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1、 数学活动课程讲座 逻辑推理问题的解决策略于 新 华(江苏省常州市武进区教育局教研室,213159)收稿日期:2006 - 02 - 23 修回日期:2006 - 04 - 01(本讲适合初中)在数学竞赛和数学游戏中,有许多推理性极强且不需要太多数学知识的问题,这类问题称为逻辑推理问题.逻辑推理问题主要是由一些相互联系的条件组成.解答这类问题,要从题设条件出发,利用它们的相互联系,根据相关逻辑知识分析推理,排除不可能的情况,从而得出正确的结论.逻辑推理问题中常用到以下四条逻辑基本规律:(1)同一律在同一论证过程中,使用的每一个概念的含义和每一个判断,都应该是确定的,自始至终不能改变.(2)矛盾
2、律在同一论证过程中,对同一对象的两个相互矛盾的判断不能同时为真,其中至少有一个是假的.(3)排中律某事物具有某种性质或不具有某种性质是一定的,没有第三种可能,即同一对象具备或不具备某种性质,二者必居其一,而且仅居其一.(4)充分理由律对于任何事物的肯定或否定都要有充分的理由和依据.本文结合一些赛题,谈谈处理逻辑推理问题的一些主要方法.1 利用逻辑原理,直接推理对于一些简单的逻辑推理问题,往往只 需以似真推理为主,直接通过分析就可以得 出正确的结果.用这种方法解决 “真假话” 问 题尤为有效. 例1 在远方的海岛上,住着两个民族, 一个是 “诚实族”,一个是 “谎言族”.顾名思 义,谎言族的人在
3、说话或回答问题时总是说 谎话,诚实族的人在说话或回答问题的时候, 全说实话. 某记者在此岛上遇到四个岛民,记者照 例对他们进行了采访:“你们都是什么族的? 是诚实族的,还是谎言族的?” 这四个人的回答如下: 第一个人说:“我们四人都是谎言族的.” 第二个人说:“我们之中有一个人是谎言 族的.” 第三个人说:“我们四人中有两个人是谎 言族的.” 第四个人说:“我是诚实族的.” 那么,第四个人是什么族的? 讲解:由第一个人的回答可以判断: (1)第一个人是谎言族的(如果第一个人是诚实族的,他不可能说自己是谎言族的) ;(2)四个人中一定有诚实族的人(否则第一个人说的就是真话,与他是谎言族矛盾) .
4、由第二、 三个人的回答可以判断: 第二个人是谎言族的(如果他说的是真 话,则第二、 三、 四都是诚实族的,与第三个人 的说法矛盾) .下面再看第三个人的情况.如果他是谎2中 等 数 学言族的,由(2)知,第四个人一定为诚实族的. 如果他是诚实族的,由他的说法可以推定第三、 第四两人是诚实族的.因此,无论第三个人是诚实族还是谎言族的,都可推出第四个 人是诚实族的.2 穷举推理穷举推理是将问题不重复、 不遗漏的有 限种情况全部列举出来,然后对各种情况一一枚举,逐个检验,淘汰非解,最终达到解决 整个问题的目的. 例2 一位妇女及她的兄弟、 儿子和女儿共四人都是棋手,水平最差的棋手的孪生者(也是四位棋
5、手之一)和水平最好的棋手为 异性,水平最差的棋手和水平最好的棋手为同年龄.问谁是水平最差的棋手? 讲解:妇女、 兄弟、 儿子、 女儿的年龄有以下几种可能:妇女兄弟孪生 儿子女儿孪生 兄弟儿子同龄 兄弟女儿同龄下面从最差的棋手出发,作出推理. (1)若妇女是最差的棋手 兄弟为孪生者 女儿是最好的棋手 妇女和女儿同龄, 矛盾;(2)若兄弟是最差的棋手 妇女为孪生者 儿子是最好的棋手 兄弟、 儿子同龄 妇女、 儿子同龄,矛盾;(3)若女儿是最差的棋手 儿子为孪生者 妇女是最好的棋手 妇女和女儿同龄,矛盾; (4)若儿子是最差的棋手 女儿为孪生者 兄弟是最好的棋手 兄弟与儿子同龄, 符合条件.3 利用
