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1、第第3章章Bezier 曲线与曲面曲线与曲面曲线和曲面造型在CAD/CAM、机械设计、汽车和 飞机制造等领域有着广泛的应用,是计算机图形飞机制造等领域有着广泛的应用,是计算机图形 学的重要研究内容之一。由于几何外形设计的要 求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满 足用户的需求。半个世纪以来,曲线曲面造型技 术的发展层出不穷。1962年,法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier将函数逼近 同几何表示结合起来,构造了一种以逼近为基础的参 数曲线和曲面的设计方法及其UNISURF曲线和曲面设数曲线和曲面的设计方法及其UNISURF曲线和曲面设 计系统,使得设计师在计算机上就象使用作图工具一 样得
2、心应手。1972年,该系统被投入应用。1963年，美国波音(Boeing)公司的佛格森(Ferguson) 将曲线曲面表示成参数矢量形式。19641964年麻省理工学院年麻省理工学院(MIT)(MIT)的孔斯的孔斯(C)(C)用封闭曲用封闭曲19641964年，麻省理工学院年，麻省理工学院(MIT)(MIT)的孔斯的孔斯(Coons)(Coons)用封闭曲用封闭曲 线的四条边界定义一块曲面。线的四条边界定义一块曲面。19641964年年 舍恩伯格舍恩伯格(Schoenberg)(Schoenberg)提出了参数样条曲线提出了参数样条曲线19641964年年, ,舍恩伯格舍恩伯格(Schoenb
3、erg)(Schoenberg)提出了参数样条曲线、提出了参数样条曲线、 曲面的定义。曲面的定义。19721972年，德布尔年，德布尔(de Boor)(de Boor)给出了给出了B B样条的标准计算方样条的标准计算方()() 法。法。19741974年，通用汽车公司的戈登年，通用汽车公司的戈登(Gordon)(Gordon)和里森费尔德和里森费尔德 (Rif ld)(Rif ld)在在B B样条理论的基础上提出了样条理论的基础上提出了B B样条曲线样条曲线(Riesenfeld)(Riesenfeld)在在B B样条理论的基础上，提出了样条理论的基础上，提出了B B样条曲线、样条曲线、 曲
4、面。曲面。19751975年，美国的佛斯普里尔年，美国的佛斯普里尔(Versprill)(Versprill)提出了有理提出了有理B B样样19751975年，美国的佛斯普里尔年，美国的佛斯普里尔(Versprill)(Versprill)提出了有理提出了有理B B样样 条方法。条方法。8080年代后期，美国的蒂勒年代后期，美国的蒂勒(Tiller)(Tiller)和匈牙利人皮格尔和匈牙利人皮格尔 对非均匀有理对非均匀有理 样条样条方法进行了广泛方法进行了广泛(Piegl) (Piegl) 对非均匀有理对非均匀有理B B样条样条(NURBS)(NURBS)方法进行了广泛方法进行了广泛 研究。研
5、究。3.1 Bezier曲线曲线曲线曲线 3.1.1 Bezier曲线的定义和性质曲线的定义和性质1定义1定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则 Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是： 其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次 Bernstein基函数：! niiiiiBernstein基函数：其中规定：0!=1。下图所示是两条3次Bezier曲线的例子：), 1 , 0(,)1 ()!( !)1 ()(,nittininttCtBiniinii nni 其中规定下图所示是两条 次曲线的例子P2
6、 P1P3P1P0P3P0 P2 三次Bezier曲线2Some Bezier CurvesSome Bezier CurvesBezier Basis Functions for n=31.211.2B0 30 60.8B0,3B1,30.40.6B2,3B3,30.20Bi 基函数的性质2Betnstein基函数的性质 （1）正性 1 , 0, 0)(ttB（2）端点性质 ; 1, 2 , 1),1 , 0(, 0)(,nittBnii)0(1niotherwiseiBni)(10)0(1)0(,（3）权性otherwiseniBni0)(1) 1 (,n由二项式定理可知：) 1 , 0(
7、, 1)(0, ttBnini( )(1)(1)1nn i in inBtC tttt由二项式定理可知：, 00( )(1)(1)1i nn iiBtC tttt（4）对称性 )()(,tBtBninni因为 （5）递推性。)1 ()1 ()1 ()1 (1 )(,)( ,tBttCttCtBniinii nininnin nnin 即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调), 1 , 0()()()1 ()(1, 11,nittBtBttBninini和函数线性组合而成。 因为， )1 ()()1 ()(1CCCiniiiinii)1 ()1 ()1 ()1 (
8、)()1 ()()1()1(11 1)1( 11 11, tttCttCtttCCttCtBinii ninii ninii ni ninii nni )()()1 (1, 11,ttBtBtnini（6）导函数 ;, 1 , 0),()()(1,1, 1,nitBtBntBninini （7）最大值： Bi,n(t)在 t = i/n 处达到最大值。 （8）升阶公式,)(1)()()11 ()()1 (1,BiBtBnitBtnini)(11)()11 ()()(1)(1, 11,1, 1,tBitBitBtBnttBninininini（9）积分)(1)()1()(1, 11,nnnini
