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1、 保险精算之三保险精算之三王 明 征大连理工大学管理学院 2009年11月第三章第三章 生命表生命表2生命表相关定义生命表相关定义生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。 3生命表基本函数生命表基本函数lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,-1。 ndx：在xx+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dxnqx：x岁的人在xx+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为 qx4生命表基本函数生命表基本函数5=100xxdl1112110nxxxx n nx xxxxxxn
2、nxt tddddqllqqqqq+ =+=+=LL(1)(2)(3)1, 2, 1,1, 2, 1,1=+xnldlxldlnxxnxxxxLL生命表基本函数生命表基本函数6npx： xx+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。当n=1，简记为px 。xnx xnllp+=1nxnxqp +=,nxxnx xx xldlldq+=Q生命表基本函数生命表基本函数7)(22nxxxnnxxnllndnnlL+=+)(21 1+xxxllLnLx：x岁的人在xx+n生存的人年数。人年数是表示人群存活时间的复合单位， 1个人存活了1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，x
3、x+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故当n=1时，生命表基本函数生命表基本函数8 ：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。 当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生 到死亡平均每人存活的年数。 111 0xxxxx t tTLLLL + =+=L()1 01 2xx ix i iTll+ + =+Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。在均匀分布假设下，xeo00xx t xtx xxTlep dtdtll+=o生命表基本函数生命表基本函数9xnqnxxn nxnxxnxxnxxnqpld ll ldq+ +=xmnqnxmxnxmnxn
4、 xmnxnxxnxm xmnqppplll ldq+=：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，或x岁的人在x+nx+n+1岁死亡的概率。：表示x岁的人在x+nx+n+m岁之间死亡的概率。01001xxxxxnxnn mnnnmqmqqqmqp=当时，；当时，；当时，。10301303.13 1(1)3(2)139972550.9972551000000(2)13,1311650.0011651000000l lllll l=例利用表，计算一个新生婴儿存活到 岁的概率。一个新生婴儿在 岁和 岁之间死亡的概率。解： (1) 在 岁和 岁之间的死亡人数为故死亡概率为112575255025
5、5025257530%5025500.22550(*)0.2(*)(*)0.82550(*)0.1250.350750.125750.416725500.350pllllll llllll pl=例：岁到岁之间死亡的人群中，其中在岁之前死亡。岁的人在岁之前死亡的概率为，计算。解： 已知0.3(-)=由式可得：代入可得：由此可推知121000 (1),.20 3020|5 2512050150120(1)77.78%20 30303011204550(1) (1)4550120120(2)5.26%20|5 2525251120xlpqxlplll ql= = = 例：已知计算和解：生存分布生存
6、分布一、新生儿的生存函数二、x岁余寿的生存函数三、死亡力四、整值平均余寿与中值余寿13新生儿的生存函数新生儿的生存函数14F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。新生儿在xz岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：)0()Pr()(=xxXxF( )( ),0f xFxx=)0()Pr()(1)(=xxXxFxs)()()()()Pr(zsxsxFzFzXx=以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示x岁的人在t时间内存活的概率 tpx 当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。x岁
7、的人在t时间内死亡的概率tqxx x岁余寿的生存函数岁余寿的生存函数考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到 了x岁 ，tqx实际是一个条件概率17)()()()(1)()(|PrxstxsxsxFxFxtFxXxtXxqxt+=+=+=例：已知计算。解：由已知条件知，有整值平均余寿与中值余寿整值平均余寿与中值余寿 28x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x)的期望值，以ex表示，xk kkkxxkxqkqpkxKEe=+=00)(整值平均余寿与中值余寿整值平均余寿与中值余寿 29=1txtxqp=22 txtxqpx k
