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1、中山大学硕士学位论文一维非平衡动力学相变模型的动力学Monte Carlo模拟研究姓名：方海申请学位级别：硕士专业：理论物理指导教师：李志兵2003.6.2论文题目：专业：硕士生：指导老师：一维非平衡动力学相变模型的动力学M o n t eC a r l o 模拟研究理论物理方海李志兵教授摘要本论文旨在研究具有生物学背景的一维非平衡态过程的动力学相变问题。论文首先简单地介绍了常用的M o n t e C a r l o 计算机模拟方法，非平衡动力学相变问题以及动力学I 临界现象与标度行为。然后用动力学M o n t e C a r l o 方法研究了一维阶梯模型系统随时间的演化行为。发现系统有
2、初始序增长，激活区域的宽度d ( t ) 在临界点r = r 。有幂次 增长行为。当r ，其基本的算法如下：首先产生大量均匀的随机数吼，判断X 是否在 n ，6 】内；其次，利用那些X i n ，6 的随机数，计算1 ，( 如) 从而求出 的一个近似值。I 一最后得到，= 丙1 ，( 也)2 3M o n t e C a r l o 方法在统计物理上的应用2 2 2 随机数的产生5从M o n t eC a r l o 的基本思想可以看出，这种方法依赖于大量随机数的产生。随机数的产生一般有两种方法：一种是利用一个真实的物理过程产生大量的随机数据；一种是利用计算机溢出的原理产生随机数。现在用的最
3、多的是第二种。然而，随机数据的好坏，均匀与否会对统计平均量有很大的影响。在附录A 里，摘录了一些随机数的产生程序( C 语言) 。2 2 3M o n t eC a r l o 方法的基本步骤( 1 ) 构造或描述问题的概率过程；( 2 ) 实现从已知概率分布的抽样；( 3 ) 对各种统计量进行估计。2 3M o n t eC a r l o 方法在统计物理上的应用在现代物理，尤其在统计物理的应用上，使用得比较多的工具就是计算机，而经常使用的方法是M o n t eC a r l o 方法。在统计物理，我们经常要求出一个物理量( A ) 的平均值c 舻巡篇掰嚣裟型弘，式中卢= 1 k B T
4、。H ：K + U 是体系的哈密顿量，K 为体系的动能，U 为体系的势能由于K 是动能的二次函数，可以对动量得到解析积分，因此与动量有关的函数的平均值，往往易于求得。但对于各种函数的平均值的计算，只有在一些例外的情况下，对粒子坐标的多维积分才能解析计算，一般情况下必须采用数值方法。6第2 章M o n t e C a r l o 计算机模拟简介蒙特卡罗方法有很多种，但总括起来不外乎两种：简单抽样法和重要抽样法。2 3 1 一个简单抽样的例子：渗透问题产生随机数以后，怎样把它们应用于统计物理学方面呢? 下面我们将通过一个最简单的完全对称的渗透相变( p e r c o l a t i o nt
5、r a n s i t i o n ) f 4 8 的例子来说明这个问题。考虑一个( 近无限的) L L L 三维格点渗透模型，其中的每一个位置以概率P 随机地被占据，而以概率1 - p 变成空。互相连接的被占据的位置则称为“簇( c l u s t e r ) ”。对这个问题一般讨论的比较多的是：当P 。取什么值时，会第一次出现一个无限大的蔟，使得体系从一边“渗透”到对面的一边?M o n t eC a r l o 过程就是产生样品组态的过程，用C 语言来表达：f o r ( k i = O ；k l 一fA _ ( p N 两, r 研N ) e 丽x p 瓯 - - 万p H 而( p
6、N 面, r N 砑) r d p g d r g这样的积分时，我们也希望象前面那样，进行非均匀的空间抽样，以使得权重函数近似地正比于玻尔兹曼因子。但我们一般不知道如何构造由式( 2 - 2 ) 到( 2 - 3 ) 的变换，使得在构型空间以正比于玻尔兹曼因子的概率密度来抽样。2 3 2 2M e t r o p o l i s 方法由前面我们知道一般不可能直接用M o n t eC a r l o 抽样来计算e x p 一卢，( r ”) 】A ( r ) d r 这样的积分。但我们通常不是单独地考虑配分函数，而是平均值( A ) = fe x 再p ( 面- ) 二万U ( r 而1 V
7、) ) 巧A ( 矿r N ) d r NM e t r o p o l i s 等人设计了一种有效的M o n t e C a r l o 方法对这种比值抽样【5 0 ，5 1 1 。将配分函数写成Z ! e x p ( 一卢u ( r ) ) d r J则比值e x p ( 一Z u ) z 是发现体系处于r 附近的概率密度。概率密度可表示为 ( r ) E e x p ( - _ Z - U ( r ) )假定能够按概率分布N ( r ) 在构型空间随机产生大量的点。在点r 附近单2 3M o n t eC a r l o 方法在统计物理上的应用9位体积产生的点数为n ；，平均等于L N
8、 ( r ”) ，其中L 是所产生的总点数则z 圭圭哪( 柏传统M o n t eC a r l o 方法的核心问题是产生按g ( r “) 分布的一组( L 个) 点即按平衡态g ( r ) 分布为系综。M e t r o p o l i s 方法通过一个马尔科夫过程来产生这个系综，其基本思想如下。设在某一时刻t ，系统处于构型空间某一点0 = 一定义的状态。在下一时刻t + 1 ，系统状态变成n = r “的概率记为”( o n ) 。”( o n ) 称为转移概率矩阵，它定义了一个分立时间的马尔科夫随机过程。设t 时刻系综的分布为P ( r “，t ) 。在M C 模拟中通常无法直接产生