6、表格辅助推理某些逻辑推理问题中,有时会涉及很多对象,每个对象又有几种不同情况,同时还给 出不同对象之间不同情况的判断,要求推出 确定的结论.对于这类问题,通常可以利用表格把本来凌乱的信息集中整理出来,方便推 理.例3 甲、 乙、 丙、 丁、 戊五位教师,对参加竞赛的A、B、C、D、E五位同学在竞赛中的名次进行预测:甲预测:B第3 ,C第5 ;乙预测:E第4 ,D第5 ;丙预测:A第1 ,E第4 ;丁预测:C第1 ,B第2 ;戊预测:A第3 ,D第4.竞赛结果表明,每个名次都有人猜中.求各人的名次.讲解:将5位教师的猜测依次填入表1.表 1教师名次12345甲BC乙ED丙AE丁CB戊AD竞赛结果
7、表明,每个名次都有人猜中,而第2名这个名次只有丁猜中,故第2名一定是B.那么B就不是第3名,第3名就只能是A.同理,第1名是C,第5名是D,第4名是E.注:通过表格可将原来杂乱无序的信息有序化,从而使问题看起来更清晰,这是解比较复杂逻辑推理问题的一个有效方法.例4 A、B、C、D、E、F六名选手进行乒乓球单打的单循环比赛(每人与其他选手赛一场) ,每天同时在三张球台各进行一场比赛.已知第一天B对D,第二天C对E,第三天D对F,第四天B对C.问:第五天A与谁对阵?另两张球台上是谁与谁对阵?讲解:事实上,本题就是要求列出本次比赛的整个对阵表(表2) .32006年第7期表 2第一天 第二天 第三天
8、 第四天 第五天球台1BDCEDFBCA?球台2球台3? 先考察 ,不妨设这场比赛中D出场.由球台1第一天和第三天的比赛知D不可能对阵B和F,又同时比赛的有C和E,故只能是DA.则 必为BF.再考察 ,不妨设 中有B出场.于是,由第一、 二、 四天的比赛知B只能和A或E比赛.若B和A比赛,则 必为CE.与第二天的比赛矛盾,故 为BE, 为AC.前四天中,B分别对阵了C、D、E、F,于是,第五天中B必对阵A.从而, ?必为B.至此得到表3.表 3第一天 第二天 第三天 第四天 第五天球台1BDCEDFBCAB球台2DABE球台3BFAC? 最后考虑 ,不妨设A参加,则A只能对阵E或F.若AF,则
9、 必为CE.矛盾,故 为AE,为CF.前四天中,C分别对阵了F、E、A、B,则第五天中C必对阵D.于是, 为CD,? 为EF.4 利用计算辅助推理某些逻辑推理问题常常有几个未知量同时存在,或答案有多种可能性,解题时需要充分利用已知条件进行计算,并通过对计算结果的分析,推理得出正确的结论.例5 某次考试满分100分,A、B、C、D、E五个人参加了这次考试.A说:“我得了94分.”B说:“我在五个人中得分最高.”C说:“我的得分是A与D的平均分.”D说:“我的得分恰好是五个人的平均分.”E说:“我比C多2分,并在五个人中居第二.” 如 果他们讲的都是真话,且各人得分都是整数,那么,A、B、C、D、
10、E五个人各得多少分? 讲解:用b、c、d、e分别表示B、C、D、E的得分.下面通过他们的谈话内容,尽可能减 少未知数的个数: 根据E的说法,知B、C、D、E的得分分别为b、c、d、c+2.根据C的说法,知B、C、D、E的得分分别为b、47 +1 2d、d、49 +1 2d.根据D的说法,知5d=94+b+ 47+1 2d+d+ 49+1 2d,即 b= 3d- 190.从而,B、C、D、E的得分分别为3d- 190、47 +1 2d、d、49 +1 2d.再根据他们所说的得分排名次序得3d- 190 49 +1 2d,49 +1 2d 94 ,49 +1 2dd.解得96d97(d为整数) .
