《一类普朗特边界层方程逼近解的初步探讨》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一类普朗特边界层方程逼近解的初步探讨（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、太原理工大学硕士学位论文一类普朗特边界层方程逼近解的初步探讨姓名：李红军申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：邱宜坪2003.5.1查臻墨兰查鲎堡主兰垒堡壅一一一一_ _ H _ - 一一类普期特边界层方程逼近解鲍初步探讨摭要本文详缨分缨7 近年来发展起来约逆算符理论，阚述了逆算符方法的基本思想，步骤以及关键技术。该方法具有精度高、限制少、能够解决强非线性阀题等优点。本文还建立了一类普朗特边界层问题的数学模型。普朗特边爨层方程和纳维嫣援克婚方程楣比，有了重大黪籀化。原来有三个未知函虬v , p 及三个方程，现在只有两个未知函数甜，v 及嚣个方程，且糙性顼也少了一些，这些都是篱化的地方。但另
2、一方面也应看到，边界层方程依旧是一个二阶的非线性偏微分方程缨，方稷的非线性的牲屡仍然僳整，这使得在数学上求它的解还是相当困难的。本文挺逆舞符方法应用到了普朗特边界层方程土寒，并虽求出了逼近解析解。所得结果还是令人满意的，因为在求解过程中避免一些爻在数学上易求解所终的假设。掰以结果是符合实际意义的。并且进步说明该方法有着广大的应用范围和发l太原理工大学硕士学位论文展前途。关键词：逆算符方法，普朗特边界层，逼近解析解查堕墨三奎堂堡主堂篁笙苎_ 一A nO r i g i n a lS t u d yo nt h eA p p r o x i m a t eS o l u t i o nf o rA
3、K i n do fP r a n d t lB o u n d a r y _ L a y e rE q u a t i o n sA B S T R A C TI nt h i sp a p e r ，t h ei n v e r s eo p e r a t o rm e t h o d ( I O M ) i sd e s c r i b e d ，w h i c hh a sb e e nd e v e l o p e di nt h ep a s td e c a d e T h i sp a p e ri n t r o d u c e st h eb a s i ct h o
4、u g h to fm e t h o d ，s t e p sa sw e l la sc r u c i a lt e c h n o l o g y T h ei n v e r s eo p e r a t o rm e t h o dh a sm u c ha d v a n t a g e ，s u c ha sh i i g hd e g r e eo fa c c u r a c y ，l i t t l el i m i ta b i l i t yt os o l v es t r o n gn o n l i n e a rp r o b l e ma n dS Oo n
5、 T h i sp a p e rh a se s t a b l i s h e dac l a s so fm a t h e m a t i c sm o d e la b o u tP r a n d t lb o u n d a r yl a y e rp r o b l e m C o m p a r et oN a v i e r - 一S t o k e se q u a t i o n ，P r a n d t lb o u n d a r yl a y e re q u a t i o nh a si m p o r t a n ts i m p l i c i t ya
6、n de a s i e r A c t u a l l y ，N Se q u a t i o nh a st h r e eu n k n o w nf u n c t i o n sU ，v ，Pa n dt h r e ee q u a t i o n s ，n o wP r a n d t lb o u n d a r yl a y e re q u a t i o nh a st w ou n k n o w nf u n c t i o n sU ，va n dt w oe q u a t i o n so n l y ，a n dv i s c o s i t yt e r m
7、 sh a sp a r t l yr e d u c e d B u to nt h eo t h e rh a n d ，s h o u l da l s os e e ，b o u n d a r yl a y e re q u m i o na sb e f o r ei san o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns e to ft w os t e p s ，t h en o n l i n e a rn a t u r eo fe q u a t i o ni ss t i l l奎篷望三奎堂塑圭兰建笙壅一一r
8、 e t a i n e d ，S os o l v i n gt h i ss y s t e mo fe q u a t i o n so nm a t h e m a t i c su n t i ei sf a i r l yd i f f i c u l t I nt h i sp a p e rIh a sa p p l i e di n v e r s eo p e r a t o rm e t h o dt ot h es o l u t i o no ft h en o n l i n e a rb o u n d a r yl a y e re q u a t i o no
9、 nb a s eo ft h ef o r m e rk n o w l e d g e ，a n dh a v eg o t t e nt h ea p p r o x i m a t ea n a l y t i cs o l u t i o n T h er e s u l ti ss a t i s f a c t o r ys t i l l S o l u t i o no b t a i n e di sp h y s i c a l l yr e a l i s t i cb e c a u s eo ft h ea s o i d a n c eo fa s s u m p
