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1、2011/4/191有限单元法及软件 应用有限单元法及软件 应用山东建筑大学 2011进度安排进度安排1 有限元方法概述1 有限元方法概述2 数理力学基础2 数理力学基础3 简单杆系结构有限元法3 简单杆系结构有限元法4 弹性力学平面有限元方法4 弹性力学平面有限元方法5 等参元和高斯积分5 等参元和高斯积分6 空间问题有限元法6 空间问题有限元法7 梁结构单元7 梁结构单元8 板壳问题有限元法8 板壳问题有限元法9 结构动力问题有限元法9 结构动力问题有限元法进度安排进度安排 10 材料非线性问题10 材料非线性问题11 几何非线性问题11 几何非线性问题12 热传导问题12 热传导问题13
2、 有限元Fortran程序设计13 有限元Fortran程序设计14 ANSYS有限元软件14 ANSYS有限元软件期末考试期末考试等参数单元等参数单元5.1 概述概述5.2 等参单元定义的给出等参单元定义的给出5.3 四节点四边形等参数单元四节点四边形等参数单元5.4 平面八节点等参数单元平面八节点等参数单元5.5 六面体等参单元六面体等参单元5.6 数值积分数值积分2011/4/1925.5 六面体等参单元六面体等参单元多数弹性力学问题需要按照三维空间问题来求解。三维弹 性力学问题的有限元法的基本步骤与平面问题的步骤一样，在 分析三维问题时，所选择的单元主要为四面体单元和六面体单 元。每个
3、单元节点上定义有三个位移分量u、v、w。 三维问题有限元法有以下两个主要难点： (1) 单元划分比较复杂无法采用人工方法完成复杂三维实体的 单元划分，需要有功能强大的单元划分程序，从CAD模型直接 生成离散的单元网格。现在的有限元软件可以读入IGES、STL 等格式的图形交换文件。六面体单元的计算精度比较高，但是 对于复杂三维实体无法实现六面体单元的自动划分。采用四面 体单元能够实现单元自动划分，但是四面体单元的计算精度比 较低。(2）计算规模大三维问题的单元数目大，节点自由度多，导致 计算规模大，对计算机硬件的要求很高。为缩 短计算时间，有许多问题需要采用巨型计算机， 如CRAY，或并行计算
4、机。常用的三维等参单元有六面体八节点等参单元 和六面体二十结点等参单元常用的三维等参单元有六面体八节点等参单元 和六面体二十结点等参单元。等参单元的位移 模式和坐标变化式采用相同的形函数，如上iiniiiniiiniwNwvNvuNu),(),(),(111iiniiiniiinizNzyNyxNx),(),(),(111 ANSYS提供的Solid45单元就是六面体八节点等 参单元，每个节点有代表x、y、z三个方向位 移的三个自由度（DOF，Degree of Freedom）， 可以退化为五面体棱柱和四面体单元，单元局 部坐标为r、s、t，六面体八结点等参单元的 基本单元如图所示。ANSY
5、S提供的Solid45单元2011/4/193Solid45的基本单元八结点基本单元六面体八节点等参单元的基本单元如图所示，其形函数 为，)8,.,1()1)(1)(1 (81iNiiii其中，为结点的局部坐标。iii,ANSYS提供的Solid95单元是六面体二十节点等参单元， 每个节点有代表x、y、z三个方向位移的三个自由度，可 以退化为五面体棱柱、五面体金字塔形和四面体单元。 Solid95单元的基本单元如图所示。ANSYS提 供的 Solid95 单元Solid95的基本单元二十结点基本单元与六面体八结点等参单元相比，六面体二十结点等参单 元能更好地适应不规则的形状，计算误差比较小，基
6、本 单元如图所示，其形函数为)19,17,11, 9()1)(1)(1 (412iNiii)20,18,12,10()1)(1)(1 (412iNiii)16,15,14,13()1)(1)(1 (412iNiii)8,.,2 , 1()2)(1)(1)(1 (81iNiiiiiii其中i i,i i,i i为单元结点在局部坐标系中的坐标单元刚度矩阵为， dxdydzBDBKTe2011/4/194( , )( , )e xNx( , )( , )( , )ex y uuNq8 3xyzxyzxyz J( , )( , )( , )ex y uuNq ( , , )( , , ) BN坐标变换
7、2. 坐标变换式和位移模式坐标变换式和位移模式形函数计算2011/4/195雅可比矩阵J只有在雅可比矩阵可逆 的情况下，可以求解出 Ni,x Ni,yNi,z！按照上节介绍的等参单元分析的基本步骤可以得到 三维单元的单元刚度矩阵。雅可比矩阵为， zyxzyxzyxJ形函数对整体坐标的偏微分可以用雅可比矩阵表 示为形函数对局部坐标的偏微分，iiiiiiNNNJzNyNxN1雅可比矩阵计算公式 nnnnnniniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiinizyxzyxzyxNNNNNNNNNzNyNxNzNyNxNzNyNxNJ.222111212121111111111201
