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1、课外 园地 数学通讯 2 O O 9年第 1 2期( 上半 月)8 3 竞赛 中的圆锥曲线问题 陈 建花 ( 海南 师范大学数学与统计学院 ， 5 7 1 1 5 8 ) 圆锥曲线是中学数学的重要 内容， 主要 用到解析思想， 即几何问题用代数方法解决 同时， 它也是各类竞赛中经常涉及到的考点 ， 主要考查 ： 圆锥曲线第一定义 、 第二定义、 几何 性质的灵活运用， 与之有关 的轨迹 问题 ， 直线 与圆锥曲线的位置关系等 利用 圆锥曲线的特 征参数及其相互关系是寻找解题方法 的基本 思路 常用到的数学思想方法有数形结合的思 想 、 方程的思想、 等价转化的思想、 分类讨论的 思想等 例 1
2、 平行移动抛物线 Y 。= = = 一3 使其 顶点的横坐标非负， 并使其顶点到点( ， 0 ) 的 距离比到Y 轴的距离多， 这样得到的所 有抛 物线 所 经过 的 区域 是 ( ) ( A) x Oy平 面 ( B ) Y 一 2 x ( C) 一 2 x ( D) 2 x 讲解 首先求出到点( ， o ) 的距离比 到 轴的距离多的点的 轨迹 设 P( x， ) 是符合条件的点， 则 厂 一 1 4 ( x 一 ) + 一 I l+ ， 两边 平 方并整 理得 Y 。一 1 ( z+l z 1 ) ， 又 因 为 0 ， 所 以 Y 一 3 C 即到点( ， 0 ) 的距离比 到Y 轴的
3、距离多 的点的轨迹是 Y 一z 设平移后抛物线的顶点为 ( “ 。 ， n ) ， 则 平 移后 抛物 线 的方程 为 ( 一 “) ： = = 一 3( x a。 ) 按 a整理得 2 +2 a y一3 x Y 一 0 ， 因为 a R ， 所 以 A一 ( 2 ) 。 一8 ( 一3 一 ) o ， 化 简得 一 2 z 故 选 ( B) 评注 这是一道 比较新颖的题 目， 它将 图形的平移与点的轨迹联系起来 ， 令人耳 目一 新 求解的关键是找 出抛物线顶点坐标 的轨 迹， 经过坐标变换得 出抛物线簇的方程， 运用 变换的思想， 将参数a 视为未知量， z ， Y 视为系 数 ， 求出
4、与 Y之间满足的关系式 例 2 ( 2 0 O 8年浙 江省 高中数 学竞赛试 题 )已知椭 圆 c： x z 1 _ y Z l ( “ 6 0 ) ，其 离心率为 ， 两准线之间的距离为 ( 1 ) 求 “ ， b 之值 ； ( 2 ) 设点 A的坐标为( 6 ， O ) ， B为椭圆C 上的动点 ， 以 A 为 直角 顶点 ， 作等腰 直 角 A BP( 字母 A， B， P按顺时针 方向排 列) ， 求 P点的轨迹方程 讲 解 ( 1 ) 设 C为 椭 圆的 焦 半 径 ， 则 一 4， ：=孳 ， 于 是 有a 一5 ， b 一3 ( 2 ) 设 B点坐标为( s ， ) ， P点坐
5、标为( z ， ) ， 于是 有 = = ： ( s -6 ， ) ， = = = ( x -6 ， ) 因为 上 A-P， 所 以有 ( s 一 6 ， )( z一 6 ， ) 一( 6 ) ( z一 6 ) + t y 一 0 又因为 AA BP为等腰直角三角形 ， 所以 有 A B = = = A P， 即 、 ( s 一 6 ) +t 一 、 ( 一6 ) + 。 由 可得 一 6 ， 代入 ， 得 t 一( 一6 ) ， 从 而有 Y 一 ( 一 6 ) ， 即 5 6 + ( 不合题意， 舍去) 或 一 6 一Y 8 4 数学通讯 2 O O 9年第 l ， 2期( 上半月) 课
6、外园地 代人椭 圆方程 ， 即得 动点 P的轨 迹方 程 ( 一 6 ) 。 l( 一 6 一1 9 2 5 一 评注 根据圆锥 曲线的特征量( 如： 离 心率、 准线方程、 焦距 、 长轴长、 短轴长、 参数) 之间的关系等建立方程， 从而求解出圆锥 曲 线的方程是求轨迹方程的方法之一 ， 关键是 找准参数间的关系 例 3( 2 0 0 7年 全 国 高 中数 学 联 赛 湖 北 省预赛试题) 过点 Q( 一l ， 一1 ) 作已知直线 z ： Y = = = z 十 1 的 平 行 线 ， 交 双 曲 线 等 一 Y 。 一 1于点 M ， N ( 1 )证明： 点 Q是线段 MN 的中点
7、 ( 2 )分别过点 M， N作双曲线的切线 z ， z ， 证 明： 三条直线 z ， ， z 相交于同一点 ； ( 3 ) 设 P为直线 z 上一动点， 过点 P作双 曲线 的切线 P A， P B， 切点 分别为 A， B 证 明 ： 点 Q在直线 AB 上 讲解 ( 1 )直线 MN 的方程 为 一( 一1 ) 一 一( 1 ) ， 即 = ( - 3 ) ， 代 入 双 曲 线 方 程 等 一 y 。一 1 ， 得 3 z 。 + 6 一 2 5= = 0 设 M ( x l ， Y 1 ) ， N( x 2 ， Y 2 ) ， 则 z 1 ， X 2 是 方 程 的两 根 ， 所