10、 t i o n sm a d ep u r e l yf o rm a t h e m a t i c a lt r a c t a b i l i t yb yu s u a lm e t h o d s I ti sF u r t h e re x p l a i n e dt h a tt h i sm e t h o dh a v el a r g e a p p l i c a t i o ns c o p ea n dd e v e l o p m e n tf u t u r e K e y w o r d ：I n v e r s eo p e r a t o rm e t
11、h o d ，P r a n d t lb o u n d a r y 一一l a y e r ，A p p r o x i m a t ea n a l y t i cs o l u t i o n4太原理： 大学硕士学位论文1 引言著名科学家爱因斯坦曾经说过：“由于物理学的基本方程都是非线性的，因此所有的数学物理都必须从头开始。”实际上，自然界和人类社会中普遍存在着各种非线性及随机现象，因此反映真实世界的自然科学、技术科学及社会科学理应将上述因素考虑进去，在非线性科学迅速发展的今天，不仅是数学物理，几乎所有学科和领域都面临着严峻的挑战，主要问题是考虑进了强非线性、强随机及相互作用后，将导致
12、迄今科学界尚难求解，或根本无法精确求解的非线性随机数学方程。长期以来，科学工作者就这一科学研究的前沿问题做了不懈努力和多方面探讨，并取得了一定成就，其中特别是美国数学物理学家G A d o m i a n提出的“逆算符理论”以其巨大的优越性，自从上世纪八十年代以来其理论及应用研究成为国际上相当活跃的领域。近年来，在有效求解非线性偏微分方程边值问题方面，迈出了可喜的步伐。可是，在我国此方面的研究却少有问津。本文对十分重要的一类强非线性偏微分方程的边值问题普朗特边界层问题的简单情形，半无穷长平板的层流边界层的数学模型，用逆算符法求其逼近解析解进行了初步探索，并获得了较满意的结果。奎堕望三盔堂堡主鲎
13、竺堡壅- _ _ _ _ 一2 逆算符方法的简介2 1 逆算符方法的概况2 1 1逆算符方法的基本思想G A d o m i a n 提出的逆算符理论方法，目前较流行的叫法是“分解法”，也可以称为“逆算符分解法”。顾名思义，分解法就是对欲求解的方程进行适当的分解之后，然后采用特殊的技巧逆算符技术，进一步分别分析处理它们，最后给出方程所需的任意精度的逼近解析解。因此，分解法的基本思想主要包含三层：一是把一个方程的真解分解为若干个解分量之和，设法分别求出各阶解分量，然后让这些之和以任意所需的高精度逼近真解；二是把整个方程恰当地分解为若干部分，主要按照算符分解为线性、非线性、确定性及随机性各部分；三
14、是对非线性中最要害的非线性项的处理提出巧妙的方法，产生一个与其等价的多项式，所谓G A d o m i a n 多项式，即用一个特殊有规可循的多项式替换非线性函数。这样进行分解后，对原方程做算符运算，并得到解分量的“递推关系”，求出各阶解分量，最终就得到能满足任意精度的逼近解。2 1 2逆算符方法的特点该方法主要有以下特点，亦是此方法之优点：1 该方法适用于研究最一般的物理过程及客观事物。包括非线性、非平衡及随机各种系统。2 该方法适用于强非线性( 及强随机性情形) 根本不必任何线性化近似、封闭截断( 及统计分离性) 等其它方法所做的假设，因而处理结果将2奎堕望三奎兰堡主兰垡笙奎更符合客观实际
15、。3 该方法可统一求解一大类非线性随机系统。具有普适性大，简单方便、精确度高及计算量少等优越性。4 该方法易于在计算机上实现对整个方法和计算机过程的自动符号推导及运算，走数学机械化的道路。不过，任何方法都有两面性，分解法现在暴露出来的主要缺点是，其逼近解析解的形式并非是唯一的，从而算符的选择对求解的难易及该方法的收敛速度有决定性影响；用该方法对非线性随机系统所得的解过程为一系列随机级数解，它只能用来研究系统解过程的统计性质，而不是随机系统解过程的本身真解。然而这些不足与其优点相比，优点更为突出和重要，使其有很大发展潜力和广阔应用前景。2 2 逆算符方法的步骤对于一般非线性算符方程：上甜q -
16、R u + N u = g ( 工) ( 2 1 )其中L 为最高阶( 线性) 微分算符，R 为其余确定 霪线性算符， 伪非线性项，g ( x ) 为非齐次部分。一般，仅讨论三是可逆的情形，于是用逆算符三_ 1 作用于式( 2 1 ) 等号两边，得：“= - L - 1 R 甜一r l l V h + 上一1 9 ( 工) + 妒o ( 2 2 )其中满足上= O 及初始条件和边界条件。G A d o m i a n 提出的逆算符方法，除了上述算符及求逆之外，须把方程的解分解为无穷个分量之和，即“= 参数化：“= 刀，N u = 爿。刀 = 0n = 0并且将式( 2 4 ) 代入式( 2 2
17、 ) 得：( 2 3 )( 2 4 )U n , z n = 一五f 1 R “。刀一2 1 1 爿。刀十三- 1 9 ( 功+ 仇( 2 5 ) = 0n = 0n = 0比较方程( 2 5 ) 等号两边A 的相同幂次项，得：“o = L - 1 9 ( x ) + 妒o ，“1 = 一L - 1 R u o - L - 1 4 “2 = 一L - 1 R u l - 1 7 1 4 ，“= 一L - 1 R u 。- L - 1 以( 2 6 )其中A 。称为A d o m i a n 多项式，关于如何产生A d o m i a n 多项式是逆算符方法的一个关键技术，将在后面专门讨论。如前
18、所述，钆可以确定，从而“。可以得出。由式( 2 6 ) 可以看出：“1 取决于“o ，厶；U 2 取决于“1 ，A l ；：即U 。+ 1 只取决于“。，A 。a 这就表明，任意高阶解分量只取决于前面的低阶解分量及相应的A d o m i a n 多项式。只要A d o m i a n 多项式产生出来，方程( 2 6 ) 的各阶解分量便不难随之求出。最后便得到了非线性方程( 2 1 ) 的逼近解析解的n + 1 项表达式妒。2 U o + U I + U 2 + + U 4太原理工大学硕士学位论文当”j 。时，妒。专“，只要n 足够大，伊一“一0 。即逆算符方法是收敛的，这已由A d o m
