《对称周期势场中粒子输运的数值模拟研究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对称周期势场中粒子输运的数值模拟研究（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、扉页： 独创性声明本人声明所呈挛的论享旱我食人夺导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。除了文中特别加以标注莉巍的地方外，论文中不包含其他人或集体己经发表或撰写过的研究成果，对本文的研究做出贡献的集体和个人均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。研究生签名：i 毽赵丝日研究生签名：陛隆整日论文使用和授权说明期：塑! ；! ! ：型本人完全了解云南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文和论文电子版；允许论文被查阅或借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后应遵循此规定)研究生签名：强象
2、枉导师签名：叠塾堕交日本人及导师同意将学位论文提交至清华大学“中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社”进行电子和网络出版，并编入( ：N K I 系列数据库，传播本学位论文的全部或部分内容，同意按中国优秀博硕士学位论文全文数据库出版章程规定享受相关权益。研究生签名：三函鞋导师签名：稻锄E t 期：塑! ；! ! 塑摘要摘要本文研究了布朗粒子在对称周期势场中的输运问题，首先对布朗马达的动 力学描述，对称周期势场中的布朗马达模型以及布朗粒子在对称周期势场中粒 子输运的数值模拟方法进行了详细的介绍。其次，详细研究了噪声强度，势垒高度以及周期驱动对输运问题的影响。 我们在该周期势场中分别引入了高斯白噪声
3、，一个对称的外界周期驱动和一个独立于时间变量的外界偏置力。几率流的特性是研究粒子在周期势场中输运问题时的一个重要特征。本文对它与周期势场各个参数之间的关系进行详细具体的讨论。详细研究结果如下：首先，当噪声强度为零时，在较小的偏置力F = 0= 2 D S ( t s )利用二阶龙格一库塔方法，得到朗之万方程的解的形式为：上式中：x ( t + A t ) 一x ( t ) =夕( z ( s ) ) d s + J 。t tt + A t ( s ) d s( 1 2 4 1 )( 1 2 4 2 )( 1 2 4 3 )+ 9 2 + 、2 D A t 咖( 2 4 4 )9 1 = 夕(
4、z ( t ) - 4 - v 2 - - D A t 妒1 )9 2 = 夕( z ( t ) + A t 9 1 + x 2 D A t 妒2 )上面几式中妒o ，妒1 ，妒2 是三个彼此独立的标准高斯变量。我们将g l 和9 2 在z ( t ) 点展开得到：9 1 = 夕( z ( 亡) ) + 9 7 ( x ( t ) ) x 2 D A t 妒19( 2 4 5 )( 1 2 4 6 )( 2 4 7 )出防t、_厂，矜第二章布朗运动的动力学描述9 2 = 9 ( z ( f ) ) + 9 7 ( z ( 亡) ) 9 1 ( z ( ) ) + 2 D A t 妒2 = 9
5、( z ( 亡) ) + 夕7 ( z ( 亡) ) 亡夕( z ( 亡) ) + A t 9 7 ( z ( ) ) x 2 D A t 妒1 + 9 钕( 蛳伍汲妒2( 。2 4 8 )于是得到了在亡内的解为：z ( + 亡) = z ( ) + 夕( z ( ) ) + 三( ) 2 9 ( z ( ) ) 夕7 ( z ( ) ) + R ( 亡)( 2 。4 9 )我们将R ( t ) 定义为：R ( )= 、瓦瓦巫妒。+ 互1 亡9 7 ( z ( ) ) ( 妒1 + 妒2 ) +丢( A t ) 2 9 ，2 ( 雄) ) 2 v 互b - 瓦i 坳( 2 5 0 )由于独立随