8、以 z l - t - z 2 一一2 ， 于是 l - t - - 2 = ( z +z 。 一6 ) 一一2 ， 故点Q ( -1 ， 一1 ) 是 f 线段 MN 的 中点 、 ( 2 ) 双曲线 一 。一 1的过点 M( x ， y ) ， N( x ， Y z )的切线方程分别为 Z 1： _XI XYl Y = 1， 2 ： _, T2 2 T 2 Y = 1 两式相加 ， 并将 +z 2=一 2 ， - 4 - 3 ， 一一2 代入， 得 一z 十1 ， 这说明直线z 。 ， z 的交点在直线z ： Y 一z +1 上， 即三条直线 z ， z ， z 。相交 于同一 点 ( 3
9、 )设 P( x 。 ， c ) ， A( =r 3 ， 3 ) ， B( 4 ， 4 ) ， 则 M ， P B 的方程分别为 一 Y 。 Y一 1和 竿 一Y Y 一1 ， 因为点P在两条直线上， 所以 墨 一 。 = = 1 ， 苎 一 3 ， o 一1 ， 这表明点 A， B都在直线 Y 。 Y= = = 1上， 即直线 A B 的方程为半 一 。 Y=1 又 Y 。 = = = X 0 +1 ， 代入整理得 ( ) 一 ( +1 )=0 ， 显然 ， 无论 勘 取什么值( 即无论 P为直线f 上哪一点) ， 点 Q( 一l ， 一1 ) 都在直 线 AB上 评注 直线与圆锥曲线相交的
10、中点弦 问题 ， 我们常常采用代入消元， 设而不求的方 法来简化运算； 三线共点 的问题一般通过证 明两直线的交点在第三条直线上解决； 对于 直线族恒过定点问题 ， 抓住使直线变化 的参 数， 令参数系数为零即可求得定点坐标 例 4 ( 2 0 0 4年全 国高中数学联赛四川 省初赛试题)已知椭圆 e ： x z 1_ yZ=1 ( 日 6 O ) ， 动圆r： z + = = = R ， 其中b b 0 ) ，线段 P Q 是 过 左焦点 F且不与 轴垂 直的焦点弦若在左准 线 上 存 在 点 R，使 P Q R 为 正 三 角 形 ， 求椭圆的离心率 e 的取 值范围， 并用 表示直 线
11、P Q 的斜率 Y J l R ( ) Q 厂 、 朋 r 。 f P 一 图 l 例 5图 讲解 如图 1 ， 设线段 尸 Q 的中点为 M 过点 P， M， Q分别作准线的垂线 ， 垂足分别为 P 、 、 Q ， ， 则 1 M M i 一妻( I P P I +I Q Q ， I ) 一 ( 十 ) 一I P Q I 一 2 P 假设存在点 R， 则 J R M I = P Q f ， 且 l l 于 s L R M M 一 一 去， 故 c o t LR MM 一 = = 3 一 l 若 l P F I 时，过 点F 作 斜 率 为 _= 的焦点弦 P Q， 它的中垂线交左 准 3 P
12、 z一 1 线于 R，由上述运算知 ，I R M I 一 I 尸 Q f ， 故 P QR 为正 三角形 若 l P F l Q F I ， 则由对称性得 ， l 一 一 i 云 亍 V I】 一1 又 e 6 o ) 的离心率 的取值范围是( ， 1 ) ， 直线 P lQ 的斜率为_=l_ 、 3 P 一 l 评注 此题利用椭圆的第二定义， 求 出 弦中点到左准线 的距离， 同时根据等边三角 形的性质建立不等关系， 从而求出离心率的 范围以及直线的斜率 例 6( 2 0 0 5 年全 国高中数 学联赛浙 江 省预 赛试题) 设双曲线 一Y 。一 l的左、 右 焦点分别为 F ， F ， 若
13、 P F F ： 的顶点 P在 第一象限的双曲线上移动， 求 尸 F F 2 的内 切圆的圆心轨迹 以及该 内切圆在边 P F。上 的切 点 轨迹 讲解 记双曲线在 z轴上 的两顶点为 A( 1 ，O ) ， B ( 一 1 ， 0 ) ， G为 P F F 2 的 内切 圆 8 6 数学通讯 一 一 2 0 0 9年第 1 2期( 上半月) 课外 围地 在边 F 上的切点 ， H 为 P F F 的内切 圆 在边 P F 2 上的切点 ， K为 P F F 2 的内切 圆在 边 P F 上 的切点 ， 则有 I G F l I G F f l K F f I H F I 一( I K F I
14、 + I K P I )一 ( 1 H F 1 + I H尸1 ) 一j P F J j P F j 由双 曲线 的定 义知 ， G必在双 曲线 上 ， 于 是 G与 A( 1 ， 0 ) 重合 ， 是 定点 而I F 。 G I l F A I 一 一1 ， 根据圆外 一点 到 该 圆 的两 切 点 的距 离 相 等，所 以 P F F z 的 内切 圆 在 边 P F 上 的切 点 的轨 迹是以 F ( 2 ， O ) 为圆心， 2 1 为半径的圆 弧 因为 P( x， ) 是在 lz 一Y 一 l 位 于第一 象限的曲线上移动 ， 当 P F 沿双 曲线趋于无 穷 时 ， 与 轴正 向的交 角 的正切 的极 限是 l i m t a n0一l i m 兰 ： 1 一 一 十 3J 一 2 一 故点 H 的轨迹方程为 ( 极坐标形式) 0 S ( 手o , I11 A 一 要时， 上 面 的 方 程 恰 有 两 实 根 且 丑 + 恕 一 号 。面 一 一 号 ( + 2 ) 由题设可知 。 P M = P A P B。 可化为 I ( z +2 ) ( z +2 ) l 一 4 ， 即 z 1 z z +2 ( x 1 +z 2 ) +4 l 一 4 ， lp - 2一 c + z + z + l ，