19、i a n ，C h e r r u a n t 等人所证明。业已证明，A d o m i a n 的逆算符方法所得的逼近解析解不但收敛，而且收敛速度相当快，能达到惊人的精确度。一般，n 取3 6 项，近似解析解妒。之精度就相当可观了。综上所述，逆算符方法主要涉及两个关键技术：一是如何分解线性算符工以确定相应的格林函数，即上文提到的；= 是如何产生与方程中的非线性函数等价的特殊多项式，即A d o m i a n 多项式。一旦这两个技术问题解决了，原则上非线性方程的求解问题就迎刃而解了。2 3 格林函数的确定在逆算符方法的求解过程中，必然要涉及确定格林函数的问题，下面讨论与此有关的问题。2 3
20、 1格林函数的概念为了求解下列线性算符方程L u = g ( f ) ( 2 7 )这里为作用在函数“O ) 的空间上的一个线性微分算符，假设能找到三的逆算符三，则皿。= L - 1 L = I ，为单位算符。若L = d d t ，贝, l J L - 1 = p 。对于一般微分算符三，我们可以假设：L - 1 为具有一个核G ( t ，r ) 的积分算符，故有：“( f ) = f l g ( o = f G ( t , r ) g ( r ) d f ( 2 8 )只要求得G ( t ，f ) ，则给出的微分方程( 2 7 ) 的解。这个G ( t ，力就称为格S一一查堕墨三盔堂堡主堂垡
21、堡奎一林函数。用L 可以对式( 2 8 ) 运算一次，有L u = Lf G ( t ，r ) g ( r ) d r = g ( f ) 根据分布函数理论可知：表示的微分运算和其积分运算是可以互换的，故有：g ( f ) = S L G ( t , r ) g ( r ) d r = p ( f _ f ) g ( f ) d f 则必有：L G ( t ，f ) = 6 ( t f ) ( 2 9 )这里6 = ( f f ) 为D i r a e 函数。方程( 2 9 ) 就是格林函数所要满足的微分方程。格林函数的物理意义是它对单位源的影响函数。2 3 2格林函数的求解关于格林函数的求法
22、，我们这里以非齐次S t r u m L i o u v i l l e 算符为例作简单说明。非齐次S t m m - L i o u v i l l e ( 简称s L ) 方程是一个具有可变系数的线性二阶微分方程，它有广泛的应用。我们考虑下列方程：L u ( t ) = g ( f ) ( 2 1 0 )对于S L 方程，则有：工一( 丢) 豪愀) ( 2 1 1 )t ，b ( 有两端给出适当的边界条件) 。则式( 2 1 0 ) 化为一( p u ) + q u = g ( f )( 2 1 2 )假设p 在陋，叫上是一个连续函数，P 和g 在陋，b 】上也连续，则上述6奎璺堡三奎堂堡
23、主堂垡笙奎方程( 2 1 2 ) 的解，根据格林函数G ( f ，f ) ，形式上有：“( f ) ：L - I g ( f ) = f G o , r ) g ( t ) d t ( 2 1 3 )从上可知：L G ( t ，f ) = 6 ( t f ) ( 2 1 4 a )即一掣 + g ( 抽熙加即叫( 2 1 4 b )若t f ，则G 满足齐次方程：L G ( t ，r ) = 0 ( 2 1 5 )假设我们能够造出G ( t ，f ) ，则非齐次s L 方程的形式解为：( f ) = f G ( t ，r ) g ( r ) d r ( 2 1 6 )现在我们来求G 也f )
24、，对于齐次S - L 方程上“= 0 ，设满足边界r = 4 上的解为“，满足边界条件f = 6 上的解为“：。对于f r $ t 1 方程( 2 1 5 )满足上述相同的边界条件，则有：k “l ( f ) ，t r我们将它们表示为：f G tt f并目要满足下列要求的性质：7一一奎堡望三奎堂堡主堂垡笙苎_ _ _ - H _ _ _ _ _ _ _ _ 一。每个G l 、G 2 都满足齐次S - L 方程，即三G = 0 。G 。、G 2 各自满足G = g ( t ) J E E t = 口和f = 6 上的边界条件。在t = f 处，G 必须是连续的，即G 。= G 2 。对于非常靠进
25、源点f 的t ，当积分方程( 2 1 4 b ) 时，从f s 到f + s 积分，且占斗0 时，则有：_ p ( r ) 警产叫r ) 等“( 2 1 9 )即刊 竽掣一d G ( r 出s O , r ) “由此可见：格林函数G 具有一个重要性质，即在t = f 点G 对x 的导数具有一个阶梯不连续性，其跳跃量级为- 1 p ( r ) ，这个不连续性不是个有限值。除f = f 外，G 满足齐次方程。因而方程( 2 7 ) 的解在t = r 处奢I 燎，即G l ( f = r ) = G I O = f ) 。最后G 必满足边界条件。同时，我们可以看到：G 必是对称的，即G ( t ，f
26、 ) = G ( r ，t ) 。根据上述性质，我们就可以构造相应的格林函数G 。为此，我们指出下列定理：只要x ( f ) 和y ( t ) 是下列齐次S L 方程的解“。+ p ( t ) u + q ( x ) u = 0 ( 2 2 0 )其中P ，q 在 口，b J 2 连续，则对于石( f ) 和y ( f ) 在【口，b 内的线性无关的必要和充要条件为W m n s k i n 行列式不为零，即令W m n s k i n 行列式为：陋) y ( r ) J - 生k ( f ) y ( r ) lp ( f )则( 2 2 1 )太原理工大学硕士学位论文x y - x y =
27、A p ( t )这里爿为A b e l 常数。我们就有格林函数：G ( t ，f )一万1z ( f ) y ( f )一一1x ( f ) y ( f )A口t f( 2 2 2 )f J ，必有C ( f ，J ) = 0 。有了这些关系，不难算出D “厂。为了方便，引进下列记号啉，) = ( d u l 删) ( 2 3 0 )F ( O = d t f lc h l I则( 2 8 ) 可以按照C 及甲改写。例如D 3 f = 、壬，( 3 ，1 ) F ( 1 ) + 3 甲( 1 1 ) 、壬，( 2 ，1 ) F ( 2 ) + 、壬，( 1 ：, 3 ) F ( 3 1 =
28、( a 3 “a 刀) ( 矿O u ) + 3 ( o u o , z X 0 2 “觑2 ) ( a 2 厂锄2 ) + ( 抛觑) 3 ( a 3 f O u3 )( 2 3 1 )于是可以很快的从( 2 2 5 ) 中求出A 。，我们可以得到c ( ) 和V ( f ) 的对应关系：奎堕垄三奎堂堡主兰堡笙塞c ( o ，0 ) = t F ( 1 ，0 ) = 1C ( 1 ，1 ) = T ( 1 ，1 )c ( o ，J ) = O ，对玎 0C ( 2 ，2 ) = 甲( 1 ，2 )( 2 3 2 )C ( 1 ，2 ) = 、壬，( 2 ，1 )c ( 3 ，3 ) = 甲(