11、又由于C、E的成绩也必须为整数,因此,d必为偶数.故d=96. 从而,A、B、C、D、E的得分分别为94、98、95、96、97.5 利用图形辅助推理美国数学家斯蒂恩说过:“如果一个特定的问题可以被转化成一个图形,那么,思想就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问 题解法.” 在解某些逻辑推理问题时,若能将题目 的信息转换成图形语言(几何图形或集合的韦恩图) ,则易把错综复杂、 令人眼花缭乱的 约束条件变得清晰、 具体,然后借助几何直 观,答案也就容易找到了. 例6 某中学初三年级共有250人,毕业4中 等 数 学成绩优秀的学生人数及科目如表4.表 4一 科二 科三科科目数理化数理数化理化 数
12、理化人数131 117 15261796253这里,两科优秀者包括三科优秀者.试说 明上述统计表有错误. 讲解:本题只提供了几个数据,要说明统计有错误,比较常规的想法是找出统计数据 之间的矛盾.图1考虑到涉及科目较 多,可以采用统计图表 的方式来处理.在图1 中,A、B、C三个圆分别表示数学、 物理、 化学毕 业成绩优秀的同学.依题意有a+d+e+g= 131 ,b+d+f+g= 117 ,c+e+g+f= 152 ,d+g= 61 ,e+g=79 ,g+f= 62. 由g=53 ,得d=8 ,e= 26 ,f= 9.进一步得a=44 ,b= 47 ,c= 64.将7个数相加得a+b+c+d+
13、e+f+g= 251250.矛盾.例7 小李和他的哥哥参加了一次集会,同时出席的还有其他两对兄弟.见面后有的人握手问候,没有人和自己的兄弟握手,也 没有人和同一个人握两次手.这时候,小李发现除了自己之外,每个人握手的次数互不相同.问小李握手几次?小李的哥哥握手几次? 讲解:由题意,易得每个人握手次数最多为4次,最少为0次.又由除小李外,每个人 握手次数互不相同,可知,这5个人每个人握手的次数分别为0次,1次,2次,3次,4次. 用点代表人,点之间的连线代表两人握手.分别用F和E代表小李和他的哥哥,A、B、C、D代表另两对兄弟,其中A和B,C和D为兄弟. 首先,考虑连出4条线的点.先排除点E,因
14、为若点E连出4条线,则这4条线必分 别和A、B、C、D相连.于是,就不存在没有线 连出的点,矛盾.故连出4条线的点必在A、B、C、D中.不妨设为点C,这4条连线分别 为CA、CB、CE、CF,则没有线连出的点为D (如图2) .图2图3其次,考虑只连出1条线的点.先排除点E,若点E只连出1条线,则A、B均至多只能再和点F连出1条线.这样,就不会再存在 连出3条线的点,矛盾.故只连出1条线的点 只能是A或B,不妨设为A.此时,E只能再 连出1条线EB,故B和F之间必有1条连 线(如图3) .综上所述,小李握手两次,小李的哥哥握 手两次.练 习 题1.某俱乐部有11名成员,他们的名字分别是AK,这
15、些人分为两派,一派总是说 “实话”,另一派总是说 “谎话”.某日,老师问:“11个人里面,总说谎话的有几个人?” 那天,J和K休息,余下的9个人这样回答:A说:“有10个人.” B说:“有7个人.” C说:“有11个人.” D说:“有3个人.” E说:“有6个人.” F说:“有10个人.” G说:“有5个人.”H说:“有6个人.” I说:“有4个人.”那么,这个俱乐部的11个成员中,总说谎话的有几个人? (答案:9个. )2.A、B、C、D四位同学猜测他们之中谁被评上三好生.52006年第7期A说:“如果我被评上,那么,B也会被评上.”B说:“如果我被评上,那么,C也会被评上.”C说:“如果D
16、没被评上,那么,我也会没被评上.”实际上,他们之中只有一个人没有评上三好生,且A、B、C说的话都是正确的.则没有评上三好生的是.(答案:A)3.一次仅由A、B、C、D四名学生参加的比赛,每人各得了一个不同的名次.赛前,甲、 乙、 丙三位教师预测,甲说:“A第一,C第二.” 乙说:“A第二,C第三.” 丙说:“D第一,B第二.” 比赛后发现,每位教师各猜中1人.问四名学生的名次如何?(答案:A第一,B第二,C第三,D第四. )4.A、B、C三人做下列游戏:三张牌,每张上写一个正整数,这三个数分别是p、q、r,且pqr,三张牌混合后再分配,每人得一张,再按照牌上的数分得小球,接着把牌收回,重发,但分得的小球仍留在手里,这个游戏至少要进行三次.最后结束时,A、B、C三人分得20、10、9个球,还知道B在最后一次游戏中得r个球.问:谁在第一次得到q个球?(