6、机数妒o ，妒l ，妒2 的存在，上式中的R ( ) 具有以下性质：= 0( 2 5 1 )相应的二阶原点矩为：= 2 D A t + 2 D ( A t ) 2 9 7 ( z ( 亡) ) + o ( ( ) 2 ) ( 2 5 2 )茸审、：丢( 2 5 3 )于是随机变量R ( 亡) 的一，二阶矩为：R ( 亡) = 厕呐+ 9 ( ) ) 4 K 5 - 瓦心( 等+ 苁)( 2 5 4 )= 2 D A t + D ( A t ) 2 9 7 ( z ( ) ) + o ( ( t ) 2 )( 2 5 5 )这样，我们就利用龙格库塔方法求解了过阻尼情形下朗之，万方程的解的形式。1
7、 0云南大学硕士学位论文一M a s t e rT h e s i so fY U N N A NU n i v e r s i t y2 6 本章小结本章概述了布朗运动的动力学知识，包括朗之万方程及其数值模拟求解方法，热力学噪声及高斯白噪声的模拟，另介绍了本文中所用道的二阶龙格库塔算法。1 1第三章周期势场中的布朗马达模型第三章周期势场中的布朗马达模型3 1周期势场中的朗之万方程周期势场中的布朗马达可以用朗之万方程描述为【5 6 4 】：m 圣+ 7 圣=一y ( z ) + Ac o s ( g t t ) + F + V 2 7 K B T r l ( t )( 3 1 )式中的棘轮势y
8、 ( z ) 为周期函数，周期为L ，a p v ( z ) = y ( x + 己) ，噪声叩( 亡) 为高斯白噪声。3 2标度引入无量纲变量，动力学方程具有单独的时间和长度标度。由标度变换，方程( 2 1 ) 可以写成如下形式：其中【7 】互+ 宝= 一杪7 ( 圣) + ac o s ( w i ) + 户+ 、互虿瓦而( 句( 3 2 )圣：手，：兰，右：m 而L 2 ( 3 3 )z5Z ，江i ，百2 面( 3 3 )对上面的式子做如下说明：( 1 ) 标度后的势矿( 圣) = y ( z ) y 的周期是1 ，势垒高度是V = 1 ； ( 2 ) 重新标度的摩擦因数= ( 7 m
9、 ) 丁0 = 丁0 亿，即为两个特征时间标度之比( 一个为T o ，另一个是速度自由度的相关联时间标度T L = m - y ) ： ( 3 ) 驱动力有了新的标度强度a = A L A V ，重新标度的角频率为= Q 丁0 ( 即周期T = 2 丌u ) ；( 4 ) 高斯白噪声而( ) 的关联函数也被重新标度为：( 而 ) 而( 护) ) = 占( 一护) ， 噪声强度为D o = K B T A V ； ( 5 ) 负载力F = F L A V 。 在本文接下来的内容中，以上各个变量都采用无量纲标度，为方便模拟计算及其书写，相应的朗之万方程统一采用无量纲化的朗之万方程，顶三角号都省略。
10、1 2云南大学硕士学位论文一M a s t e rT h e s i so fY U N N A NU n i v e r s i t y3 3F o k k e r P l a n k 方程与方程( 2 2 ) 相对应的稳态福克一普朗克( F o k k e r - P l a n k ) 方程 6 5 ，6 6 ：中，随时间演化的密度分布函数P ( z ，u ，亡) 入下式所示f 6 7 】：晏尸( 掣= L 叫妒( z ，州) ，( 3 4 )以及时间周期的F o k k e r - P l a n k 算符为：L F p ( t )= 一杀u 一瓦0 卜妒+ ac o s ( D 0