29、 1 ，3 )c ( 2 ，3 ) = 3 q J ( 1 ，1 ) 甲( 2 ，1 )c 0 ，3 ) = 甲( 3 ，1 )假设矗o ( “。) = ( d “I d u “) ，o ( A ) I 。，所以从( 2 2 5 ) 求得A d o m i a n 多项式显示表达式：A o = h o 。)A l = h i 以o IA 2 = h 1 ( U o ) “2 十h 2 ( U 0 ) ( 1 2 ) u l 呜= h i ( “。) “3 + 2 ( “。) “l “2 + 3 ( “。) ( 1 6 ) u 1 3A 4 = h i ( “。) “4 + 2 ( 。) 0 2
30、 ) u 2 2 + “I 甜3 】+ 3 ( “。) ( 1 2 ) “l2 “2 】+ 4 ( “。) ( 1 2 4 ) u 1 4 】( 2 3 3 )使用显示微分算符，对于与导数无关的非线性函数，( “) ，如“2 ，“3 ，“4e ”，s i n u 等等，这些都易于算出A 。及“。2 4 3A d o m i a n 多项式的对称写法对于非线性函数为幂次多项式N u = b u ”情形时，有一种对称规则能够非常方便地得到A d o m i a n 多项式。以下采用参数化形式加以说明：“= L - 1 9 一砒一1 R “一舡一1 6 “令1 2奎垦望王奎堂堡主兰垡堕奎“= E “
31、。及“=由此可以得到刀4 。H = 0A o = U o “A l = m ( u l u o ) 4 0 = m “or n - I “12 A ：= 咖一1 ) ( u 。) 4 。+ 2 m ( u 2 u 。) 厶= m ( m - 1 ) u o m - 2 “1 2 + 2 m u ：“。”13 A 3 = ( - 2 ) ( u l u o ) 彳2 + ( 2 m 一0 ( u 2 u o ) A 1 + 3 m ( u 3 u o ) A o：n A = 埘一( 玎一1 ) 】 l u o ) 彳。一I + 2 埘一( 胛一2 ) 】( “2 u o ) 4 2 + n m
32、( u 。u o ) 彳o( 2 3 4 )由此可导出对于m 2 情形有一种对称规则能方便地写出爿。设州= 2 并将上式改写为对称形式：A o = U o U oA l = U O I l + u g u oA z2 “。“2 - I - U l U l U 2 1 A 1( 2 3 5 )A s = U o U 3 + U l U 2 + U 2 U 1 + U 3 U oA = U o U H + U l U 一l + + “ 一l 蚝+ U n U o上述对称规则的特点是：第一个脚标从0 依次写到n ，第二个脚标依次从n 到0 ，脚标表示相应的解分量，每项分量积的脚标之和为月。乘积因子(
33、 分量) 的数目等于m ，每项脚标之和为H 。因而，若N u = b u ”则我们有：“= 一L - 1 R u 。一r 醐。，( 2 3 6 )这里A ，=“f ”， I - “。( 2 3 7 )f + + t 十+ 怛n每项乘积的分量数目等于m 。由此可见，我们很容易地求出A d o m i a n 多太原理工大学硕士学位论文项式的任意4 。以上介绍了几种方法就是求解初等非线性函数的A d o m i a n 多项式的基本方法。一般情况下应用起来都比较简单，但考虑到数学机械化的要求，隐式微分算法应用的更经常些；至于复杂非线性函数的A d o m i a n 多项式的求解，原则上同初等非线
34、性函数的情形没有什么区别，因为对并没有特别的限制，为帮助理解可以将复杂函数看作初等函数的组合( 即复合函数) ，然后在求导时按照复合函数的链导法则就可以得到与初等函数一样的结果，为了使逆算符方法更有效的应用到众多领域，还应该在理论和技巧上进一步加强研究，已有的欧拉变换法和专门有效处理复杂非线性函数的“R a c h 规则”等都是很好的实践。目前这方面的研究也很活跃。在得到格林函数和A d o m i a n 多项式之后。逆算符方法理论上的基本问题可以说已经解决了。2 5 逆算符的最新进展和应用状况2 5 1最新进展由于逆算符方法的较大优越性，国外正对其进行更深入的研究，特别是对偏微分方程的研究
35、优为活跃。非线性随机偏微分方程的求解是非常困难的课题，逆算符方法的新进展为解决这个难题提供了有效的方法。( 1 ) 双重分解法G a d o m i a n 及其合作者首先证明了偏微分方程所有部分解的等价性，即方程中任意一个偏微分算符相应方程所得到的部分解都是相等的，基于此定理，不必对所有的偏微分算符求其相应的方程的部分解，而原则上只求出一个部分解就可以了。1 4太原理工大学硕士学位论文双重分解法除了相对普通分解法而言，除了对非线性偏微分方程进行算符分解之外，最重要的步骤就是增加了对初始项“。的进一步分解( 双重分解) ，这样做，是为了将边值问题转换为初值问题，而初值问题当然比边值问题的求解要
36、简单。总之，双重分解法将分解法的优点进一步发扬光大，特别是对强非线性问题，它比其它近似解更符合实际，能有效地处理复杂的非线性偏微分方程的初值即边值问题，并节省了计算量。但这种方法要求在分解时有很高的技巧。( 2 ) 渐近分解法渐近分解法是分解法的逆情形，即将普通分解法中的彳。和“。的位置互换，得到一。的由“。表示的表达式，然后按照普通分解法的步骤来求解。值得注意的是，该方法是通过微分而不是积分运算得到各阶解分量。2 5 2应用状况逆算符方法的优越性，使它获得了广泛应用。该方法已经在非线性力学、非线性等离子体、统计物理及凝聚态物理、粒子物理及非线性混沌行为的计算和研究中取得了极大的成功。国际上一
37、些著名专家对该方法给予了很高的评价，R b e l l m a n 指出：“G a d o m i a n 的整个工作对数学、物理、工程、经济、生物及医学都产生了深刻的影响。它可以被看作对二十世纪科学的伟大贡献。他的成果是科学的一个突破性进展，其重要性迄今难以估计。”在国内，进行这方面研究的科研人员较少，只有i 奄獭神国原子能科学研究所的方锦清先生及其合作者将该方法用于广义D u 颇n g 方程及广义耦合D u f f i n g 系统，多元激光系统混沌行为研究；太原理工大学的武宝亭教授及其合作者将之方法应用到了化工方面的非线性方程中，并取得了令人太原理工大学硕士学位论文满意的结果。关于将该方
