数构成正交归一完备系 首先考虑，在坐标表象中力学量算符的本征函数构成正交归一完备系，其，其譜譜本征值
4、；体系状态用归一化波函数本征值；体系状态用归一化波函数 Q)(xunnQ),(tx描述，将其展开为力学量的本征函数的叠加 描述，将其展开为力学量的本征函数的叠加 Q=nnnxutatx)()(),( （1） （1） 而 而 =dttxxutann),()()(* （2） （2） 并且 并且 =nntadttx1)(),(22 （3） （3） 说明： （1） 说明： （1）2),(tx表示（给出）量子态在表示（给出）量子态在t时刻测量粒子坐标为时刻测量粒子坐标为x的概率 的概率 2)(tan表示（给出）在该量子态中测量粒子的力学量所得结果为的概率 表示（给出）在该量子态中测量粒子的力学量所得结果
5、为的概率 QnQ二者从不同角度对同一量子态给予描述 物理意义是等价的 二者从不同角度对同一量子态给予描述 物理意义是等价的 )(),(tatxn 数学角度也是等价的 数学角度也是等价的 （2）一般不再是坐标 （2）一般不再是坐标)(tanx的函数的函数除外)()(xxxun=，而是力学量的本征值的函数，即的函数，随的不同取不同复数值 ，而是力学量的本征值的函数，即的函数，随的不同取不同复数值 QnQnn1.21.2Q表象中态函数的表示（态的表象） 表象中态函数的表示（态的表象） Q是从力学量的角度描述量子态的波函数是从力学量的角度描述量子态的波函数)(tanQ)(tan为量子态在表象中的表为量
6、子态在表象中的表Q1示 示 以以表示这一量子态，则该态在表象中的表示可写成一列矩阵形式 表示这一量子态，则该态在表象中的表示可写成一列矩阵形式 Q=)()()(21tatatanM （4） （4） 共厄矩阵为 共厄矩阵为 ()()()(* 2* 1tatatanL=+ （5） （5） 体系的归一化条件体系的归一化条件=nntadxtx1)(),(22写为矩阵形式为 写为矩阵形式为 1=+ （6） （6） 1.3 讨论 1.3 讨论 （1） （1）Q表象中状态的描述表象中状态的描述依赖于坐标表象中力学量依赖于坐标表象中力学量Q的本征函数系的本征函数系，每一个必定给出，每一个必定给出)(tan)(
7、xun)(xun在在Q表象中的一个对应数，可见 表象中的一个对应数，可见 )(tan几何空间坐标轴几何空间坐标轴)(xunQ表象的基矢 表象的基矢 几何空间中的矢量几何空间中的矢量态矢 态矢 态矢态矢在在Q表象基矢上的分量表象基矢上的分量)(tan构成了构成了在表象中的表示， 由于在表象中的表示， 由于Q)(tan构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的希尔伯特空间（态空间） 构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的希尔伯特空间（态空间） （2）对于连续谱， 是连续的，写成函数形式 矩阵行列不可数 （2）对于连续谱， 是连续的，写成函数形式 矩阵行列不可数 =dxtxuaqq),(*（3）
8、力学量算符的本征函数在表象中（自身表象） （3）力学量算符的本征函数在表象中（自身表象） Q)(xunQ=nmmnndtxuxuta)()()(*符号 符号 即的本征值为分离谱时，其基矢在自身表象中的矩阵表示为 即的本征值为分离谱时，其基矢在自身表象中的矩阵表示为 Q)(xunK K （7） （7） =M0011u=M0102u=MM010nu态矢的矩阵形式仍为 态矢的矩阵形式仍为 212211auaua=+=LM001+= += 2aM010MMnaaa21注意：当的本征值为连续谱时，其基矢在自身表象中为 注意：当的本征值为连续谱时，其基矢在自身表象中为 Q)(xun函数 函数 （4） 所谓
9、 （4） 所谓Q表象的基矢， 应该是一组力学量完全集决定的本征态， 例如在三者的共同表象中，基矢为表象的基矢， 应该是一组力学量完全集决定的本征态， 例如在三者的共同表象中，基矢为zLLH,2nlmnlmu=，即共同本征函数系为，即共同本征函数系为nlm 1.4 特例 1.4 特例 （1）动量表象. 以力学量完全集的共同本征函数 （1）动量表象. 以力学量完全集的共同本征函数 zyxppp,rpipezyxuvv hvh=2/3)2(1),(作为基矢，则任意态 作为基矢，则任意态 pdzyxutpatzyxppvvvv),(),(),(= 故 故 =dzyxzyxutapp),(),()( 为
10、连续谱，若具体给出状态为平面单色波 为连续谱，若具体给出状态为平面单色波 tEiptErpi ezyxuetzyx000),()2(1),()(2/3hvvv h h= 这是动量算符的本征值为的本征态（在坐标表象中的表示） ，它在动量表象的表示为 这是动量算符的本征值为的本征态（在坐标表象中的表示） ，它在动量表象的表示为 0p=)(),(),()(0*000ppedezyxuzyxutatEitEipppvvhh （8） （8） 即自身表象中是以动量 即自身表象中是以动量pv为变量的为变量的函数（函数（x表象中同样存在以坐标为变量的表象中同样存在以坐标为变量的x 函数，它是坐标算符的属于本征
11、值函数，它是坐标算符的属于本征值 xx的本征函数） 的本征函数） （2）能量表象（中心力场能量为例） （2）能量表象（中心力场能量为例） 力学量完全集的共同本征函数 力学量完全集的共同本征函数zLLH,2),(rnlm作为能量表象的基底， 对任意态 作为能量表象的基底， 对任意态 ),(tr总有 总有 =nlmnlmnlmrtatr),()(),( dtrrtanlmnlm),(),()(*= 若具体给出 若具体给出 tEitEi eYReYRtr2110112100102121),(hh+= 3tEitEi ee21102111002121hh+= 则 则 dtrrtanlmnlm),(),
12、()(*= 1120012110 21 21mlntEimlntEi eehh+= 从而在表象中态函数 从而在表象中态函数 zLLH,2= =MMhh02100212110121211210200100tEitEieeaaaaa （9） （9） 2 力学量算符在任意表象中的表示 2 力学量算符在任意表象中的表示 力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应， 以保证对波函数的作用有意义 力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应， 以保证对波函数的作用有意义 2.1 任意力学量算符 2.1 任意力学量算符),(xixF h在在Q表象中的表示 表象中的表示 x表象中，表象中， F的算符
13、方程为（以一维为例） 的算符方程为（以一维为例） ),(),(),(txxixFtx= h （10） （10） 选择 选择Q表象时， 首先注意到以力学量算符的本征函数完全集表象时， 首先注意到以力学量算符的本征函数完全集 Q)(xun作为基矢， 并假设具有分离谱作为基矢， 并假设具有分离谱，然后将，然后将QnQ),(tx，),(tx按按)(xun展开 展开 = mmmmmmxutbtxxutatx)()(),()()(),(（11） （11） 代入（10）中后两边以作用，并利用代入（10）中后两边以作用，并利用dxun*)(xun的正交归一性得 的正交归一性得 =mmnmntaFtb)()( （12） （12） 式中
