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1、第六次习题课第六次习题课 通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。 3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计算。 4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。 一、知识网络图一、知识网络图 1定不分积某些无理函数积分三角函数有理式积分有理函数积分特殊函数的积分查表法分部积分法第二换元积分法凑微分法第一换元积分法换元积分法直接积分法计算方法基本积分公式不定积分的性质性质与公式不定积分的几何意义不定积分原函数基本概念
2、. 4)(. 3. 2. 1一、求不定积分：一、求不定积分： 例例 1. 计算22arctanxxedxe. 提示： 22arctanxxedxe=22 22arctanarctan(1)x xxxx xxdee deeeee =2 22arctan(1)xx xx xxdedeeeee =21arctanarctanxxx xeeeeC 例例 2计算dxxx)1 (1解一 dxxx)1 (1=Cxxxdx2222)21()21()21(ln)21()21()21(1=Cxxx) 1(21ln 解二 dxxx)1 (1=12)1ln(2 )(12)1 (1Cxx xxddxxx =Cxxx)
3、1(21ln 其中 2ln1 CC方法小结当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。 例例 3计算dxexexx2) 1(解一 令，则 texdxexexx2) 1(=dttttt ttddtttdttttt1 11 1ln)11(ln) 1(ln1 ) 1(ln22=Cttttdttttt) 1ln(ln1ln1111ln=Ceexex xx ) 1ln(1解二 dxexexx2) 1(=dxeex edxeexdxxxxx 11 1)11() 1() 1(2=) 1(1) 1(1xxxxxxxxeede exdxeee ex=Ceeexdeeeexxx xx xxx) 1ln
4、(ln1)111(1=Ceexex xx ) 1ln(1方法小结 被积函数中含有的不定积分， 可令, 从而将积分化为其它易积的积分。另一方面，当用分部积分法，其中难以一步得到时，可以先将其中一部分凑成xetexdvu,)()(xdxf的形式，从而)(xdfdv。 例例 4计算22arctan (1)xdxxx. 2解一 令arctanxt，即tgtx，则 tdtdx2sec22arctan (1)xdxxx=222 22seccot(csc1)tansecttdtttdtttdttt=2 cotcotcot2ttdttdttttdt =2 cotln|sin |2ttttC =Carctgxx
5、x xarctgx 2)(| 1|ln22解二 22arctan (1)xdxxx=22211arctan()arctanarctanarctan1xxdxdxxdxxxx=22arctan(arctan ) 2xxdxx21(arctan )arctan2xxdx 22arctan1(arctan ) (1)2xxdxxxx 令tx1，则Cttdtdtttdxxx) 1ln(21) 1(11 21 1)1 (122 222=C xx | 1|ln 2从而原式=22arctan(arctan )ln|21xxxCxx 。 方法小结当被积函数含有难积的反三角函数时，通常的做法是将这一部分作变量替
6、换。另若分母为相差一个常数的两个因式的乘积，则可以将分式拆项，分别积分。 例例 5. 计算dxxx cos1sin1分析一本题属于三角函数有理式的积分, 可以利用万能公式作变量替换。 解一 令tan2xt ，则222212,11cos,12sintdtdxttxttxdx xxsin1 cos1 Cttdtttdttttdtt tttt)1ln()121 (112 12111121 2 2222222=2tanln(1tan)22xxC 3分析二 本题被积函数含有三角函数, 若适当利用三角函数恒等式（如倍角、半角公式、和差化积、积化和差等公式） ，往往能简化计算。 解二 4dx xxsin1
7、cos12212sincossin12222tan2ln |cos2222coscoscos222xxx xxxdxddCxxx |2x 方法小结 一般地，被积函数含有三角函数时，常利用万能公式作变量替换或利用三角函数恒等式进行化简。前者虽然是通用的方法，但往往不是最简便的。另须注意，本题两种解法给出的结果虽然不一致，但求导后都等于被积函数，所以都是正确的。 例例 6计算 dx xbax)(1分析一注意到被积函数中含有两个根式，可以先将其中一个根式有理化，再将余下的根式作变量替换。 解一 xbax axxbaxaxxbax 1)(1令, txbax即,122tbtax,)1 ()(222dtt