38、法应用于普朗特边界层方程求解，迄今尚未见报道。1 6太原理工大学硕士学位论文3 普朗特边界层数学模型普朗特边界层理论是考虑粘性不可压缩流体运动，在雷诺数( R e )非常大的情形下的近似解法。所谓雷诺数，就是指惯性力与粘性力之比。雷诺数大的意思是指：在大部分流动区域内，惯性力远远地大于粘性力，惯性力起主导作用。由于惯性力远大于粘性力，我们首先会很自然地想到是否可以将方程中的粘性力全部忽略掉，这样做似乎应该得到很好的结果，但是实际情况并非如此。那么为什么在大R e 数情形下，不能全部忽略粘性力? 究竟应当怎样才能正确的处理大R e 数流动呢? 下面我们曹先介绍一下边界层的概念。3 。1 边界层的
39、概念将平板或有曲度的物体放在风洞里吹风。假设R e 数很大，测量各个截面上的速度分布( 本文只涉及平板情形) 。根据实验测出的速度分布曲线，整个流场可以明显地分成性质很不相同的两个区域( 如图3 1 所示) 。图3 11 7一奎垦堡三奎堂堡主堂堡笙壅_ 一一一一个仅贴物面非常薄的一层区域称为边界层；另一个是边界层的整个流动区域称为外部流动。根据实验结果可以看到在外部流动区物面对于流动的滞止作用大大地削弱，各个截面上x 的速度分量变化得很缓慢，锄砂很小( 。是流动速度) ，因此粘性力f = 娑在大R e 数情形的确较惯性力小咧很多( 粘性系数也很小) ，可以将粘性力全部略去，把流体近似地看成是理
40、想的。而且因为考虑的是均匀物体的流动，从实验测出的速度分布可看出整个速度分布和理想物体绕物体的速度分布十分接近，在平板情形就是均匀来流U ，边界层中情况恰好相反。在边界层内速度分量U 沿物面的法向变化非常迅速，它比起沿切向变化高一个数量阶。这是因为，一方面物体必须粘附在物面上，它在物面上的相对速度等于零；另一方面，当流体离开物面很短的一段距离到达边界层外部时，速度立即取外流流动的势流值。速度从相当高的势流值连续降低到物面上的零值是在非常狭窄的边界层内完成的。因此它的变化异常急剧，坡度锄砂甚大。虽然在大R e 数情形，流体的粘性系数x 很小，但因锄勿很大，粘性应力f = p 娑仍然可以达到很高的
41、数值。此时粘性力掣不是如同外部流动那样显著地小于惯性力，而是一个与惯性力同阶的量，它所起的作用与惯性力同等重要，必须一起加以考虑。由此不难看出，在边界层内决不可能全部忽略粘性力，而必须研究粘性流体在薄边界层内的流动，否则的话，就不符合实际情况，也难以期望得到正确的结果。因为在广大的外部流动区域内，粘性力的确大大地小于惯性力，可以忽略粘性力但是在狭小的边界层内部必须考虑粘性影响，因为在那里粘性力和惯性力同等重要，边界层所占的区域虽小，但是却非常重要。物理量太原理工大学硕士学位论文在物面上的分布、摩擦阻力及物面附近的流动都和边界层内流动紧密地联系在一起。那么究竟应该怎样做才能正确地处理大R - e
42、 数流动呢? 答案也是十分清楚的。根据实际流动情况，应当把整个流场分成外部的理想流体运动和边界层内的粘性流体运动两部分。第一部分流动属于理想流体范围，本文不再进行研究，我们可以认为外流的解已经求出，特别地求出了边界层外部边界上的压力分布和速度分布，它将作为边界层流动的外边界条件，第二部分流动属于粘性流体范围，本来描写边界层内粘性流体运动方程是纳维斯托克斯方程( 简称N s方程) ，但因为边界层厚度占比特征长度小的多，而且x 方向速度沿法向的变化比切向量大得多，所以N S 方程在边界层内可以得到相当大的简化。简化后的方程就是普朗特方程。下面我们就来介绍它。3 2 普朗特边界层方程的推导我们对平板
43、推导二维边界层方程，取直角坐标系0 砂，工轴与平板重合，J ，轴垂直平板。在这个坐标系内写出粘性不可压缩流体的基本方程组，即纳维斯托克斯方程，细节参考文献 2 。其中，竺+ 竺：0出卯鲁+ “罢+ V 多一吉塞+ 飞f 丽c 0 2 u + 矿C 0 2 2 1 c 3 + “- + v 一一= + K _ + = _ I( 1 ja f缸勿p 舭I 缸2却2J加加加1 劬f a 2 va 2 v 、瓦州瓦 万2 一万季+ r l 矿+ 矿j“纵向速度；v 槽向谏摩：奎堕望三查堂堡主堂焦堡苎，压强；p 流体密度；F 运动学粘性系数。( 其中，需指出K 与u 的关系为茁= 坐)要解出上述非线性微
44、分方程组是很困难的，为此需将其作进一步的简化。根据普朗特发现，当R e 数较大时，边界层的厚度相当地小，这就是说，假若距平板前缘的距离为x 处的边界层厚度为万的话，则占远远地小于工，据此若对二维稳定层流流动的纳维斯托克斯方程中各项的量进行数量级分析，可以发现其中某些项可以略去。详细的数量级分析此处不再赘述，可参考文献 2 】，仅列出简化的结果：1 、由于边界层厚度占与距前缘的距离工相比是很小的，故箕的数O x 。值与鲁相比也很小，可将其略去。O V 。2 、因为边界层很薄且附着于壁面，故边界层内的流速v 远较x 方向的流速“小，并设粘度的数量级亦很小，那么方程中、所有包含v及其导数的各项的数量
45、级均很小，亦可略去。3 、由于上述这一点可推得：吉考= 芳罄+ 矿G 3 2 , p 由于上述中右边各项的数量级都很小，均可视为零，因此可认为害= 0 ，这个结果很重要，据此可以认为，边界层内的压强近似地等于边2 0太原理工大学硕士学位论文界层外外流区域流体的压强，这样就可以从边界层外的流动求出塞。根据上述几点的进一步简化，则二维稳定层流流动的纳维斯托克斯方程可变为：I 丝+ 型：oJ 苏砂I 丝丝。丝；一1 - 加- r + ，塑I 瓦栅瓦丽。一p 匆+ r 百a yI 西巩砂p 砂2现在我们来讨论方程组( 3 2 ) 的边界条件及初始条件边界条件：1 ) 在物面y = 0 2 ：满足粘附条
46、件= v = 0 ；( 3 2 )2 ) 在边界层外部边界y = 6 ( 占为边界层的厚度) ，“= u ( 功，其中U ( x )是边界层外部边界上外流的速度分布。根据边界层渐近的趋于外流的性质，条件2 ) 还可用下面的条件代替，即2 ) y j0 0 时，U = U ( 工) 因为方程( 3 2 ) 的解具有渐近性，它在y = 占上的值与y = 0 0 上的值己相差很少，故在Y = 占处或在Y = o 。处所得到的解将相差不大。初始条件：3 )在t = t 。时，给出速度函数H 及v 。根据普朗特建议的方法，边界层边线上的压力分布即边界层内的压力分布就是理想流体绕原物理流动中物面上的压力分
47、布，而理想流动的运动方程在物面上采取下列形式：型+ u 型：一三垒前缸p 苏2 l一一奎堕堡三奎堂堡主堂焦笙塞一一- _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ - - _ - _ - _ _ _ _ _ 1 一一一一于是方程组( 3 2 ) 亦可写成：I 坐+ O v ：0j 积o y( 3 3 )I 詈+ “瓦O u + V 舅= 百O U 十u 詈+ 茁矿0 2 ua t钒却8 t融铆t边界条件及初始条件为：j 在物面= o 上，甜= v = o ； 在y = 渤哼0 0 时，甜= U ( x ，f ) ；( 3 4 )l 当f = t o 时，已知“