11、嘉，( 3 5 )L F p ( t + T ) = L F p ( t ) ( 3 6 )考虑初始边界条件，密度分布函数p ( x ，u ，亡) 的平均值可定义为：， ( 夕( z ( ) ，u ( t ) ) ) = d x d t ，夕( z ，v ) P ( x ，u ，) ，( 3 7 )将P ( z ，u ，亡) 对坐标z 进行积分后得到时间独立的速度分布函数为：连续的速度平均值为：p ( v ，t )( u ( ) )f d z P ( z ，u ，t ) ，咖吡轨( 3 8 )( 3 9 )渐进的周期速度概率分布只sV ，t ) ( 位移与时间的周期函数) 为：R sV ，t
12、+ T ) = 只。( u ，地( 3 。1 0 )归一化形式为：渐进的平均值可以定义为：蝇小“) “则，速度的渐进平均为：( u ( t ) ) 。= fd 耖g ( u ) R 。( u ，亡) ，= t l 咖蹦州) ，( 3 。1 1 )( 3 1 2 )( 3 1 3 )对时间的速度平均为：“ ( ) = ；Z 。d ( 秒( ) ) 口。= 。“ m o 。如( u ( s ) ) ( 3 1 4 )1 3第三章周期势场中的布朗马达模型3 4棘轮势对于反对称棘轮势y ( z ) = y ( x + L ) ，我们考虑三个空间谐振子的形式【7 】：v ( x ) = V o s i
13、n ( 27 I - x ) + C ls i n ( 4 7 1 - x ) + C 2s i n ( 67 I - x ) ，( 3 1 5 )式中的是归一化的最大势垒高度，C ，C 2 是表征空间反对称性的参数。在本文中，我们主要分析以下几种情况：1 ) 最简单的正弦势场：2 ) 棘轮势：3 ) 棘轮势：C l = 0 ，C 2 = 0 ，V o = 0 5 ；( 3 1 6 )c 1 = o 2 5 ，C 2 = 0 ，V o 0 4 5 4 ；( 3 1 7 )C 1 = 0 2 4 5 ，C 2 = 0 0 4 ，V o 0 4 6 1 ( 3 1 8 )这三种棘轮势的图像如下图所
14、示：1 4X图3 1 ：周期势y ( z ) 随z 变化关系图，a ，b ，c 图的参数由( 3 1 6 ) 一( 3 1 8 ) 给出，为 了区分三种棘轮势，图a 和c 分别是进行了上下平移图3 2 ：周期势一V 7 ( z ) 随z 变化关系图，a ，b ，c 图的参数由( 3 1 6 ) 一( 3 1 8 ) 给出1 5第三章周期势场中的布朗马达模型3 5 本章小结本章介绍了周期势场中的布朗马达模型，包括了用标度转换得到的朗之万方程，用数值求解的方法得到了粒子几率流的定义，还介绍了几种常见的棘轮势。1 6云南大学硕士学位论文一M a s t e rT h e s i so fY U N
15、N A NU n i v e r s i t y第四章周期势场中粒子几率流的数值模拟研究近年来理论和实验都揭示了当体系处于非平衡状态时空对称性破缺的时候，周期自通会出现布朗粒子的定向输运现象。本章研究的出发点就是通过引 入有偏置的外力和白噪声让一维周期势场处于非平衡状态，利用数值模拟的方法，来研究噪声，偏置外力和周期驱动对粒子定向输运的影响。4 1周期势场的布朗马达模型及模拟方法考虑一个最简单的棘轮势，周期势场的形式为v ( x ) = V o s i n ( 2 7 r x ) ，并引入高 斯白噪声和有偏置的外力，进行标度后得到其无量纲形式的朗之万方程可以写为：叠+ 7 圣=一y 7 ( z ) + ac o s ( f i t ) + F + V 2 7 K B T 7 7 ( t )( 4 1 )其中z ( ) 表示布朗粒子的位置，7 为摩擦系数，V o = 1 0 ，周期驱动的振幅和角速度分别为。和Q ，偏置外力F 是与时间无关的任意值。叼( 亡) 为高斯白噪声，满足 如下关系：( 叩( ) ) = 0( 4 2 )( 4 3 )通过数值模拟的方法对粒子几率流研究，几率流的具体表达式如下：1，t1，t t 7 ( 。2 手上出V ( 2 。l i m - 上 od s ( u ( s ) ) ( 4 4 )利用二阶龙格库塔