8、tabdx dxxbax)(1=2222212()122arctan2arctan()(1)1tba txatdtdttCba tttbxC 分析二本题也可以用凑微分法，计算过程更为简便。 解二 dxxbax)(1=Cxbaxaxabaxdaxd xb arcsin2 )()(222方法小结 当被积函数含有根式时，常常需要对根式进行处理，通常作变量替换，也可以用凑微分法。 例例 7. 计算dxx2sin31分析一 被积函数分子、分母同除以，可化为的函数，利用x2sinx2csc2csccotxdx，22csccot1xx可以将积分化简。 解一 dxx2sin31=22222csccot1cot
9、 2(3csc1)3cot43cot()3xdxddxxxx x=13cot 23 2 3xarctgC。 分析二 被积函数分子、分母同除以，可化为x2cos22sec,tanxx的函数，而利用2sectanxdx，可以将积分化简。 解二 5dxx2sin31=2222 22s secectan1tan (3)4tan343tan()2xdxddxxtg xxxx=1 2tan 433 2xarctgC 方法小结 当被积函数含有或xsinxcos的齐次函数时，常从各项中提取或，凑成或。 x2sinx2costandxcotdx例例 8. 计算 dx xx2411分析一 注意到被积函数中根式内外
10、都有x的幂次，可尝试用倒代换。 解一令tx1，则 dx xx2411=du uuuudutu tdtttdt3t 111 21121121122222=Cuuduuduu121 23 )1 ()1 (3111 21 21=Ctt221 223 )1 ()1 (31=Cxx xx23321 3)1 (分析二本题也可以用三角代换，令tanxt，则根式下可化为。从而 x2sec被积函数可化为、xsinxcos的函数。 解二 令tanxt， dx xx2411=Cttttd ttdtdttdtttsin1)(sin31 sinsin sinsinsinsinsin1 sincos3 244243=31
11、 secsec t()3 tananttCttCxx xx23321 3)1 (方法小结 被积函数中含有x的幂次，可尝试用倒代换，如果出现，或)(22ax )(22xa )(22ax ，)(22xa 则可以采用三角代换，然后利用三角函数恒等式将被积表达式化简。 例例 9. 计算dxxxx1 11分析一被积函数中含有复杂的根式xx 11，因此可以先将此根式作变量替换。 解一令txx 11，则,1122ttx,)1 (422dtttdx从而 dxxxx1 11dttttdttt ttt)1)(1 (4)1 (4 112222222=221112 ()ln2arctan111tdttCttt =11
12、1ln2arctan111xxxCxxx分析二本题可以先根式有理化为dxxxx1 112 ，然后令txsin，即可将根式化去。 解二 dxxxx1 11=dxxxx1 112令tanxt，则 原式=dxxxx1 112 tdtttsinsin1 sin1cos=dtttt sin1 sin1cos2=ln csccottttCCttdtcsc =Cttdtcsc=ln csccottttC =Cxxx xarcsin11ln2方法小结 被积函数中含有复杂的根式，可以先将根式作变量替换。可以先根式有理化，然后通过三角代换将根式化去。 例例 10. 计算dxxx32cossin分析一 xdxxdx
13、dxxxdxxxsecseccoscos1 cossin3 3232 ，而前一个积分可以用分部积分法，后一个积分可以利用常用积分公式。 解一 xdxxdxdxxxdxxxsecseccoscos1 cossin3 3232由于32secsectansectantansecsectansecsec3xdxxdxxxxxdxxxxdxxdx故311secsectansec22xdxxxxdx6从而原式=311secsecsectansec22xdxxdxxxxdx=11sectanln sectan22xxxxC 分析二注意到223sinsintantan sintancoscosxxdxdxxx
14、dxxx，本题也可以用凑微分法。 解二 22 2 3sinsin1tantan sintansin(tan )coscos2xxdxdxxxdxxdxxx=221111sin (tan )sintansin (tan )tancos2222xxxxdxxxxdx =22111sin (tan )tan coscos sec222xxxxxxdx =2111sin (tan )tan cossec222xxxxxdx =11tan (sintancos )ln sectan22xxxxxxC 方法小结在用分部积分法的过程中，常会出现所求积分在等式右端再现的情况，从中即可求出所求积分。 例例 11(2004年高数一)已知，且xxxeef