48、，v 的分布。一般我们采用式( 3 3 ) 与式( 3 4 ) 解边界层问题。式( 3 3 ) 是由两个非线性偏微分方程组成的方程组，用来确定两个未知函数u ( x ，Y ，f ) 及v ( x ，Y ，t ) ，方程( 3 - 3 ) 称为普朗特边界层方程。普朗特边界层方程和纳维斯托克斯方程相比，有了重大的简化。原来有三个未知函数U ，v ，P 及三个方程，现在只有两个未知函数“，v 及两个方程，且粘性项也少了一些，这些都是简化的地方。但是另一方面也应该看到，边界层方程依旧是一个二阶的非线性偏微分方程组，方程的非线性的性质仍然保留，这就使得数学上求它的解还是相当困难的，本文将用前面叙述的逆算
49、符方法一类简单的普朗特边界层方程的逼近解析解，即下面我们将介绍的半无穷长平板的层流边界层的普朗特方程。3 。3 半无穷长平板的层流边界层的普朗特方程有一个既薄又长的平板在辽阔的天空中以等速u 沿板面方向运动。这个问题可抽象为：无限空间中一均匀气流以速度u 沿板面方向定常地向一半无穷长且厚度为零的平板流来。显然，在物面上产生了一层薄边界层。这一薄层内的流体运动就是现在我们所要研究的对象。取直角坐标系，一一奎堕堡三查堂堡主堂焦笙苎_ _ _ 一原点与平板前缘重合，x 轴沿来流方向，y 轴垂直平板( 见图3 2 所示) 。图3 ，2因平板没有厚度，当理想流体沿平板方向流过平板时，平板对流动没有扰动，
50、因此外流的速度是均匀的且等于常数U 。根据伯努利定理，压力也均匀，即P ：常数，挈= 0 C “这样，我们考虑的将是最简单的等速度常压情形，在这种情形下，普朗特边界层方程采取下列形式：( 由式( 3 3 ) 可推得)边界条件为：y 20 ，x o 时“= V = 0( 3 6 )f Y 一时U = U根据方程组( 3 5 ) 中的连续性方程，可引进流函数y ( 工，Y ) ( 它是一个解析函数) ，使：”塑矿r坠砂枷w塑砂凯一氟劫一缸太原理工大学硕士学位论文“：堂v ：一堂们O x此时连续性方程自动满足。此外，( 3 5 ) 中的动量方程变成a ya 2 ya 妒a 2 y 一，a 3 y却a
51、 x 却融却2巩边界条件( 3 6 ) 写成：P 吣加时y 2 詈- o【y m 时詈u方程( 3 7 ) 一( 3 8 ) 就是我们所耍求懈的方程。2 4( 3 7 )( 3 8 )奎堕里三盔堂堡主堂竺笙苎4 逆算符方法求解半无穷长平板的边界层问题4 1 用逆算符法求解边界层问题令：熹= 埘0 ，鲁2 洲四则方程( 3 7 ) 可化为：上。妒= 去仁，她，矿- L x L y x v )用逆算符碥作用式( 3 9 ) 等号两边得：矿= 昙三刍仁，止。妒一t 她，矿) + 其中y 。满足三。= O 及边界条件。把方程的解分解为无穷个分量之和，即妒= 眠n = 0引入参数化形式：矿= 刀令：l
52、( y ) = 上，畋y = 刀爿。N 2 ( V ) = 上：归，y = 2 B 。将方程( 3 1 0 ) 参数化得妒= A 去瑞仁，皿。y - L , 归。妒) + _ l f ，。将式( 3 1 2 ) 代入式( 3 1 3 )( 3 9 )( 3 1 0 )( 3 1 1 )( 3 1 2 )( 3 1 3 )太原理工大学硕士学位论文妻n = 0 A “y 。= 兄I r L - 。1 。磊旯”4 。一薹刀B 。 + 妒。并比较方程等号两边丑的相同幂次项，得缈o = y oy ，：三E ，( 爿。一玩)茁y ：= 三刍o ，一且)：三砖o 。一B n _ 1 )r 下面我们来确定A
53、。，B 。由式( 3 1 2 ) ，我们可知2 h A 。= L y V L F Vn = 0= 三y 吵。L 印y 。+ A 仁，y 。上掣y I + 三，y l 上叫y 。) +旯2 仁，y 。k 吵：+ 三，I f ，。L ，妒，+ 三，妒：k 妒。) +比较方程两边旯的相同幂次项，得：A 。= L ，y o k 妒。一I = L y V o 上砂y l + b y l 三叫妒。彳2 = L y 缈。三掣y 2 + 三，y l 上砂矿1 + 三，y 2 L 掣妒。同理可得：曰o2L x V o L y o且= 上。矿o L 删矿l + 三，y l L y oB 2 = ，V o L y
54、2 + t y l L f ，l + 上。少2 三咿y o( 3 1 4 )( 3 1 5 )( 3 1 6 )( 3 1 7 )奎堕堡三杰堂堡主羔堡丝墨首先由三。y 。= O 以及边界条件( 3 8 ) 来确定y 。舻_ f ，( x ，。) + 万a v o b N ，妒j 1 矿o y b l ，。_ y 2= 圭删 1 8 其中令：协剑O y 2 。) 且为任意的可导函数。南式( 31 6 ) 。( 3 1 7 ) 可求出4 ，B ：A o = a ( x ) y ( 力y曰。= = 1 ( 工) y 2 口( J )从而由式( 3 1 4 ) 得：y ，= 1 L 刍( A o -
55、B o )= 三三刍 三口c x ，n c 曲y 2 = i 1 酉1 口( 五如 ) y 5( 3 1 9 )瑗看义由瓦( 3 1 6 ) ，【3 1 7J 得到A I ，B 1 ：爿，= m ) y 去y 4 昭例2 州咖) H 1 1 4 1m ) n b ) y 4 ( 咖= 昙去 2 ( x ) 口( 功I y 5占。= 三a ( 功y 2 丢壶口( 功口( 石) y + i 1 豆1 ) ，5 如( 工) ) 2 + n ( x 4 ( 功 口( x )= 1 ( 1 虿1 + 壶) y 5 盯( 工) G ( 力) 2 + i 1 豆1y 5 n 2 ( J ”( 石)由式( 3
56、 1 4 ) 可得到v ，：太原理工大学硕士学位论文y ：= 昙碥o I - B I )= 吉b 2 弘) 一面1m 肌) ) 2 击i y 8z 。，至此我们得到了方程( 3 7 ) 一( 3 8 ) 的逼近解，即：y o 十I f f I 十y 2= 扣y 2 H 扣”y 3 + 州1 酽1 n 钕，一扣c 埘 熹y 6 ( 3 2 1 )为了使所求得的解更加逼近真解( 即满足边界条件) ，为此在所得解( 3 2 1 ) 上的右端需加上一个修正项U y ，因为U y 满足原方程( 3 7 ) 一( 3 - 8 ) ，所以可以作为修正项，从而由式( 3 2 1 ) 得：y “三日c 力y 2