8、1/4/196利用雅可比矩阵的行列式，将整体坐标系下的积 分转换为在局部坐标系下的积分。在整体坐标系中的 体积微元为，dxdydzzdydxddV)(微矢量在局部坐标系中表示为，321dxdxdxxd321dydydyyd321dzdzdzzd其中3, 2, 1为局部坐标系中,方向上的单位向量。121323ddzyddzyddzyddzyddzyddzyzdyd dddJdddzyxzyxzyxdxdydz dddJBDBKTe111111最后，用高斯积分计算出单元刚度矩阵。同样， 用上节中类似的公式就可以在局部坐标下完成单元的 载荷移置。体力移置的公式为dddJtpNRTe111111在=1
9、的面上受到面力作用，面力移置的公式为: ddJtPNRTe 111111其中在点 0,0,0集中力移置的公式为:),(000PNRTe 5.6 数值积分数值积分等参单元刚度矩阵的每个元素都是局部 坐标的函数，等参数变换后具有非常复 杂的形式，在有限元程序中不用解析的 办法来计算局部坐标系中的积分，而采 用数值积分方法。通常采用高斯积分方法计算单元刚度矩 阵中的元素及等效节点载荷列阵的元素。11111111 |( , )eTKBD B t J d dfd d 2011/4/197数值积分方法是一种近似的方法。数值积分方法是一种近似的方法。1( )( )nbiiaifdA f一个函数的定积分可以通
10、过n个结 点的函数值的加权组合来表示基本思路是：在单元上选择某些特征点（积分点），求 出被积函数在这些积分点上的数值，然后用一些权函数 乘这些函数值，最后求和就可得到近似积分值。有限元 分析中，最常用的高斯数值积分法。数值积分的基本思想数值积分的基本思想( ),( ),( ,1,2,., )( )( ), )( ) :( ),(1,2,., )( )?( ),I( )( )baiiibbaafdninffinfddff 对于一个定积分 I构造一个多项式使得在区间内 个点上与相同 即(则用来近似代替积问题是如何构造多项式使其对有最好分式变的逼近为 11 011 11111(1,2,., ),(
11、), )=( ) ( ) ( )(1)1 ,( ),()0 ,in nn iin in injnn iijj ijj ininLagrangelfaaalnLagrangeijllij 基于区间内 个结点将多项式取为插值多项式即(其中为阶插值函数显然11111)( )( )( ),I( )( )( ) ( )( )( )( )iinbbbn iiaaainnbn iiiiaiifffddlfdldfA f (则用来近似代替积分式变为至少具有n-1次 代数精度如果n个结点等距分布，则前面 的插值型求积公式称为Newton-cotes求积公式。 Newton-cotes求积公式具有n-1次代数精度
12、 几个常用求积公式 梯形公式，n=1 Simpson公式，n=2( )( )( )2babaf x dxf af b( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b(1,2,., )iink 1kk 1k2011/4/198写成统一的形式111( )()nkk kfdH f kH为求积系数或称为积分系数。牛顿-柯斯特积分公式精度1nn个插值结点非等距分布个插值结点非等距分布结点和积分权系数可以查表结点和积分权系数可以查表111()(nii iAfdfGauss-Legendre求积公式求积公式31高斯求积法高斯求积法如果不事先规定积分点的位置，而是允许这一些点位于能得到精度
13、最好的 积分值之处，在给定积分点数目的条件下，这样做可以提高所构造的求积 公式的精度。不事先规定积分点的位置，而是允许这一些点位于能得到精度最好的 积分值之处，在给定积分点数目的条件下，这样做可以提高所构造的求积 公式的精度。 111( )()nkk kfdH f 如果规定可以取n个分点，我们必须求出2n个未知量 (k()kf1,2, )kn对它进行精确积分，并用积分结果代替原函数的积分，其误差是2()nO 这种求积公式具有代数精度21n这样求出的数值积分公式称为高斯积分公式。322n 则右边四个参数则右边四个参数1H111( )()nkk kfdH f 12H2如果左边的如果左边的( )f也只含有四个参数，则它们之间的关系就能完全确定。也只含有四个参数，则它们之间的关系就能完全确定。23 0123( )fcccc0222/3Icc2323 1122101 1
