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1、1高考数学总复习导学 11提高部分略31、基本不等式（、基本不等式（基础基础）典型例题典型例题类型一：基本不等式类型一：基本不等式(ab)(1/2)(ab)(1/2)(a+b)/2(a+b)/2 求最值问题求最值问题1 1设，则的最小值是A1B2C3D4答案与【解析】【解析】当且仅当即时取等号.【答案】【答案】D类型二：利用基本不等式证明不等式类型二：利用基本不等式证明不等式2.2.已知，求证：，中至少有一个小于等于.答案与解析证明：证明：假设则有又与矛盾类型三：基本不等式在实际问题中的应用类型三：基本不等式在实际问题中的应用4.4. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、
2、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?2答案与【解析】【解析】由题意可得，。于是，框架用料长度为。当，即时等号成立。此时，。故当约为2.343 m，约为2.828 m 时用料最省。类型四：利用绝对值不等式求最值类型四：利用绝对值不等式求最值5.5.不等式对恒成立，则实数的取值范围是_；答案与【解析】【解析】设，则对恒成立，的最小值为，实数的取值范围是.类型五：利用柯西不等式求最值类型五：利用柯西不等式求最值6.6.设，求函数的最大值答案与【解析】【解析】3根据柯西不等式，故.当且仅当，即时等号成立，此时，32、空间
3、几何体结构及其三视图空间几何体结构及其三视图(基础基础)典型例题典型例题类型一、空间几何体的结构特征类型一、空间几何体的结构特征 1 1. 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是 () A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案与解析【思路点拨】【思路点拨】可借助构造几何图形进行判断【解析】【解析】如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即 A 正确；底面四边形必有一个外接圆，
4、即 C 正确；在高线上可以找到一个点 O，使得该点到四棱锥各个顶点的距 离相等， 这个点即为外接球的球心， 即 D 正确； 但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立) 故仅命题 B 为假命题 【总结升华】【总结升华】三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型， 有些问题可用上述几何体举特例加以解决类型二、空间几何体的三视图类型二、空间几何体的三视图3 3. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()4答案与解析【思路点拨】【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥 【解析】【解析】 由几何体的正视图
5、和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂 直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为 D. 【总结升华】【总结升华】 （1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧 面表示的图形 （2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线类型四、空间几何体的表面积与体积类型四、空间几何体的表面积与体积 6 6. 有一根长为3cm,底面半径为1cm 的圆柱形铁管， 用一段铁丝在铁管上缠绕2圈， 并使铁丝的两个端点落在圆柱 的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？答案与解析
6、【思路点拨】【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离。 【解析】【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD（如图） ，由题意知 BC=3cm，AB=4cm，点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度。AC=5cm，故铁丝的最短长度为5cm。 【总结升华】【总结升华】几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的。利用了空间问题平面化的思想。把一个平面 图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热 点。33、空间点线面的位置关系空间点线面的位置关系(
7、基础基础)典型例题典型例题类型一、异面直线的判定类型一、异面直线的判定1 1. 如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分别是 A1B1、B1C1的中点。问：5（1）AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； （2）D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由。答案与解析【思路点拨思路点拨】 （1）易证 MN/AC，AM 与 CN 不异面。 （2）由图易判断 D1B 和 CC1是异面直线，证明时常用反证 法。 【解析【解析】 （1）不是异面直线。理由：连接 MN、A1C1、AC。M、N 分别是 A1B1、B1C1的中点，MN/ A1C1，又A1ACC1，A1ACC1为平行四边形。
8、A1C1/AC，得到 MN/AC，A、M、N、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线。 （2）是异面直线。证明如下： ABCD-A1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面。假设 D1B 与 CC1不是异面直线，则存在平面， 使 D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，与 ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。 假设不成立，即 D1B 与 CC1是异面直线。 【总结升华】【总结升华】证明两条直线异面通常采用反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条 件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。 类型二、平面的基本性质及平行公理
9、的应用类型二、平面的基本性质及平行公理的应用2.2.如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，BAD=FAB=900，BCAD，BEFA，G、H 分别为 FA、FD 的中点。（1）证明：四边形 BCHG 是平行四边形； （2）C、D、F、E 四点是否共面？为什么？答案与解析【思路点拨【思路点拨】 （1）G、H 为中点GHAD，又 BCADGHBC；（2）方法一：证明 D 点在 EF、GJ 确定的平面内。方法二：延长 FE、DC 分别与 AB 交于 M，可证 M 与重合，从而 FE 与 DC 相交。 【解析【解析】 （1）6（2）方法一：方法二：如图，延长 FE，DC 分别与 AB 交
10、于点 M，BEAF，B 为 MA 中点。BCAD，B 为中点，M 与重合，即 FE 与 DC 交于点 M（） ，C、D、F、E 四点共面。【总结升华】【总结升华】四边形为平面图形可以利用公理 2 和三个推论进行证明，证明出两条边平行或相交即可。 类型三、异面直线所成的角类型三、异面直线所成的角3 3. 空间四边形 ABCD 中，AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为300，E、F 分别是 BC、AD 的中点求 EF 与 AB 所成角的大小答案与解析【思路点拨】【思路点拨】要求 EF 与 AB 所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到 E、F 为中点，故可过 E 或 F 作 AB 的
11、平行线。取 AC 的中点，平移 AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。 【解析【解析】取 AC 的中点 G，连接 EG、FG，则 EG/AB，GF/CD，且由 AB=CD 知 EG=FG，GEF（或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，（或它的补角）为与所成的角。 与 CD 所成的角为300，=300或1500。由 EG=FG 知EFG 为等腰三角形，当=300时GEF=750；当=1500时，GEF=150。故 EF 与 AB 所成的角为150或750。【总结升华【总结升华】 （1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直 线同时平
12、移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：直接平移中位线平移补形平移； （2）求异面直线所成角的步骤： 作：通过作平行线，得到相交直线； 证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； 求：通过解三角形，求出该角。类型四、点共线、线共点、线共面问题类型四、点共线、线共点、线共面问题 4 4正方体 ABCD-A1B1C1D1中，对角线 A1C 与平面 BDC1交于 O，AC、BD 交于点 M求证：点 C1、O、M 共线7答案与解析【思路点拨】【思路点拨】先证明平面 A1C 与平面 BC1D 相交于 C1M，再证明 0点是两个平面的公共点即可。 【解析】【解析】A1ACC1确定平面 A1CA1C面 A1CO面 A1COA1C面 BC1D直线 A1COO面 BC1D O 在面 A1C 与平面 BC1D 的交线 C1M 上 C1、O、M 共线。 【总结升华【总结升华】证明点共线问题可转化为证明这些点是两个平面的公共点，再根据公理3即可证明这些点都在这两个平面 的交线上。2013 年 8 月 22 日-整理