57、 + 昙击以曲y 3 + 专 吉n c 咖。c 一击。c 瑚2 石去y 6 ) + 砂( 3 2 2 )所以式( 3 2 2 ) 就是我们所要求得的方程( 3 7 ) 一( 3 8 ) 的逼近解析解。4 2 总结对于非线性问题，目前是国内外一个非常活跃的研究领域。研究非线性方程，虽然已经有了各种近似方法，如平均法、微扰法、绝热近似法等，且这些方法在一定条件下，能够给出比较满意的结果。但这些方法要求的条件是非常苛刻的，如线性化，小微扰，封闭近似等假设，这些条件在一定程度上就已脱离了实际，尤其对于强非线性问题，对于上述方法有时也是束手无策的。在本文中，作者介绍了国外目前十分流行的一种解决强非线性问
58、题的2 8太原理工大学硕士学位论文方法逆算符分解法。值得一提的是，大量的研究工作都可看出逆算符方法已经应用到了一大类确定问题，甚至是随机问题。其中包括微分、积分、微分一积分、微分延迟方程以及方程组。近几年，美国数学家A M W a z w a z 已经把这种方法应用到了上述的几种方程类型。而且还对逆算符方法作了许多的改进，使这种方法有了更大的发展前景。本人把这种非常有效的求解方法移植到了普朗特边界层问题上来了，对于所得结果还是比较满意的。当然逆算符方法还有许多需要改进和完善的地方。比如，如何更加有效的计算彳。，另外，收敛性和误差估计的也有待研究，但有资料表明，对于收敛性的证明已由法国数学家Y
59、C h e r r a u l t 等人给予了证明，但由于本人手头资料不足，不能给出一个圆满的答案，这也是本文的一大遗憾之处。总之，逆算符方法无论在理论上还是在应用上都尚待进一步探索，它在许多前沿课题及高新科技领域将大有应用和发展前途。太原理工大学硕士学位论文参考文献方锦清逆算符方法及其在非线性物理中的应用 J 物理学进展，1 9 9 3 ( 1 3 ) ：4 4 1 5 5 5 吴望一流体力学( 下册) 【M 】北京：北京大学出版社，1 9 8 3 武宝亭，孙彦平一类强非线性偏微分方程组初边值问题之逆算符法新探【J 数学物理学报，1 9 9 9 ( 1 9 ) ：3 4 7 3 5 5 G
60、A d o m i a n S t o c h a s t i cS y s t e m M N e wY o r k ：A c a d e m i cP r e s s 1 9 8 3 Y c h e r r u a n l t C o n v e r g e c eo fA d o m i a n Sm e t h o d J 1 K y b e m e t e s ，1 9 8 9 ( 3 1 、：3 1 3 8 A M W a z w a z An e wa l g o r i t h mf o rc a l c u l a t i n ga d o m i a np o l y n
61、o m i a l sf o rn o n l i n e a ro p e r a t o r s J A p p l M a t h C o m p u t 2 0 0 0r 1 11 ) ：5 3 6 9 A M W a z w a z T h ed e c o m p o s i t i o nm e t h o da p p l i e dt os y s t e m so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u t i o n sa n dt ot h er e a c t i o 删i f f u s i o nB r u s s e
62、 l a t o rm o d e l J 1A p p l M a t h C o m p u t 2 0 0 0f l l0 1 ：2 51 2 6 4 A M W a z w a z T h em o d i f i e dd e c o m p o s i t i o nm e t h o da p p l i e dt ou n s t e a d yf l o wo f t h r o u g hap o r o u sm e d i u m J A p p l M a t h C o m p u t 2 0 0 1 ( 1 1 8 1 ：1 2 3 1 3 2 9 G A d o
63、 m i a n O nt h ee x i s t e no fs o l u t i o n sf o rl i n e a ra n dn o n l i n e a rs t o c h a s t i co p e r a t o re q u a t i o n s J J M a t h A n a l A p p l 1 9 7 8 ( 6 2 ) ：2 2 9 2 3 5 10 A M W a z w a z T h em o d i f i e dd e c o m p o s i t i o nm e t h o da n dP a d6a p p r o x i m a
64、 n t sf o rs o l v i n gt h eT h o m a s - - F e r m ie q u a t i o m J A p p l M a t h C o m p u t 1 9 9 9 ( 1 0 5 ) ：1 1 - 1 9 11 A M W a z w a z Ac o m p u t a t i o n a la p p r o a c ht os o l i t o ns o l u t i o n so fK a d o m t s e v - - P e t v i a s h v i l ie q u a t i o n J A p p l M a
65、t h C o m p u t 2 0 0 1 ( 1 2 3 ) ：2 0 5 2 1 7 1 2 A M W a z w a z A n a l y t i ct r e a t m e n tf o rv a r i a b l ec o e f f i c i e n tf o u r t h o r d e rp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s J A p p l M a t h C o m p u t 2 0 0 1 ( 1 2 3 ) ：2 1 9 - 2 2 7 13 K