9、P ( r ”，t ) = g ( r ”) 的系综。但是，P ( r ，) 满足主方程P ( n ，t + 1 ) = P ( n ，t ) 一”( n n ) P ( n 7 ，t ) + 7 r ( n 一n ) P ( n ，t )( 2 6 )n n ，可以证明，如果由7 r 定义的动力学是各态历经的，并且”满足细致平衡条件N ( o ) i r ( o n ) = N ( n ) I r ( n 一0 )( 2 - 7 )则当t o 。时有N ( n ) = ) i mP ( n ，t )所以，当系统按上述定义的动力学演化经过足够长的时间之后，系统的状态以所希望的分布m ) 出现。
10、按M e t r o p o f i s 方法进行M o n t eC a r l o 模拟的过程具体如下。第一步是在构型空间任取一点r ，称为D ( 老的) ，第二步用任一方便的转移概率a ( D n ) 产生尝试移动n = r ，o z 通常看作是马尔科夫链的基础矩阵。然后判断是否接受该尝试移动，用只。o r t ) 表示接受从。至l o第2 章M o n f e C a r l o 计算机模拟简介n 的移动概率。则7 r ( D _ n ) = o ( o 一扎) 只c c ( D - ”)在最初的M e t r o p o l i s 方法中，Q 被选为一对称矩阵陋( 0 一n ) =
11、 ( n D ) 则据细致平衡条件有、N ( o ) 只。o n ) = N ( n ) R 。( n 一0 )可得到 型P o c o ( n 型。o ) = 需= 酬卅嘶M ( 0 ) J ( 0 1 。上，LPL V ，一u 、”，J ，M e t r o p o l i s 等人选择P a c c ( o _ n 1 =N ( o ) N ( n ) ，如果u ( n ) U ( o )l ，u ( n ) S u ( D )则从状态。至状态i “ 1 的转移概率可写为f ”( D n ) = 【o ( o n ) ，U ( n ) sU ( o )o ( o n ) ( 力( n )
12、 ，矿( n ) 盯( o )”( 0 一。) = 1 一”( 。一n ) n o有了上面的式子，我们可以通过下面的方法来决定一尝试移动是接受还是拒绝若矿( n ) 矿( o ) ，便接受尝试移动否则若c 厂( n ) u ( o ) ，则此尝试移 动以下面的概率被接受R c co + n ) = e x p 一卢 矿( n ) 一c ，( o ) J ) 0临界点可由4 ( P 1 T ) = 0 求得。把A ( P T ) 写成A ( P ，T ) = o ( P ) ( 丁一瓦)忽略一些高次项，自由能密度可以写成砂= C o ( P , T ) + n ( P ) ( T T o ) i
13、 2 + B ( P ) 0 代表无序相，A 0 对应T 瓦。这给我们提供了一个判断临界点的方法：当某一物理量的曲线在改变一参数时，曲线的一些性质会发生根本性的改变，如从单个极小值变到多于一个极小值，或曲线由凹形变到凸形。其中存在一个临界点( 临界参数)A 。所对应的曲线是这些曲线的分界线3 3 动力学临界指数和标度不变性1 9 8 9 年， LK J a n s s e n ，B S c h a u b 和S S c h m i t t m a n 【3 6 对动力学A 模型f 5 9 ，6 0 】进行研究，提出了体系在演化的早期阶段，存在一个新的普适区。郑波、李志兵等人 3 9 - 4 2
14、 ，6 1 6 3 ，6 7 - 7 0 ，7 5 】对短时临界动力学进行深入研究，发1 8第3 章非平衡相交及临界动力学简介现了许多重要结果下图给出了一个铁磁系统序参数随时间的演化关系 mt ikt当t “。 t 为线性弛豫区。体系的演化的标度行为，可以统一一地写成：m ( ( t ，m o ，r ，L ) = b - k 4 ”m ( 。( b t ，b z 。m o ，b l l ”r ，6 1 L )1 11 1 、其中，t ，m o ，r ，L 分别为体系的演化时I N 、初始序参量、相对温度f 竿)和体系的尺度。m ( ) 代表序参数m 的k 阶矩。短时临界动力学的标度行为有如下特
15、点：如果系统有限大小或状态稍微偏离l 缶界点，并且初始序参数m o 很小，但不为零，那么在早期的演化阶段，序参量m 有临界初始增长的现象，其短时标为t ；一r a g 纠“当m 达到最大值时，进入长时区，先经过幂函数衰减m ( t ) 一t - p ”，然后指数衰减r n ( t ) 一e 一2 。所有临界指数( 勘除外) 在短时标度律的式子m ( 2 ) ( t ，r f $ 0 ，7 - ，上) 中，它们的值与平衡态或长时区的完全样。这给我们提供了一个测量I 临界指数的新途径：可以在演化的早期阶段测量，从而避免了临界放慢所造成的困难。在某些特定条件下，体系的早期演化阶段会延续到长时区，如m
16、 。一0 ，t i + o o 。3 3 动力学I 临界指数和标度不变性3 3 1 关联函数和关联长度1 9在相变理论中，另一个重要的物理量是关联长度。关联长度的定义是以关联函数为基础的 5 4 】。定义密度关联函数，C ( r ，r ) ；( I n ( r ) 一 】 n ( r 7 ) 一 1 )( 3 - 1 )它表不密度相关函数是r 与r 点密度涨落之l 司的关联。对于均匀系统，上式可以写成G ( r r ) = 一n 2当r = l r r ，J 一时，在r 与r 找到粒子的几率相互独立。即密度不相关，有一 = n 2 ，I r r 7 I 一。( 3 - 2 )当r 很大时，关联函数C ( r ) 有渐近形式G ( r ) 一雨1 了