8、kxxxxxxxk kpqqqqqqqk=+=+=01332321 0LLLLLL由于，所以整值平均余寿与中值余寿整值平均余寿与中值余寿 30)()()(xSxKxT+=)()()(xSExKExTE+=21)(=xSE1 2xxee=+o由于故，在死亡均匀分布假设下，故，整值平均余寿与中值余寿整值平均余寿与中值余寿 3121)()(Pr)()(Pr=xmxTxmxT5 . 0)()(=+ xsxmxs中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x岁的中值余寿，则即， 非整数年龄存活函数的估计非整数年龄存活函数的估计死亡均匀分布假
9、设死亡力恒定假设巴尔杜奇(Balducci) 假设32有关非整数年龄的假设有关非整数年龄的假设 使用背景: 生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需 要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两 个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假 定， 估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法 均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值) 33死亡均匀分布假设死亡均匀分布假设34)() 1()() 10() 1()()1 ()( xsxstxstxxstxsttxs +=+为整数，xxttqxsxsxst xstxsxsq=+=)()1()(
10、)()()(假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。死亡均匀分布假设死亡均匀分布假设35xx yxtyqtq yxstyxsyxsq=+=+1)()()(xx txtqq xsxstxsxsxs txstxs =+=+1)1()()() 1()( )()(0t, 0y,0t+y) 死亡力恒定假设死亡力恒定假设 36当假设死亡力在xx+1上恒定时， (x为整数，0t1)，=+txxttxpdtdln=+0 txtdtpee=由死亡力的定义，死亡力恒定假设死亡力恒定假设372/1+xtx+1/2lnxxp+= 1/2()tx txxtpep+=若以表示，有此时，巴尔杜奇巴尔杜奇(Ba
11、lducc(Balducci i) )假设假设38以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设是当x为整数，0t1时，生存函数的倒数是t的线性函数，即) 1()()1 ( )(1 +=+xst xst txs巴尔杜奇巴尔杜奇(Balducc(Balducci i) )假设假设39xxxtqttqq)1 (1=xxyxtqtytqq)1 (1=+xtxtqtq)1 (1=+（其中，0t1, 0y1, 0t+y1） 此时，三种假定下的生命表函数三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci40xtqxtptxyq+() )Ttx x tf t p+(xtqute1xtq1ute1(1)
12、xxp t qxx tqyq 11(1)xxyq yt qxqueut21(1)xxxpq t q ute1tx+xx tqq 11(1)xxq t q1 (1)xxt q tq 生命表的编制生命表的编制一、生命表编制的一般方法二、选择生命表41生命表编制的一般方法生命表编制的一般方法 实际同批人生命表：依据实际同时出生的一批人资料编制的。在实际中一般不采取实际同批人生命表。时期生命表(假设同批人生命表)：采用假设同批人方法编制，描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平，反映了假定一批人按这一时期各年龄死亡水平度过一生时的生命过程。Dx：某年龄x岁的死亡人数；： x岁的平均人数，即年初x岁人数与
13、年末x岁人数的平均数，有时也用年中人数代替。 42xP生命表编制的一般方法生命表编制的一般方法43x岁的中心死亡率 （分年龄死亡率）为，xmxxxPDm=生命表分年龄中心死亡率 ：生命表分年龄死亡人数在分年龄生存人年数中的比例。 xmxx xLdm=生命表编制的一般方法生命表编制的一般方法44xx xLdm=xxxxxxxx xqq dldlldm= +=+22 22)(21 1xx xmmq+=22xmxmxm xm在死亡均匀分布假设下，有，变换后，通常 与 非常接近，实际中常用 近似注： （1） 利用上面的关系，我们可以根据人口统计中的分 年龄死亡编制生命表。（2）我们也可以根据原始资料按
14、统计方法直接估计分年 龄死亡率 ，再编制生命表。（3）根据原始资料估计的死亡率可能不光滑，需要运用 生命表均修技术。选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期，也称为 选择明显期。45选择生命表选择生命表。这一差异可以忽略不计时，当的增大迅速缩小。一般的值随着经验数据表明：岁的死亡概率，有年在经过岁加入保险，表示以已投保年限长短变动。随年龄而变动，而且随不仅一组被保险人的死亡率健康标准加以选择后，在对被保险人依一定的101 12211+nnqqqqqnxnxqnnxnnxxxxnxL的死亡规律。动随年龄和已投保期而变编制的生命表。它表明依据选择生命表：nnq+46称为综合表。率资料
15、编制的生命表，由不分投保年数的死亡终极表选择起，形成表，通常把他们放在一选择效果消失后形成的由于终极表是选择表中注记：的生命表称为终极表。后的死亡概率资料编制依据选择效果已经消失表示，有时，死亡概率可以用上的死亡概率相等。此年的同一年龄年，投保期超过果选择期为亡率只与年龄有关，如当选择效果消失时，死2211=+xrrxrrxrrxx qqqqqrrL选择生命表选择生命表选择生命表构造的原因 需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检 的新成员的健康状况会优于很早以前接受体 检的老成员。 需要构造终极生命表的原因：选择效力会随 时间而逐渐消失47选择生命表函数关系选择生命表函数关系48nxnx nxldq+ +