66、A b b a o u i ，Y C h e r r u a u l t N e wi d e a sf o rp r o v i n gc o n v e r g e n c eo fd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s J C o m p u t e r sM a t h A p p l i c 19 9 5 ( 2 9 ) ：1 0 3 1 0 8 1 4 方锦清，姚伟光逆算符方法求解非线性动力学方程及其一些应用实例 J 】物理学报1 9 9 3 ( 4 2 ) ：1 3 7 5 1 3 8 4 1 5 徐佩立边界层及其在传递过程中的应用 M 】北
67、京：北京科技出版社1 9 8 8 ：2 6 6 6 嘲嘲嘲嘲m吲奎垦望三盔堂堡圭堂垡逢奎 】6 G A d o m i a n Ar e v i e w o ft h ed e c o m p o s i t i o nm e t h o di na p p l i e dm a t h e m a t i c s J J M a t h A n a l A p p l 1 9 8 8 ( 1 3 5 ) ：2 0 1 5 4 4 17 G A d o m i a n E x p l i c i ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a
68、 ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s J A p p l M a t h C o m p u t J 1 9 9 7 ( 8 8 ) ：1 1 7 - 1 2 6 1 8 G A d o m i a n ，R R a c h A n a l y t i cs o l u t i o no fn o n l i n e a rb o u n d a r y - - v a l u ep r o l i e m si ns e v e r a ld i m e n s i o n sb yd e c o m p o s i t i o n J J M
69、 a t h A n a l A p p l 1 9 9 3 ( 1 7 4 ) ：1 1 8 1 3 7 1 9 A M W a z w a z ，S A k h u f i N e wi d e a r sf o rs o l v i n gs i z e - - s t r u c t u r e dp o p u l a t i o nm o d e l s A p p l M a t h C o m p u t J 1 9 9 8 ( 9 3 ) ：9 1 9 6 2 0 A M W a z w a z T h ed e c o m p o s i t i o nm e t h o
70、df o ra p p r o x i m a n ts o l u t i o no ft h eg o u r s a tp r o b l e m A p p l M a t h C o m p u t J 19 9 5 ( 6 9 ) ：2 9 9 311 2 1 E B a b o l i a n ，J B i a z a r S o l v i n gt h ep r o b l e mo f b i o l o g i c a ls p e c i e sl i v i n gt o g e t h e rb ya d o m i a nd e c o m p o s i t i
71、 o nm e t h o d A p p l M a t h C o m p u t J 2 0 0 2 ( 1 2 9 ) ：3 3 9 3 4 3 2 2 A M W a z w a z An e wa p p r o a c ht ot h en o n l i n e a ra d v e c t i o np r o b l e m ：a na p p l i c a t i o no ft h ed e c o m p o s i t i o nm e t h o d A p p l M a t h C o m p u t J 1 9 9 5 ( 7 2 ) ：1 7 5 1 8
72、 1 2 3 A M W a z W a Z E x a c ts o l u t i o n st on o n l i n e a rd i f i l l s i o ne q u a t i o n so b t a i n e db yt h ed e c o m p o s i t i o nm e t h o d A p p l M a t h J C o m p u t 2 0 0 1 ( 1 2 3 ) ：1 0 9 1 2 2 2 4 JA M W a z w a z Ar e l i a b l et e c h n i q u ef o rs o l v i n gt
73、h ew a v ee q u a t i o ni na ni n f i n i t eo n e - - - d i m e n s i o n a lm e d i u m A p p l M a t h C o m p u t J 1 9 9 8 ( 9 2 ) ：1 7 2 5 A M W a z w a z As t u d yo nab o u n d a r y - - l a y e re q u a t i o na r i s i n gi na ni n c o m p r e s s i b l ef l u i d A p p l M a t h C o m p
74、u t J 1 9 9 7 ( 8 7 ) ：1 9 9 2 0 4 3 1太原理工大学硕士学位论文致谢首先感谢我的导师邱宜坪教授，几年来给我创造了一个宽松、自由的学习环境，对我的学习和生活给予了精心的指导和帮助，使我能够顺利地完成学业。在此向他表示诚挚的感谢和敬意。感谢武宝亭教授和孙彦平教授，在我完成论文的过程中给予了极大的帮助。尤其是武宝亭教授在非常繁忙的情况下，牺牲了大量宝贵的时间给予我许多的帮助，是我的论文得以顺利完成。感谢诸位同学：王建生、邵兵、原恩桃、樊慧丽和马红民等，与他们的交流是我这三年来最大的收获。创造世界正式这些热情、聪明而正直的人们。还要感谢系里的各位老师和同学，以及所有给予我帮助的人，三年来的相处使我受益非浅。最后我感谢为我日夜操劳的父母及家人，在我成长的足迹里浸透着他们辛勤的汗水和无限的期盼。这篇论文是我献给他们的最珍贵礼物。“谁言寸草心，报的三春晖。”我一定不辜负这些给予我奠大帮助的善良的人们。努力工作和学习，回报于他们以及整个社会。太原理工大学硕士学位论文攻读硕士学位期间发表论文情况1 李红军，孙彦平一类渗流问题数学模型广义解的存在性太原理工大学学报，2 0 0 3 ( 3 ) ：3 7 8 3 8 0