9、ni11)( dttB0,1)(ndttBniP1P23Bezier曲线的性质 (1)端点性质(1)端点性质 a.）曲线端点的位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0；当P0P3t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特 征多边形的起点、终点重合。 b ）曲线端点的切矢量b.）曲线端点的切矢量 因为， ，101,1,1)()()( nininiitBtBPntP所以当t=0和t=1时，有 P(0) =n(P1- P0)， P(1) =n(P - P)P (1) =n(PnPn-1)， 这说明Bezier曲线的起点和终点处
10、的切线方向和特征多边形的第一 条边及最后一条边的走向一致。c.）二阶导矢当t=0和 t=1时有当t=0和 t=1时，有 )2)(1()0(012“PPPnnP )2)(1() 1 (21“PPPnnP上式表明:2阶导矢只与相邻的3个顶点有关,事实上,r阶导 矢只与(r+1)个相邻的控制点有关,与更远的控制点无关。)2)(1() 1 (21nnnPPPnnP矢只与()个相邻的控制点有关,与更远的控制点无关 将P(0)、P(0)及P(1)、P(1)代入曲率公式3)( )( )(tPtPtk可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：3)( )( tP)()(1PPPP,)()(1)0(3 0112
11、01 PPPPPPnnk 3 1121)()(1) 1 ( nnnnnn PPPPPPnnkd.）k阶导函数的差分表示 n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为： 1 , 0)()!(!)(0,ttBPknntPknikniikk其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定 义： kkkPPP11例如：ik ik ikPPP1 11 iiPP 0iiiiiPPPPP10 101iiiiiiPPPPPP121 1122（2）对称性 由控制顶点构造出的新Bezier曲线，与),.,1 , 0( ,*niPPini 原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：nnnn ttBPtBPtBPtB
12、PtC* 10 )1 ()1 ()()()(这个性质说明Bi 曲线在起点处有什么几何性质在终 iijnjj inininniinniittBPtBPtBPtBPtC000, 0, 1 , 0 ),1 ()1 ()()()(这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终 点处也有相同的性质。（3）凸包性 由于且这结果说n tB1)()1010(1)(0ittB由于，且，这一结果说 明当t在0，1区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边 形各顶点的加权平均，权因子依次是。在几何图形 initB0,1)(), 1 , 0, 10( , 1)(0,nittBni)(tBni形各顶点的加权
13、平均，权因子依次是。在几何图形 上，意味着Bezier曲线P(t)(t0,1)上的各点是控制点Pi 的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中，如下图)(,ni所示。p1p2 convex hullpp3Bezier curvep0p3（4）几何不变性 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点的 位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有：), 1 , 0(niPi（变量u是t的置换） ）仿射不变性 abauBPtBPniininii, 0,)(（5）仿射不变性 对于任意的仿射变换A：nn即在仿射变换下曲线
14、的形式不变 )()()(, 00,tBPAtBPAtPAniniininii 即在仿射变换下，曲线的形式不变。（6）变差缩减性（6）变差缩减性 若Bezier曲线的特征多边形P0P1Pn是一个平面图形， 则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其 特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。 此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，PP此性质反映了曲线其特征多边形的波动小 也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。P1P2P0P33.1.2 Bezier曲线的递推曲线的递推(de Casteljau)算法算法
15、计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。 如下图所示，设P0、 和P2是一条抛物线上顺序三个不同 的点。过P0和P2点的两切线交于P1点,在点的切线交P0P1和 P P 于和则如下比例成立2 0P2 0P 1P1PP1P2于和 ，则如下比例成立：1 0P1 1P122 01 0 11 11 11 00 PPPP PPPP PPPPP1这是所谓抛物线的三切线定理。102110PPPPPPP01P02P11P0Bezier曲线上的点P2抛物线三切线定理当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：101 0)1(tPPtP从 变到第式就分别表控制边的第1 11 02 0211 1100)1()1()(tPPtPtPPtPt从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、 二条边，它们是两条一次Bezie
